一道分式不等式的进一步改进及简证

文［１］、［２］、［３］分别对下面的不等式进行了证明和改进．本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明．设ｘｉ∈（０,１）,ｉ＝１,２,…,ｎ,且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝ａ,∑ｎｉ＝１ｘ２ｉ＝ｂ,求证：∑ｎｉ＝１ｘ３ｉ１－ｘｉ≥ａ２＋ａｂ－ｎｂｎ－ａ．改...     

从一道赛题看分式不等式的新证

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第9题:设a、b、c∈R 且abc=1,求证:1/1 2a 1/1 2b 1/1 2c≥1．分析为了证明结论中的不等式,可以先由已知条件,运用均值不等式证明以下的3个不等式:1/1 2a     

两道分式不等式新证

两道分式不等式新证４３２２０１武汉市黄陂县横店中学王远征不等式证明的方法很多、技巧性强、思路各异．但证明时是尽量想办法把不明显的不等式变为明显的不等式．兹举两个稍有代表性的例子．例１证明对子任意正数。，其中Ｓ一＞：ａ；”“『‘”ＭＭＳ一Ｑ”Ｎ一１””...     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

一个分式不等式的简证

文[1]用换元法证明了1994年罗马尼亚集训题: 对所有的正实数x、y、z,求证: 证明比较冗长,经笔者研究发现有如下一个简捷的证明:     

一道三元分式不等式引出的探究

《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)²+(b-c/c-a-3)²+(c-a/a-b-3)²≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)²+(y/-x-y-3)²+(-x-y/x-3)²≥29■(x/y-3)²+(y/x+y+3)²+(y/x+4)²≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)²+(1/t+1+3)²+(1/t+4)²≥29■(t-3)²(t+1)²t²+(3t+4)²t²+(4t+1)².     

简证一道不等式

简证一道不等式４１１５０１湖南双峰二中胡如松此题一般是构造一个长方体来证明．下面我们给出它的一种简单的代救证法．简证一道不等式@胡如松$湖南双峰二中...     

巧证一道不等式

设A,B,C为任意三角形的三个内角,对于任意实数x,y,z.求证: x2 y2 z2≥2xycosA 2yzcosB 2xzcosC. 该不等式是研究三角形的一种独特而有力的工具-"母"不等式,其证明通常是构造二次函数来证,本文给出一种新颖的向量证法.     

构造向量证三元分式不等式

本文利用高中数学新教材中新增的重要内容——向量，对中学数学期刊上的一些三元分式不等式给出简证、加强和推广．     

两个新分式不等式

本文将两个特殊的分式不等式进行推广，得到两个重要的分式不等式，并且发现历年的国际数学奥赛中的某些试题均可用这两个不等式证得，在本文中作为推论给出。     

两个新分式不等式

本文将两个特殊的分式不等式进行推广,得到两个重要的分式不等式,并且发现历年的国际数学奥赛中的某些试题均可用这两个不等式证得.在本文中作为推论给出.定理1若x,y,z,n为正数,m≥2,且x y z=1,则xm y(1-yn) ymz(1-zn) zmx(1-xn)≥3n-m 23n-1(1)证由幂平均不等式,可得xn 1 yn 1 zn 1≥3(x y z3)n 1=13n,所以y(1-yn) z(1-zn) x(1-xn)=1-(xn 1 yn 1 zn 1)≤1-13n,从而有(1-13n)[xmy(1-yn) ymz(1-zn) zmx(1-xn)]≥[y(1-yn) z(1-zn) x(1-xn)][xmy(1-yn) ymz(1-zn) zmx(1-xn)]≥(xm2 ym2 zm2)2≥9(x y z3)m=3-m 2.即得xm y(1-yn) ymz(1-zn) zmx(1…     

“分步法“巧证分式不等式

常言道:“饭要一口一口地吃”.面对千姿百态的分式不等式,如果一时难以“一步到位”达到证明目的,不妨探究“分步法”,分成两步或多步,逐步实现证明目的.1.将分式不等式化为整式不等式例1设x,y,z∈R+,求证:(y+z)x(yx+z)+(z+x)y(zy+x)+(x+y)z(xz+y)≥43.(《数学教学》1992(6),数学问题289)证明(1)待证不等式可化为整式不等式:x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2≥6xyz;(2)x2y+xy2+y2z+yz2+zx2+z2x≥66x2y·xy2·y2z·yz2·z2x·zx2=6xyz.证毕例2若a,b,c∈R+,求证:a·aa++cb+b·bb++ca+c·cc++ab≥a+b+c.(1992年国际“友谊杯”数学邀请赛试题)证明(1)证…     

换元法证分式不等式例说

换元法证分式不等式例说陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）贵刊今年３月、４月两期在数学问题栏目里连续刊登了两个分式不等式证明，笔者认为问题提供人给出的证法都不够简捷，本文首先对这两个问题给出比较简便的证法，然后就这类分式不等式问题谈谈一般的思考方法．...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法陕西永寿县中学安振平证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法，证明过程中要道用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：①对等比数列ｋｌｑ“‘）（ｌｑ【＜ｌ），有ａｌ十＊；０＋ａｌ矿十…＋ａｌｄ‘十…一一二．且一...     

一类分式不等式的新证法

定理1 设ai,bi〉0（i=1,2,…，n）,若a1≥a2≥…≥an且b1≥b2≥…bn或a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,n≥2,r,t〉0,rn-t〉0,s=∑ni=1ai,则     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法安振平（陕西省永寿县中学７１３４００）证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法．证明过程中要用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：（１）对等比数列｛ａ１ｑｎ－１｝（｜ｑ｜＜１）有（２）若ａ１，ａ２…，ａ。Ｅ...     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有