构造递推式求值

在1990年12月16日咸阳市举行的初中数学选拔赛试题中,其第二试第三题为: 设x_1,x_2是方程x~2 3x 1=0的二根,试求x_1~7 x_2~7的值。此题的次数7太高,不易入手。我们可先算出x_1~4 x_2~4,x_1~3 x_2~3的值,然后两式相乘就行了,这是通常解法。若令F(n)=x_1~n x_2~n(n∈N),由x_1 x_2=-3,x_1·x_2=1,易知F(1)=-3,F(2)=7。 f(n 2)=x_1~(n 2) x_2~(a 2)=(x_1 x_2)(x_1~(n 1) x_2~(n 1))-x_1·x_2(x_1~n x_2~n)     

拟双曲度量与John圆

设D是R~2中的Jordan域,本文证明了D是b-John圆当且仅当存在常数c≥1,对任意的x_1,x_2∈D,有k_D(x_1,x_2)≤cH_D(x_1,x_2),这里kD(x_1,x_2)表示D中x_1与x_2二点的拟双曲距离,H_D(x_1,x_2)=1/2log(1+(l(γ))/(d(x_1,■D)))(1+(l(γ))/(d(x_2,■D))),其中l(γ)为D中连结x_1与x_2二点的拟双曲测地线的欧几里德长度.     

一致区域与拟双曲度量

设 D 是 R~n(n≥2)的真子区域.F.W.Gehving 与 B.G.Osgood 证明,D 是一致区域的充分必要条件是:存在常数 c 和 d,使得 k_D(x_1,x_2)≤cj_D(x_1,x_2)+d,(?)x_1,x_2∈D.本文证明,这个条件可减弱为:存在一常数 A,使得K_D(x_1,x_2)≤A·j_D(x_1,x_2),(?)x_1,x_2∈D.这里 K_D(x_1,x_2)为 D 中任意两点 x_1,x_2的拟双曲度量,j_D(x_1,x_2)=1/2log([|x_1-x_2|]/[d(x_1,(?)D)]+1)([|x_1-x_2|]/[d(x_2,(?)D)]+1),d(x,(?)D)为 x 到(?)D 的欧氏距离.     

交比和Poincaré度量在平面拟共形映射下的偏差

研究了交比和Poincaré度量在平面拟共形映射下的偏差估计,得到了如下两个结果(1)若f是■~2到■~2上的k-拟共形映射,则对任意x_1,x_2,x_3,x_4∈■~2有16~((1/k)-1)(|(x_1,x_2,x_3,x_4)| 1)~(1/k)■|(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))| 1 ■16~(k-1)(|(x_1,x_2,x_3,x_4)| 1)~k;(2)若f是R~2到R~2上的k-拟共形映射,D是R~2中的任一真子域,则对任意x_1,x_2∈D有(1/k)λ_D(x_1,x_2) 4((1/k)-1)log 2■λ_(f(D))(f(x_1),f(x_2)) ■kλ_D(x_1,x_2) 4(k-1)log 2.     

一道数学联赛题的推广和应用

1988年全国初中数学联赛第一试有一填空题:“如果自然数x_1、x_2、x_3、x_4、x_5满足x_1 x_2 x_3 x_4 x_5=x_1x_2x_3x_4x_5,那么x_5的最大值是——”。按命题原意x_5是5个自然数中最大的一个,但是从字面看x_5也可以不是最大的一     

理科第(22)题别解

题 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明 1/2[f(x_1) f(x_2)]>f[(x_1 x_2)/2]     

四个数学竞赛试题的简证

本文通过构造函数、巧妙变形等运算技巧,给出了三个国外数学竞赛试题的简单证明.问题一匈牙利—以色列2003年数学竞赛试题设x_1,x_2,…,x_n∈R~＋,证明：（x_1~3）/（x_1~2＋x_1x_2＋x_2~2）＋（x_2~3）/（x_2~2＋x_2x_3＋x_3~2）＋…＋（x_n~3）/（x_n~2＋x_nx_1＋x_1~2）≥（x_1＋x_2＋…＋x_n）/3.     

