Magnetische Ladungen

Zusammenfassung Es kann in der Praxis sinnvoll sein, für physikalische Vorg?nge mathematische Modelle zu betrachten, die mehr enthalten als die Realit?t. Dies gilt insbesondere dann, wenn das Modell für Computersimulationen verwendet wird. Als Beispiel werden elektromagnetische Wellen gezeigt, deren Simulation tats?chlich besser gelingt, wenn man magnetische Ladungen ins mathematische Modell einführt.     

Theoretical aspects of the calibration of transonic test sections

Zusammenfassung Es werden einige theoretische Betrachtungen zum Problem der Kalibrierung einer Windkanalme?strecke im Schallgeschwindigkeitsbereich angestellt. Zun?chst wird angenommen, die Ausbildung der W?nde der Me?strecke sollte so vorgenommen werden, dass das gr?sstm?gliche Modell bei Schallgeschwindigkeit darin untergebracht werden kann. Durch Anwendung des ?hnlichkeitsgesetzes für schallnahe Str?mung und der Fl?chenregel auf die Str?mung im Messquerschnitt scheint eine betr?chtliche Verminderung des Arbeitsaufwandes, die eine solche Kalibrierung der Me?strecke für schlanke Modelle erfordern würde, m?glich zu sein. Dies ist besonders zutreffend für Messquerschnitte mit L?ngsschlitzen konstanter Breite, wo die für den Wandeinfluss gleich Null bei Schallgeschwindigkeit erforderliche Anordnung der Schlitze sich auch brauchbar erweist für eine grosse Gruppe von Modellen verschiedener Gr?sse und Form (vorausgesetzt, dass der Einfluss der Wandgrenzschicht vernachl?ssigt werden kann). Die Ableitung ergibt, dass das Verh?ltnis des Modellquerschnittes zum Messquerschnitt kein brauchbares Mass für die Gr?sse des Wandeinflusses darstellt. Vielmehr scheint das gr?sste zul?ssige Fl?chenverh?ltnis, das zu einer vorgegebenen relativen Gr?sse des Wandeinflusses geh?rt, stark vom Dickenverh?ltnis des Modelles abh?ngig zu sein, so dass ein schlankeres Modell auch kürzer sein müsste. Die asymptotische Grundl?sung der Potentialgleichung für achsensymmetrische Schallstr?mung nachGuderley undYoshihara wurde zur Absch?tzung der genauen Spaltbreite für sehr kleine Modelle verwendet, und es ergibt sich, dass in diesem Falle die genaue Einstellung der Spaltbreite nicht besonders kritisch ist. Der Haupteffekt einer Ver?nderung der Spaltbreite besteht in einer ?nderung der Mach-Zahl-Korrektur stromaufw?rts vor der Me?strecke.      

Über die abstandsverträglichen Abbildungen auf dem Kreis und auf der reellen Geraden

Zusammenfassung. Eine Abbildung zwischen metrischen R?umen hei?t abstandsvertr?glich, wenn der Abstand der Bilder zweier Punkte nur vom Abstand der Punkte selbst abh?ngt. Wir zeigen, dass eine Abbildung genau dann abstandsvertr?glich ist, wenn der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt, also ein Endomorphismus der Gruppe ist. Ein entsprechendes Resultat gilt auch für die abstandsvertr?glichen Abbildungen des Kreises (mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenverknüpfung). Damit kann man sowohl alle messbaren abstandsvertr?glichen Abbildungen von bzw. in sich angeben, als auch einen Nachweis für die Existenz nichtmessbarer abstandsvertr?glicher Abbildungen auf und erbringen. Eingegangen am 20. Juni 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Mathematik f"urs Leben am Beispiel der Computertomographie

Zusammenfassung. Computertomographie ist heutzutage ein fast ebenso bekanntes Hilfsmittel des Mediziners wie das klassische R?ntgen. Weit weniger bekannt ist jedoch, dass es insbesondere die Mathematik ist, die dieses Verfahren erst erm?glicht. Es erscheint immer wichtiger, Schülern und Studierenden neben der Mathematik selbst auch deren Bedeutung für Probleme aus dem Alltag nahe zu bringen. In dieser Arbeit vermitteln wir ein Grundverst?ndnis der Computertomographie. Hierzu geh?ren Nutzen und Einsatzm?glichkeiten in der Medizin, physikalischer Hintergrund und als zentrales Thema ein einfaches mathematisches Modell und dessen numerische L?sung. Die Arbeit kann als Grundlage für Projekte in Schule und Hochschule verwendet werden. Eingegangen am 17. September 2001 / Angenommen am 15. November 2001     

Zur Meinungsbildung in einer heterogenen Bevölkerung – ein neuer Zugang zum Hopfield Modell

Zusammenfassung  Wir geben eine Neuinterpretation des Hopfield Modells, bekannt aus der Theorie der neuronalen Netze und der statistischen Mechanik der ungeordneten Systeme, als Modell für die Meinungsbildung (bei bin?rer Wahlm?glichkeit) in einer heterogenen Bev?lkerung.     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

