构造n次独立重复试验模型解概率题

一次试验中事件A发生的概率为p,独立重复地进行该试验n次这一模型,可以描述许多实际问题,其中的概率公式Pn(A恰好发生k次)=Pn(k)=cnkpk(1-p)n-k,应用非常广泛,下面以概率论中的两道名题为例,谈谈这一模型的确立方法．例1(巴拿赫火柴问题)某数学家随身带着甲、乙两盒火柴,每盒有n根,每次用时,随机地任取一盒,然后从中抽取一根．求:首次发现一盒空时,另一盒恰剩r根火柴的概率(r= 0,1,2,…,n)．     

一道古典概率问题的计算

贵刊1987年第4期《谈古典概率的计算》一文中有一例题解法有误。该例题是:有5个相同质点,每个都以同样的概率1/10落入10个盒子中的每一个中.问①(略);② 在指定的一个盒中恰有3个质点的概率?(第36页)     

小球进盒种种

在学习排列组合时 ,我们会遇到一些形形色色的小球进盒问题 ,在深刻把握两个计数原理的同时 ,对下述小球进盒的种种问题应有清醒的认识 .1　相同小球进入相同盒 ,直接分组即可例 1　将 7个优秀学生名额分成 4组 ,每组至少有一个名额 ,则不同分配方案有　　种 .解析　由于 7个优     

Rd中一类齐次Moran集的盒维数

给定Rd 中的Moran集类 ,本文证明了对介于该集类中元素的上盒维数的最大值和最小值之间的任何一个数值s,总存在该集类中的一个元素 ,其上盒维数等于s,对下盒维数、修正的下盒维数也有类似的性质成立 ,从而给文 [1 ]中的猜想 1一个肯定的回答 .此外 ,还讨论了齐次Cantor集和偏次Cantor集盒维数存在性之间的关系 .     

从一道容易做错的概率题谈起

“4个可分辨的球 ,随机地投入 3个盒中 ,试求3盒都不空的概率 .”这是一道很容易做错的概率题 .比较典型的有下面两个错解 :错解 1　设Ａ=“三盒都不空” ,基本事件总数为 3 4 .有利于Ａ的基本事件数可按下面两步来计算 :第一步 ,从 4球中任取 3球 ,将它们每盒一球地放入 3个盒中 ,有Ｃ343 !种方法 ,这就保证了 3盒都不空 ;第二步 ,让余下的 1球随机地落入 3盒中任一盒 ,有 3种方法 .由乘法原理知有利于Ａ的基本事件数为 :Ｃ343 !3 ,故Ｐ(Ａ) =Ｃ343 !33 4 =89.错解 2　设Ａ=“三盒都不空” ,基本事件总数为 3 4 .有利于Ａ的基本事件数可从…     

巧构函数求值和解方程

一求值[例1]设x1和x2分别是方程z lgx=3和方程x 10x=3的根,试求x1 x2的值. 解构造函数f(t)=t lgt, 则有f(x1)=x1 lgx1=3, f(10x2)=10x2 lg(10x2)=10x2 x2=3,     

探索全错位排列问题的通解

有编号为 1,2 ,… ,n的 n个小球 ,将其装入编号为 1,2 ,… ,n的 n个盒中 ,每盒装 1个球 ,且球与盒的编号不同 ,问不同的装球方法有多少种 ?以上是全错位排列问题 ,它的通解存在 ,下面我们来探求这个通解 .为方便起见 ,设 n个球的不同的装球方法有 an 种 ,易知 ,n =1时 ,a1=0 ;n     

一对一错号排列的一个公式

排列组合问题非常灵活多变，比较难以把握．例如，四人同室，他们各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有多少种？它的原型是下列“小球人盒”问题．将编号为1、2、3、4的4个小球装人编号为1、2、3、4的4个盒中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．我们把这个问题叫做“一对一错号排列”问题．本问题，由于球与盒的个数不多，用常规法解，难度倒不是很大，但增加球与盒的个数后，情况就不一样了，仍用常规法解，难度将随之增大．因此，对于这类问题如果…     

对农村初中生数学成长记录袋作用的认识与实践

课程改革实施以来,许多教师对成长记录袋评价进行了不同程度的理论研究与实践探索,创建和使用了多种多样的成长记录袋,成为当前中小学教育评价改革的新亮点.但有些成长记录袋的设计流于形式,使用后的效果并不理想,对学生没有太大的促进作用.笔者对数学成长记录袋的使用情况做了一个调查,发现主要问题是对成长记录袋的基本原理与使用要求还存在模糊甚至错误的认识,致使成长记录袋评价在实际应用中出现了一些偏差,主要有:1.从形式上来看,将成长记录袋规定得太细,几乎千篇一律,每项内容都是预先设计好的,学生根本就没有可发挥的余地,没有自主权…     

