轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

卢卡斯数列与斐波那契数列的递归关系研究

法国数学家Edward Lucas曾将数列0,1,1,2,3,4,8,13…命名为斐波那契数,随之而来的则是另外一个数列2,1,3,4,7,11,18…这就是人们所说的卢卡斯数列.卢卡斯数列(下左)与斐波那契数列(下右)有着相同的递归方程,但其首项不同. { Ln+2=Ln+Ln+1L0=2 L1=1 {Fn+2=Fn+Fn+1{F0 =0{F1 =1 事实上,在卢卡斯数列与斐波那契数列中呈现了许多相似的性质.在斐波那契数列中,如果p是q的因子,那么斐波那契数Fp同样是Fq的因子.例如,3是6的因子,那么F3=2也是F6=8的因子.     

一个有趣的猜想

一个自然数 ,若它是不能被 3整除的偶数 ,把它的各位数字之和平方后得另一数 .所得之数若为偶数 ,把它的各位数字之和平方 ;若为奇数 ,把它的各位数字之和立方 ,这样经有限步的运算 ,最终必得 1!如 :872① 8+7+2 =17　　　　 172 =2 89奇② 2 +8+9=19193=685 9奇③ 6+8+5 +9=2 82 83=2 195 2偶④ 2 +1+9+5 +2 =19192 =3 61奇⑤ 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶⑥ 1+0 +0 +0 =112 =1共 6步 .又如 :2 5 2 64① 2 +5 +2 +6+4 =19192 =3 61奇② 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶③ 1+0 +0 +0 =112 =1.共 3步 .经有限个数的验算 ,上述猜想成立 .不知如何证明 ?或…     

奇怪的算术《3×3=2》

3+3+3=2;6+3=2,这是笑話嗎?不,这是完全真实的一个真理。确实有这样一些算术:6+3=2;3×4=5;3÷4=6,这些奇怪的等式,是在所谓“残数算术”中出現的。应用这个算术我們能够很快地根据已知数算出过200年后或是300年前的某一天是星期几。在这个算术中的残数可以看成是一个特别的数列。在普通算术中,自然数1,2,3,……有无限多个,它們是用来数有順序的东西的。例如,数书的頁数;铁路的公里牌;紀元年次(1960,1961,……);排队的报数等等。但是要数站成一个圓圈的七个人却不是用的     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.计算12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+35+45)+……+(160+260+360+……+5960).(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)2.已知n个数相加,它的第一数是-2,第二个数是2,第三个数是18,第四个数是52,第五个数是110,……,观察以上规律,试用最简代数式表示这n个数之和.(广东省汕头市龙湖区外砂镇林厝村同福里(515023)王植灿)3.已知2013=a!×b!×c!d!×e!×f!,这六个正整数满足:a>b>c,d>e>f,当a+d取最小值时,a-d=.(记号a!=1×2×3×…×a)     

在解题教学中如何训练学生的观察能力

在数学教学中培养学生的观察能力,是学生学好数学的关键之一,也是培养其他思维能力的基础。下面浅谈一下在这方面的做法与体会。一、引导学生观察条件中的数字或字母的变化规律及位置特点例1 已知数列{a_n}的前五项是1,2,4,7,11,试写出这个数列的一个通项公式。解:细心观察后知:相邻两项中后项与前项的差有规律: a_z-c_1=2-1=1, a_3-a_2=4-2=2, a_4-a_3=7-4=3, a_5-a_6=11-7=4, 由此可得 a_n-a_n-1=n-1再把上面(n-1)个式子相加得左边=a_n-a_1;右边=1+2+3+……+(n-1)=(n-1)/2     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

对一道高考题的进一步探究

20 0 3年全国高考数学试卷 (理工农医类 )的第2 2题 (Ⅰ )是这样一道题 :设 {an}是集合 { 2 t+ 2 s| 0≤s相似文献   

“智慧数”的自白

我叫智慧数 ,是正整数王国的一个组成部分 .我的特征是能表示为两个不同正整数的平方差 ,比如 2 4=72 -5 2 ,2 4就是一个智慧数 .细心、好奇的同学通过观察运算会发现 ,我在正整数王国里出现是很有规律的 .1是最小的正整数 ,它不能表示为两个不同正整数的平方差 ,所以 1不是智慧数 .对于大于 1的奇正整数 2ｋ + 1 ,有 2ｋ+ 1 =(ｋ+ 1 ) 2 -ｋ2 (ｋ =1 ,2 ,… ) ,所以大于 1的奇正整数都是我的家庭成员 .被 4整除的偶数 4ｋ,总有 4ｋ =(ｋ+ 1 ) 2 -(ｋ-1 ) 2 (ｋ=2 ,3,4,… ) ,即大于4且是 4的整数倍的数都是智慧数 ,而 4不能表示为两个不同…     

数式型规律题解析举例

<正>1数列型例1古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫三角数,它有一定的规律性,若把第一个三角数记为a_1,第二个三角数记为a_2…,第n个三角数记为a_n,计算代数式a_(n-1)+a_n的值.解析方法一归纳猜想:已知a_1=1,a_2=3,a_3=6,a_4=10,a_5=15,a_6=21,…∴a_1+a_2=1+3=2²,a_2+a_3=3+6=32,a_2+a_3=3+6=3²,     

第15届全俄中学生数学奥林匹克第3阶段试题及答案(1989年2月举行)

