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题目[1]在△ABC中,D、E分别为边AB、AC的中点,BE与CD交于点G,△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P(P≠A),AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L(L≠A). 相似文献
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圆内接三角形的一个性质 总被引:1,自引:0,他引:1
设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2 相似文献
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命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一… 相似文献
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本文先给出关于三角形双圆半径的一个恒等式: 定理1 设(?)O(R)、(?)I(r)是△ABC的外接圆和内切圆,AI、BI、CI与对边BC、CA、AB分别交于点D、E、F,与外接圆(?)O分别交于点D'、E'、F',则 相似文献
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文[1]中介绍了定理1:已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.并对它进行了征明.同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质,对此笔者存有疑异,觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方。 相似文献
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如图所示,设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0,交其外接圆于D、E、F;又交△DEF的三边于A1、B1、C1.点M、N;P、Q;R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点.记A.B、C为△ABC的三内角,其对边分别为a、b、c;D、E、F为△DEF的三内角,其对边分别为a’b’c’R(R’)、r(r’)、p(p’)、S(S’)分别为△ABC(△DEF)的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积,△ABC的内心为I.这一常见的构图,可以衍生出一系列数学竞赛题.题1AD⊥EF.(199且年第32届IMO加拿大训练题第6题)知类似可知故I为西DEF… 相似文献
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80年代有这样一道竞赛题 :设G为△ABC的重心 ,分别延长AG ,BG ,CG依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1G +B1G +C1G≥AG +BG +CG .1990年第 31届IMO有一道预选题 ,将上面的重心G换成内心I ,即为 :设I为△ABC的内心 ,分别延长AI ,BI,CI依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1I +B1I +C1I≥AI +BI +CI .其证明方法用Erd s不等式较为简单 (注 ) .十分自然 ,设H为锐角△ABC的垂心 ,分别延长AH ,BH ,CH依次与△ABC的外接圆交于A1,B1,C1,则A1H +B1H +C1H≥AH +BH +CH是否成立呢 ?我们的断言是 :A1H +B1H +C… 相似文献
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文[1]对有关三角形外心的一个命题进行了推广,得到了 定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP、BP、CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,使AP/PD BP/PE CP/PF=3成立的充要条件是P点落在以线段OG的中点为圆心,以1/2OG为半径的圆上. 相似文献
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文[1]证明了这样的一个新定理:定理如困1,△ABC各角顶点与对边三三等分点的连线中,相邻两条连线分别交于P、Q、R,则△PQR∽△hABC,且相似比为1:5.采用[1]的证明方法,文[2]把上面的定理推广到了n等分的情况,得到了如下的命题:等分点的连线中,相邻两条连线分别交于P、Q、R,则APQR——AABC,且相似比为(r一2):(2n一l).现在,我们要考虑较[Zj更一般的情形.目的是要证明如下的两个结果.定理1如图3,在AABC中,BAI:AIAZ:AZC=CBI:BIB。:B。A=ACI:C;C。:C。B。l:po:1,且相邻两条连线分别交于… 相似文献
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第51届IMO第4题是:设P是AABC内一点,直线AP、BP、CP与AABC的外接圆Г的另一个交点分别是K、L、M,圆Г在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC—SP,证明:MK—ML. 相似文献
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1渐近三角形的定义
如图1,设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(n〉0,6〉0)上的一点P(x0,y0)的切线,l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,与x轴交于点Q,则称△OMN为双曲线的渐近三角形. 相似文献