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This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

Bootstrap – oder die Kunst, sich selbst aus dem Sumpf zu ziehen

Zusammenfassung  Computerbasierte Methoden haben die Anwendungsbreite der Statistik enorm erweitert. Simulationstechniken erlauben neue Zug?nge zu komplexen Fragestellungen, die traditionell nur unter sehr restriktiven Annahmen m?glich waren. Implementierung und Anwendung von rechenintensiven Algorithmen bieten neue M?glichkeiten, das für die Inferenzstatistik zentrale Konzept der Stichprobenverteilung transparenter und besser greifbar zu machen. Der Aufsatz diskutiert didaktischen Nutzen und mathematische Aspekte des Bootstrap-Verfahrens. Wir illustrieren das Verfahren mit einem Beispiel aus der Publikationsgeschichte der Semesterberichte. Mathematics subject classification (2000)  62-01, 62F40     

Populationsmodelle

Zusammenfassung  Wie werden mathematische Modelle gebildet und wie kann dieser Entstehungsprozess so dargestellt werden, dass er von Schülern im Mathematikunterricht nacherlebt und bisweilen sogar selbst?ndig durchgeführt werden kann? Der vorliegende Artikel gibt auf diese Fragen exemplarisch Antworten. Anhand einer Population unter dem Einfluss intraspezifischer Konkurrenz werden die einzelnen Stationen bei der Entwicklung eines passenden mathematischen Modells vorgestellt. Der Weg von der Motivation und Problemstellung zum Konzeptmodell, das Einbeziehen von Computersimulationen und die mathematische Analyse werden pr?sentiert und diskutiert. Für die Analyse reichen Mittel der Schulmathematik aus. Eine direkte unterrichtliche Umsetzung wird nicht angeboten, jedoch werden M?glichkeiten hierfür skizziert.     

Compressible laminar boundary layer behavior studied by a finite difference method

Zusammenfassung Die L?sung des Systems der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen der laminaren kompressiblen Grenzschicht bereitet erhebliche mathematische Schwierigkeiten. In dieser Arbeit wird ein Differenzenverfahren benutzt, um die Str?mung entlang einer gekrümmten Wand zu untersuchen. Analytische Bedingungen für seine Stabilit?t sind angegeben, und die Konvergenz der L?sung gegen die L?sung des Differentialgleichungssystems ist durch Vergleichsrechnungen mit verschiedener Schrittweite erprobt. Der Einfluss von beliebigen Druck- und Temperaturverteilungen ist an einer Reihe von Beispielen untersucht. Da das Verfahren Energiedissipation und Ver?nderlichkeit der Dichte und der Z?higkeit vollst?ndig berücksichtigt, sind seine Ergebnisse benutzt, um die Vereinfachungen kritisch zu diskutieren, die so oft angewendet werden, um die analytische L?sung des Problems zu erleichtern.

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This research was supported by the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command under Contract AF 18(600)-1488.     

Magneto-gasdynamic channel flow

Zusammenfassung Die Gleichungen für die ?quasi-eindimensionale? Str?mung eines elektrisch leitenden Gases werden im Falle eines Stromfadens mit ver?nderlichem Querschnitt hergeleitet, wobei die Str?mung unter dem Einfluss eines elektrischen und magnetischen Feldes steht. Obwohl kein allgemeines Integral angegeben werden konnte, ergeben sich interessante Folgerungen für die Beschleunigung der Str?mung und für die ?nderung der Mach-Zahl. Zum Beispiel kann in gewissen Geschwindigkeitsbereichen eine überschallstr?mung ?magneto-gasdynamisch? auch bei konstantem Str?mungsquerschnitt beschleunigt werden. Bei variablem Querschnitt sind die Gleichungen für einen besonderen Fall integriert worden; das Ergebnis dieser Integration kann als weiteres Beispiel für die Veranschaulichung der Wirkung einer elektromagnetischen Energiezufuhr dienen. Die auch bei konstantem Querschnitt bestehenden mannigfaltigen M?glichkeiten werden für verschiedene Anfangsbedingungen diskutiert, wobei F?lle sich zeigen, bei denen Beschleunigungen und Verz?gerungen mit Durchg?ngen durch die Schallgeschwindigkeit auftreten sowie auch neue F?lle von ?Blockierungen? sich offenbaren.      

Über die durch allgemeine Ableitungsbasen bestimmten Topologien

Zusammenfassung Durch eine allgemeine Albeitungsbasisa (im Sinne von Herrnde Possel) wird eine Topologie (?a-Topologie ?) bestimmt, für welche im allgemeinen die Bildung der abgeschlossenen Hülle nicht idempotent ist. Diesea-Topologie wird n?her untersucht. Insbesondere wird gezeigt: Es ista eine schwache Vitalische Ableitungsbasis genau dann, wenn die messbaren Mengen (modn) mit dena-Borelschen Mengen identisch sind (wobein daso-Ideal der Nullmengen für das zu Grunde gelegte Mass ist), oder wenn jede messbare Funktion fast überalla-stetig (approximativ stetig in Bezug auf die Ableitungsbasis) ist.     