一类正整数数列个数的探究

1问题若n项的正整数数列x_1,x_2,…,x_n满足:①对任意正整数1≤i≤n,有x_i相似文献   

函数f(x)=sinx/x单调性的妙用

我们将看到,利用sinx/x的单调性来解一些题目显得非常方便简捷。为此,先证明定理函数f(x)=sinx/x在(0,π)内严格递减。证明当x∈(0,π/2)时,设0相似文献   

两曲线的公切线

<正>我们知道,若直线l切曲线y=f(x)和y=g(x)分别于点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),则l有两种表示法:y-f(x_1)=f′(x_1)(x-x_1)和yg(x_2)=g′(x_2)(x-x_2),即它们表示同一条直线,展开比较得到方程组{f′(x_1)=g′(x_2),f(x_1)-x_1f′(x_1)=g(x_2)-x_2g′(x_2).这就是     

解含有混合导数项的抛物型方程的一个显格式

考虑含有混合导数项的三维抛物型方程第一边值问题: 0相似文献   

从一道竞赛试题谈中学生怎样学好数学

一九八三年省、市自治区联合数学竞赛第二试第二题(以下简称试题)及其解法是: 函数f(x)在〔0,1〕,上有定义,f(0)=f(1)。如果对于任意不同的x_1、x_2∈〔0,1〕都有∣f(x_2)-f(x_1)∣<∣x_2-x_1∣,求证∣f(x_2)-f(x_1)∣<1/2。证法:本题证法不止一个,这里介绍一个不妨设0≤x_11/2,则由f(0)=(1)可得∣f(x_2)-f(x_1)∣=∣f(x_2)-f(1)+f(0)--f(x_1)∣≤∣f(x_2)-f(1)∣+∣f(0)--f(x_1)∣≤(1-x_2)+(x_1-0)     

用拉格朗日乘数法证明对称不等式

设f(x_1,x_2,…,x_n)、g(x_1,x_2,…,x_n)是两个轮回对称函数,若欲证明无约束不等式,f(x_1,x_2,…,x_n)≥g(x_1,x_2,…,x_n)可以增加约束条件并利用拉格朗日乘数法来证.约束条件要选取为对称方程才能便于计算.如x_1 x_2 … x_n=C,x_1~2 十x_2~2 十…x_n~2=R~2 等.以下通过例题加以说明.     

联合概率密度函数的一个性质

本文引进n元实变函数的广义n阶导数,证明:若n元分布函数F(x_1,…,x_n)有概率密度函数f(x_1,…,x_n)且f(x_1,…,x_n在点(x_1,…,x_n)处连续,则f(x_1,…,x_n)等于F(x_1,…,x_n)在点(x_1,…,x_n)处的广义n阶导数,但当n≥2时,f(x_1,…,x_n)并不总等于F(x_1,…,x_n)在点(x_1,…,x_n)处的n阶混合偏导数?~nF(x_1,…,x_n)/?x_1…?x_n     

集合论与代数的新的运算(Ⅰ)

定义1 令X={x_1,x_2,…,x_n},n是自然数;对于任意给定的A A,B∈P(X),A={x_(i1),x_(i2),…,x_(ik)},1≤i_1相似文献   

算术平均数的一个简单性质的应用

n个实数x_1、x_2、…x_n的算术平均数(x_1+x_2+…+x_n)/n有如下简单性质: 若A≤x_1、x_2…、x_n(≤B),则 A≤(x_1+x_2+…+x_n)/n(≤B) 当且仅当A=x_1=x_2=…=x_n(=B)时等号成立。作为性质1的推论,特别地有推论1若x_1、x_2、…、x_n是n个实数,则min{x_f|i=1,2,…,n}≤≤(x_1+x_2+…+x_n)/n≤max{x_f|i=1,2,…,n} 当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。推论2 若A≤x_1+x_2+…+x_n(≤B),则至少有一个x_k(x_e),使A/n≤x_k(x_a≤B/n),当x_1、x_2。…,x_n互不相等或A相似文献   

关于一个积分不等式的Djokovi(?)''''s猜想(英文)

在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0相似文献   

Jensen-二次函数方程及其Hyers-Ulam稳定性

给出Jensen-二次函数方程f((x_1+x_2)/2,y_1+y_2)+f((x_1+x_2)/2,y_1-y_2)=f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)+的一般解,并研究了它的Hyers-Ulam稳定性.     

Cauchy-三次函数方程及其Hyers—Ulam稳定性

给出Cauchy-三次函数方程f(x_1+x_2,2y_1+y_2)+f(x_1+x_2,2y_1-y_2)=2f(x_1,y_1+y_2)+2f(x_1,y_1-y_2)+12f(x_1,y_1)+2f(x_2,y_1+y_2)+2f(x_2,y_1-y_2)+12f(x_2,y_1)的一般解,并用直接方法和不动点方法研究它在Banach空间上的HyersUlam稳定性及模糊稳定性.     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,