八年级 1.在数1,2,…,1989前添上符号《+》和《一》,并依次完成所示的运算,试问可以得到怎样的最小非负 一42一数? 答.例如l=l代2一3一4+5)+(6一7--8+9)+.二+(1 986一1987一1988+1989).2.是否存在这样一个可被11整除的十位数,使得在这个数的写法中乓个数字只出现一次? 答:例如2753964150=275xlo阵396xlo4科一sx一。二l一x(25 x 10,+36x一了+3sx一。). 3.设方程组+bx+c二0+cx+a”0厂+ax+b=02,︸2 工工X 口.办C 产..|.‘!‘1尹有解,求系数a,b,。之间的关苏,答:时吞十亡=0,x二1. 4.把一个平行四边形用两对与它的边平行的直线分成9个平形四边形…     

乘数有9、3、6的计算技巧

简捷乘算技巧的基础是利用三个特殊数码1、2、5。这三个特殊数码有其自身的特点,导致了在它们为乘数时,乘法运算就非常简捷了。 任何一个数乘以1即其本身;乘以2即自身的倍数;乘以5则为自身之半数。一个数的倍数和半数用心算的方法是很容易求出的。因此乘算的技巧就是想方设法使乘数能和这三个基础数码挂上钩。 1.乘数有9 在诸多的数码中,和基础数码最有“缘分”的,当数9。众所周知,9之所以倍受人们青睐,是因为9和1是好朋友的缘故。因9=1(?);99=10(?);999:100(?)……且有2×9=2(?);3×9=3(?)……这就使凡9的倍数作乘数均可使运算带来简捷。     

两相交直线所成角的平分线方程

首先 ,我们看例 1.例 1　现有两直线 :ｘ + 2ｙ + 2 =0 ,2ｘ +ｙ + 2 =0 ,求这两直线交角的平分线的方程 .通过一般解法得出角平分线方程为 3ｘ + 3ｙ + 4=0或ｘ -ｙ =0 .但如果将这两方程相加或相减 :ｘ+ 2ｙ + 2 + 2ｘ +ｙ + 2 =0 3ｘ + 3ｙ + 4 =0 ;ｘ + 2ｙ +2 - 2ｘ -ｙ - 2 =0 ｘ -ｙ =0 ,也和上解相同 .那么是不是存在这么一个规律 :相交两直线的角平分线方程即为两直线方程和或差 ?对例 1加以研究分析发现ｋ1·ｋ2 =1,那么是不是所有两直线方程斜率之积为 1时都成立呢 ?答案是肯定的 ,下面是简要论证过程 :若两直线斜率的乘积为 1…     

这个绝对值符号该不该加?

由同济大学数学教研室主编的《高等数学》(第四版、高等教育出版社 )下册 P3 43的例 1解法中 ,本人认为少了一个绝对值符号。附上原文 :……………dydx-2x +1 y =0dyy =2 dxx +1 ,lny =2 ln( x +1 ) +ln C, ( 1 )y =C( x +1 ) 2 ( 2 )……………我们注意到 ,按常规 ,这里 ( 1 )式中 ,“y”和“x+1”均得加“|　 |”,由于题设中存在一个表达式“( x+1 ) 52 ”,故可认为“x+1 >0”,即 ( 1 )式中“x+1”可省去绝对值符号 ,而“y”则无这情况 ,我认为要补上 ,现将解法改为 :……………dydx-2x +1 y =0dydx=2 dxx +1ln|y|=2 ln( x +1 ) +ln C1(…     

四次函数图像的对称性

定义:若一个函数的图像关于直线x=a对称,称该函数为轴对称函数. 　　本文先讨论四次函数y=x4+ax3+bx2+cx+d的对称性,再进一步讨论一般四次函数y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a0≠0)的对称性.……     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

一位名师一道题

分析与解　这是一个操作型问题 ,而且操作的模式不同 ,每一步操作有多种选择 ,在处理这类问题时 ,应该抽出各操作之间的相同点 ,建立一个在操作过程中的不变量 .我们给不同颜色的球赋值 (这是寻找操作不变量时常用的方法 ) ,设每个白球、绿球、红球的分值分别为 1 ,2 ,3 .考虑盒子中所有球的分值的总和F ,则F的值在模 4的意义下 ,每次操作结果不变 .(a)注意到 ,最初F =2 0 0 0≡ 0(mod 4) ,于是 ,设最后剩下的 3个球中白、绿、红球数分别为x、y、z,则　x + y +z=3 ,且　x + 2 y+ 3z≡ 0 (mod 4) .所以　y+ 2z≡ 1 (mod 4) ,从而　y≠ 0 (…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.依题意有x3 + y6=3x5 + y12 =4解得 x =75y =-13 2 .所以　A B =75A +B-13 2(A + 1) (B + 1) ,3 4=757-13 22 0 =14 43 5 .2 .注意到　A1 =A2 -7,A3=A2 + 7,所以　A1 +A2 +A3=A2 -7+A2 +A2 +7= 3A2 = 48,A2 =16.于是表中这个大月的日期为 :星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12 3456 78910 1112 1314 1516 171819 2 0 2 12 2 2 32 4 2 52 6 2 72 82 930 313 .∵　 90 1 0 =(9× 10 ) 1 0 =91 0 × 10 1 0<10 1 0 × 10 1 0 =10 2 0 ,∴　 90 1 0 <10 2 0 .初二年级1.由已知a2 -b2 =17b(a +b) ,当a +b≠ 0时 ,a…