限量分配问题的一个注记

§1 引言 限量分配问题是古典概率论,组合论的重要内容。本文将文献[1]、[2]中的一类广泛的限量分配问题给以统一的处理并加以推广,归结为如下问题: 问题Ⅰ 内无序分配问题。给定m类盒和n类球,假定第i类球和第j类盒的个数分别为r_i、s_j(1≤i≤n,1≤j≤m),即所谓球的规格为(?)=(r_1,r_2,…,r_n)和盒的规格为(?)=(s_1,s_2,…,s_m)。已知第i类盒对于球的限量集为A_i(这里A_i∈N_0~t,其中每个元素表示该类盒所能容纳之球的规格,1≤i≤m),记A=(A_1,A_2,…,A_m)。则分配规格为(?)的球至规     

一道容易解错的题

题:求k值,使方程九二,一(九+1)‘+2”o有实根,且二根的绝对值均小于1. 以下两种解法都有不易觉察的错误: 解一:设所给方程之二根为,:、‘2,依题意有:‘(寿+‘)‘一sk》0,且k‘“曾{l“,}<‘’学火}劣:}0. .’.(为+l)“一4几0,.’.吞<一l一了2或为>一l+了百.(A). 又…     

怎样寻找分式方程的失根

解分式方程,可能产生增根,这是大家熟知的事。然而,用下面的方法解分式方程,竞出现失根。例解方程((18 x)~(1/2) (x-5)~(1/2))/((18 x)~(1/2) (x-5)~(1/2))= =((10-x)~(1/2) ((x-5)~(1/2))/((10-x)~(1/2) ((x-5)~(1/2)) 解用合分比定理化方程为 ((18 x)~(1/2))/(x-5)~(1/2))=(( x)/(1/2)/(x-5)~(1/2)) 两边平方,整理得 2x=-8,x=-4。经检验,-4是原方程的增根。是不是原方程无根呢?不是的。原方程还有x=5这一根被遗失了。可见用合分比定理解分式方程可能失根。以下研究失根的原因。     

冒险小王子流星复活者

第六章 白海豚的杂货街 “面条是最低级的水星小精灵,而纳尤古是小精灵和精灵师生活的地方。”面条一边吃着棒棒糖一边对小龙说。     

“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

方程f(x)=P-x与f-1(x)=P-x的两根之和一定为P吗

常见题目:①设方程10x=p-x的根为x1,方程lgx=p-x的根为x2,则x1 x2=p;②设方程x3=p-x的根为x1,方程3x=p-x的根为x2,则x1 x2=p.可以用数形结合法或函数的单调性证明,此略.我们类比猜想:方程f(x)=p-x与f-1(x)=p-x的两根之和一定为p(p为实常数)吗?经过探究发现,此结论不一定成立.一     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

一类分形曲面的精细计盒维数公式

本文研究由一个二变元四阶差分方程边值问题生成的分形曲面的精细计盒维数问题,给出了一个自然的维数公式,若该边值问题的边界上的连续函数的图象的精细计盒维数为γ,则该解曲面的精细计盒维数为（1＋γ）。     

簡化无理方程驗根的方法

解无理方程需要驗根,一般的是把解得的根一一代入原方程进行检驗,做起来比較繁杂,学生也感觉困难。为了簡化驗根手续,減少学生驗根的困难,而又能提高解題效率,我在教学高中代数第一册第二章无理方程一个单元时,采取了以下几种簡化的驗根方法: (1)依据有理化因式有沒有实数根,簡化驗根手續。在讲授无理方程的解法时,首先应使学生明确为什么解无理方程可能引进增根? 因为解无理方程的一般方法是把方程两边都乘方若干次,化为有理方程,然后求解。这实际上就是把方程的各項移到左边,使右边等于零后,两边都乘以左边式子的有理化因式,然后化为有理方程。如果有理化因式本身有实数根(也就是能够使有理化因式等于零的值),就可能有增根;如果有理化因式本身沒有实数根,就沒有增根。例如,解方程(3x 4)~(1/2)=4时,它的有理化因式是(3x 4)~(1/2) 4,能够使(3x 4)~(1/2) 4等于零的值,必     

在古典的占有问题中对于正态逼近的非一致性估计

假定 N_l 个球独立随机地一个一个地投入到 n_l 个盒中,并且根据第 j(1≤j≤n_l)个盒是或不是空的而令 x_(lj)=1或0,那末{x_(lj),1≤j≤n_l,n_l≥1}构成一个随机变量序列.令     

r球n盒模型的一个经验公式

<正> 1 r球n盒模型在许多概率论著作、教材和科普书籍中,均讲述了古典概率中“r个球n个盒中的分布”问题,我们将它简称为“r球n盒模型”。具体地说,将r个球随机地放入n个盒子中,每一种放法