解读二十二届希望杯高二第一试的一道最小值问题

历届全国"希望杯"数学邀请赛第一试都是采用选择填空题.因此,从卷面上难以发现学生解题的思路,从本届高二这道求最小值的问题来看,得分率都不高,尽管有些同学填空正确,但不排除是根据特殊情况半猜半解做出的解答,因为对于求最小值或最大值的问题一定要说明为什么,否则就算你猜对也不能说明真正会解,以下是笔者的解读过程,供朋友们参考.     

“余味”更精彩

《中学生数学》2010年8月(上)封三《利用方差非负性巧解求最值》一文,短小精悍,创意新颖,但美中不足的是问题2"求函数y=槡5-2x+槡3+2x的最大值"的解题过程中,没有带出最小值.事实上,这个题目是有最小值的,利用文中的方法是无法获解最小值的.课间我们经过讨论,获得了解决最小值的几个方案,不仅通俗易懂,而且能够"一石二鸟".     

定角三角形对边最小值探究

<正>在△OAB中,∠AOB为定角θ,在一定条件下来求定角θ的对边AB的最小值问题,我们称为定角三角形的对边最小值问题.此问题在数学的很多方面都经常用到,而且在生活环境应用相当广泛.笔者从以下几个方面在不同的条件下探究此问题.问题在△OAB中,∠AOB为定角θ(如图),△OAB满足条件p,求∠AOB的对边AB长的最小值.     

等号不成立时的若干处理途径

最值问题往往涉及的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强 ,它是高考考查的一项重要内容 .利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法 .学生在利用这种方法求最值时 ,常常会发现等号不能成立 ,得到的是错解 .但此时往往束手无策 ,一筹莫展 .那么 ,出现这种情况后 ,又该如何走出困境 ?本文介绍几种常见途径 ,供参考 .1　 利用函数单调性解题例 1　求 y =x2 + 5x2 + 4的最小值 .错解　∵　 y =x2 + 5x2 + 4=x2 + 4+ 1x2 + 4≥ 2 ,∴　 y的最小值为 2 .分析　因为 x2 + 4≠ 1 ,所以 y取不到最小值 2 .不等式问题可以看成函数的一个分支 ,…     

怎样探讨轨迹的纯粹性

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本知识 ,课本在谈到曲线的方程和方程的曲线时 ,指出两个关系 :①曲线上的点的坐标都是方程的解 ,②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .其中①我们叫曲线方程的完备性 ;②叫曲线的方程的纯粹性 .在求轨迹方程时 ,教材强调分五步求轨迹方程 ,“除个别情况外 ,化简过程都是同解变形过程 ,步骤 5 (即证明② )可以省略不写 ,如有特殊情况 ,可适当予以说明 .”所谓予以说明 ,就是要探讨轨迹方程的纯粹性 .很多学生对此缺乏规律性的认识 ,以至心有余而力不足 .那么 ,解决轨迹方程的纯粹性问题应该怎样进行呢…     

均值不等式求三角函数最值举例

<正>均值不等式是求代数最值的重要方法,而且过程简单,应用广泛,如果把它迁移到三角函数中,还能求三角函数的最值,解这类题不仅满足一正、二定、三相等的要求,还要根据三角函数的特点作技巧性的变形,现举例说明.例1求函数y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin2θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ≥2·2sinθ·cscθ=4,∴y_(最小)=4.点评运用不等式求最值应注意放缩的合理性,并判断等号是否可取.对等号不可取     

高考线性规划问题别解

线性规划问题在高考中主要是求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值,试题通常是以选择填空题形式出现,主要是通过作可行域取最优解来求解,难度中等偏易,因此复习时应控制好难度,本文拟以一道引例说明其求解的全新视角,并例举其在2008年高考题中的应用。     

一个易错的极值问题和它的一种解法

最近辅导学生时遇到一个极值问题: 求3/cosθ 2/sinθ(o＜θ＜π/2)的最小值. 这是一个看似简单,但却容易被解错的题.从形式上看最容易想到用平均不等式去解,学生解法如下:     

一道含参最值题的解法

本文所解的这道求最小值题, 看似简单,其实不然．因为函数式中既有参数,又有绝对值号,求最小值时必须分情况讨论,所以问题并不简单,应该怎样讨论呢?请读者自己先大致地设想一下, 然后阅读下文．     