Ulams Millionenspiel

Zusammenfassung. Angenommen, jemand denkt sich eine Zahl zwischen 1 und einer Million, und ein zweiter Spieler soll diese Zahl durch Fragen: „Ist ?” ermitteln. Da ist, kann die Zahl durch die übliche Halbierungsmethode mit 20 Fragen bestimmt werden. Was aber, wenn der erste Spieler einmal (oder ?fter) lügen darf? Wieviele Fragen werden dann ben?tigt? Dieses Spiel ist als „Ulams Liar Problem” bekannt geworden. Wir wollen das allgemeine Problem ( Zahlen, Lügen) studieren und insbesondere Ulams Problem für eine Lüge l?sen. Eingegangen am 18.4.1994, angenommen am 19.10.1994     

Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

On the boundary layer at perforated walls

Zusammenfassung Für Windkanalversuche im Geschwindigkeitsgebiet der schallnahen Str?mungen werden seit einigen Jahren perforierte oder geschlitzte Kanalw?nde verwendet. Frühere experimentelle Untersuchungen [3] haben angedeutet, dass die Grenzschicht entlang solchen W?nden der turbulenten Mischzone in einer freien Strahlgrenze gleicht. Diese Beobachtung legt die Annahme affiner Geschwindigkeitsprofile und linear anwachsender Mischzonenbreite nahe (Figur 1). Wird die Prandtlsche Mischl?nge für die turbulente Schubspannung der Mischzonenbreite proportional gesetzt, dann resultiert eine konstante Schubspannung entlang der perforierten Wand. Diese kann abgesch?tzt werden, wenn man die perforierte Wand als eine Folge von soliden Wandstücken und freien Strahlgrenzen betrachtet (Figur 4) und damit eine mittlere Wandschubspannung berechnet. Mit dieser ist dann auch die aus dem Kanal entweichende Luftmenge bestimmt. Versuche mit einer perforierten und einer quergeschlitzten Wand best?tigen die theoretischen Voraussagen.

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Part of this research was sponsored by the Air Research and Development Command under Contract AF 18(600)-1330 and part by the ARO, Inc., under Subcontract T-306.     

Kartenverteilungen bei Skat, Doppelkopf, Rommé und Canasta

Zusammenfassung  Es werden zwei Methoden angegeben, um die Anzahlen der verschiedenen Partitionen von Multimengen zu bestimmen. Dabei werden Anzahl und M?chtigkeiten der Partitionsmengen vorgegeben, und es wird für jede Partitionsmenge festgelegt, ob die Reihenfolge ihrer Elemente berücksichtigt werden soll oder nicht. Damit lassen sich die Anzahlen der Kartenverteilungen zahlreicher Kartenspiele berechnen. Beispielhaft werden die entsprechenden Zahlen für die Spiele Skat, Doppelkopf, Rommé und Canasta angegeben. Mathematics subject classification (2000)  05A15, 05A18     

Mathematikgeschichte für Lehrer – Gründe und Beispiele

Zusammenfassung. Die folgenden überlegungen beinhalten ein Pl?doyer für die verbindliche Einführung einer Vorlesung über Mathematikgeschichte in die Lehrerbildung. Es wird dargestellt, warum eine solche Veranstaltung n?tig und wünschenswert ist. Dann wird an Beispielen gezeigt, was Inhalte und Botschaft sein k?nnten. In einem dritten Schritt wird eine p?dagogische Konzeption für die Einbeziehung historischer Inhalte in den Mathematikunterricht skizziert. Eingegangen am 15.5.1995 / Angenommen am 30.10.1995     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Einsensteinreihen für einige arithmetisch definierte Untergruppen vonSL 2 (ℍ)

Ohne Zusammenfassung Ich danke dem Max-Planck-Institut für Mathematik für die Unterstützung w?hrend der Niederschrift dieser Arbeit     

Bemerkungen zur numerischen Behandlung des Dirichletschen Problems für allgemeinere Ränder

Zusammenfassung Durch Doppelreihenentwicklung nach Legendreschen Polynomen wird die L?sung des Dirichletschen Problems mittels Picard-Iteration für einen beliebigen symmetrischen oder unsymmetrischen Rand numerisch durchgeführt. Für die erste N?herung der L?sung werden die Randwerte auf eine die Randkurve m?glichst eng umschliessende Ellipse übertragen. Diese erste N?herung wird korrigiert durch Addition von L?sungen der homogen gemachten Differentialgleichung (Laplacesche Differentialgleichung), die den Fehler l?ngs der Randkurve nach der Methode der kleinsten Quadrate zueinem Minimum machen. Die Berechnung dieser Korrektur wird besonders einfach im Falle eines achsensymmetrischen Randes. Ein Beispiel erl?utert das Vorgehen. In einer früheren Arbeit, Acta mathematica, Band 87, 1952, Seite 361/382, hat Verf. dieses Problem für spezielle achsensymmetrische R?nder untersucht.