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<正>一、角元塞瓦定理设P是△ABC内任意一点(如图1),则sin∠BAP/sin∠PAC·sin∠CBP/sin∠PBA·sin∠ACP/sin∠PCB=1. 相似文献
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关于角格点一些猜想的证明 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]提出了 4 5个猜想 ,但笔者没有看出其规律 ,因而不能知道被省略的猜想 ,本文将证明文 [1 ]列出的全部猜想 .首先约定 ,本文中的 A,B,C,β,γ分别表示图 1中△ ABC的三个内角及∠ PBC,∠ PCB的度数 .定理 1 在图 1中 ,cot∠ PAB =sin Csin (β γ)sin ( B C) sinγsin ( B -β)- cot( B -β) .证明 在△ ABC,△ PBC中 ,分别运用正弦定理 ,得BCsin ( B C) =ABsin C,BCsin (β γ) =PBsinγ,所以 AB =BCsin Csin ( B C) ,图 1 PB =BCsinγsin (β γ) .在△ PAB中 ,再运用正弦定理 ,得ABsin(∠ PA… 相似文献
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1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从... 相似文献
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两个三角形垂心相同的充要条件 总被引:1,自引:0,他引:1
在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC… 相似文献
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定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.…… 相似文献
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本文首先介绍三角形线段比中的两个有用定理 .定理 1 在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则PNNQ=λ.APAB.ACAQ.证明 如图 1所示 ,在△ ABE和△ AEC中 ,由正弦定理可得sinα=BE .sin∠ 1AB ,sinβ =EC .sin∠ 2AC . 图 1∵ ∠ 1 相似文献
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问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C 相似文献
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文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题 设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明 如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A… 相似文献
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掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB, ∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC. 相似文献
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(一)当0°<α<90°时,sinα、tanα的值均随α的增大而增大.图1如图1,在△A1BC中,∠C=90°,点A2、……、An在A1C边上,∠BA1C=α1、∠BA2C=α2、……、∠BAnC=αn.由定义得sinα1=BC A1B、sinα2=BC A2B、……、sinαn=BC AnB.由三角形外角大于不相邻的内角得α1<α2<……<αn,又在△BA1A2中,∠BA2A1>90°>α1,∴A1B>A2B(大角对大边).同理A2B>A3B>…AnB.∴A1B>A2B>……>AnB.∴sinα1相似文献
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——用正弦性质解题下面这些题目你在几何课上可能都学过 .现在用另一种方法解决它 ,好像从一条新路游览你熟悉的公园 ,既亲切 ,又新鲜 .例 1 已知△ABC中 ,AB =AC .求证 :∠B =∠C .证明 由面积公式有AB·BCsinB =2△ABC =BC·CAsinC .由AB =AC ,得sinB =sinC .由正弦性质可知∠B与∠C相等或互补 ,但因∠B +∠C=180° -∠A <180° ,故∠B =∠C .(用了正弦性质 6)例 2 已知△ABC中∠A >∠B .求证 :BC >AC .证明 由面积公式得AB·ACsinA =2△ABC =AB·BCsinB ,∴ ACBC=sinBsinA<1.(这用到正弦性质 3 )∴ BC… 相似文献
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<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1① 相似文献