一类极值问题巧解

1问题的提出不少资料上有这样一道题：“过点P（1，4）作直线交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，求：（1）DO火I叫OBD的最小值；（2）求bOAB面积的最小值．”对求DAB的最小值却无处涉及，从几何图形上看，这个问题解的存在性是确定无疑的，能否用初等数学知识解答这个问题？答案是肯定的，现解答如下：解设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），那么直线的方程为3＋3—l，将点P的坐标代人得“十子一1，变形得b一一斗（显然aMI），这样我们有＃op。lmtr。。＄、gb％。ff。ljRt’＝9。t一7，都是要求t—ZSM·这样我们有，当t—…     

巧用线性规划解决问题

<正>线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.解决问题的基本思想是在约束条件对应的可行域内根据目标函数的几何意义求出目标函数的最优解.有些题并不是直接显出问题,但只要转化为线性规划就能轻松解决.1问题的引出     

一个椭圆最值问题的多角度探究

文 1对如下的问题从解法和推广两方面作了探讨 ,本文对此问题先作一变换 ,然后从解法、推广、引申、推论四个方面对其作进一步探究 .问题 1　曲线 x2a2 y2b2 =1 (a,b∈ R )过点 M(1 ,1 ) ,求 a b的最小值 .问题 1等价于 :已知 1a2 1b2 =1 (a,b∈R ) ,求 a b的最小值 .将点 M(1 ,1 )一般化 ,则得到如下的问题2 .问题 2　已知 a,b,x,y∈ R ,且 ax by= 1 ,求 x12 y12 的最小值 .1　别解解法 1　 (基本不等式法 )∵　 ax by =1 ,∴　 (x12 y12 ) 2= (ax by) (x12 y12 ) 2= (ax by) (x 2 x12 y12 y)= a 2 ax-12 y12 ax-1y bxy…     

吉林预赛题的一种解答

<正>题目已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.以上题目是2008年全国高中数学联赛吉林省预赛第17题,笔者在文[1]中给出了两种解答,更早的[2]和文[3]也各自给出了一种解答,遗憾的是,这四种解法都有一个同样的缺点,那就是,它们都是事先知道了最小值点后再求最小值的!如果事先不知道最小值点的话,以上四种解法都将无法找到配凑系数的方向     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

解函数复合最值问题的常用策略

在数学竞赛和高考题中,常常会遇到一些在一类最大值中求其最小值或在一类最小值中求其最大值的复合最值问题.它是函数最值中的一种特殊类型,解决这类问题的方法也比较特殊.本文介绍解决此类问题的一些常用策略.     

运用|a·b|≤|a||b|时应注意的问题

|a·b|≤|a||b|是向量数量积的重要性质,常利用它求数量积的最大值、最小值和解决一些函数值域、最值以及不等式证明等问题;应用时若不注意相应条件,常出现一些错解,现举例如下:……     

一道高考试题解题错因分析

(2005上每高考理科第19题)如图,点A、B分别是椭圆x236+2y20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.易求得P32,5 32,M(2,0).对于求椭圆上的点到点M的距离d的最小值问题:生错解1:联想到课本上第46页的近地点问题,负迁移到d=|MB|=a-2=4生错解2:联想到短轴与长轴垂直,短轴的端点到原点的距离最小,负迁移到过M作椭圆长轴AB的垂线,交椭圆于C,D两点,d=|MC|=|MD|=4 103分析:1.从数学知识的角度上…     

一道最值问题的多角度思考

求最值问题是中学数学的一个难点 ,如何探寻求最值的思路是中学生感到困难的问题 .本文通过对一道最值问题的多角度思考 ,来说明求最值的一些常见思路与常用方法 .题目　已知ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘｙ - (ｘ + ｙ)=1 ,求ｘ + ｙ的最小值 .思路 1　由于已知条件中ｘ ,ｙ的地位平等 ,ｘ ,ｙ可以看作是对称的两个量 ,因此 ,我们大胆猜测当且仅当ｘ =ｙ时 ,ｘ + ｙ取得最小值 .解法 1　 (猜想 )令ｘ =ｙ ,则ｘ2 - 2ｘ - 1=0 ,∴ｘ =1± 2 .∵ｘ >0 ,∴ｘ =ｙ =1 + 2 .故猜想ｘ + ｙ的最小值为 2 + 2 2 .(以下工作是证明猜想成立 ,此处略 )思路 2　若将…     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

一道流传在微信群里的数学题

从这篇文章可以看出,作者王爱生老师看到数学题就想解,说明解题的"胃口"很好,这是很可贵的.文章给出了求整数解的一种方法.