利用导数证明某些不等式和恒等式

在全日制十年制学校高中课本《数学》第四册(以下简称“课本”)中,介绍了“导数与微分的应用”,主要是利用导数来研究函数:讨论函数的增减性与极值,函数的最大值与最小值的应用等等.本文将以这些研究为基础,介绍利用导数比较数的大小,证明某些不等式与恒等式.我们将会看到,利用导数这一工具,传统数学的某些问题可能比较简便地得到解决.     

导数的应用举例

导数是研究函数的有力工具，它的应用十分广泛．中专现用数学教材中导数的应用主要限于求曲线的切线，讨论函数的单调性以及函数的极值等方面．事实上，某些恒等式的证明与函数性质的讨论，利用导数可以简便地解决．某些不等式证明与方程的讨论，可以转化为函数问题，然后...     

从源函数看导数主元法构造函数问题

<正>导数的应用历来是各省市高考命题的重点和热点,其中导数中不等式证明问题常以压轴题的形式出现.常用的不等式的证明方法有直接讨论法、分离参数法、中间值法及主元法等.通过对比不难发现,从要证明的不等式出发,运用分析法总会回归到与某一函数(题源函数,简称源函数)有关的问题上,因此,熟练掌握源函数将有助于我们更快地解决这类问题.本文将以一个常考的源函数为例,深入分析并比较导数中用主元法构造函数证明不等式问题.     

不等式"搭台"导数"唱戏"

用导数解决函数的单调性问题一直是全国各地市高考及高考模拟试题的重点,利用导数证明不等式便是近年高考最热衷的题型之一,此类问题的特点为:问题以不等式形式呈现,而"主角"往往却是导数,因此构造函数成为证明不等式的良好"载体".构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系在通过转化变换之后与某些函数结构特征吻合.……     

导数在不等式中的应用

一、应用导数证明不等式 1.应用导数得出函数的单调性.并证明不等式. 我们从导数学习中知道,在某个区间内,若函数的导数的函数值大于0,其在这个区间内单调递增;若小于0,其在这个区间内单调递减.因此,在进行不等式的证明时,就需要考虑到不等式的自身特点,例如构造函数,就能够通过导数来将函数的单调性证明出来,然后再通过对单调性的利用进行不等式的证明.     

如何利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近几年高考的重点和热点.由于导数是高等数学的基础知识,对中学生来说思维能力要求高、解题方法灵活、难度大等特点,于是成为每年高考题的压轴题.如何利用导数证明不等式是导数应用的一个重要问题,本文给出常见的几种证明方法.1.利用给定函数的单调性证明不等式利用函数本身的单调性来证明不等式,从形式上来说,可能是从形式上直接利用给出函数的性质,     

导数在解几中的应用

导数概念是全日制十年制学校高中数学课本第四册第八章的一个重要概念。在第九章比较详细地介绍了导数和微分的应用。导数在解几中也有广泛的应用,可以使一些解几题在运算上化繁为简。现举例说明如下: 一导数的几何意义设曲线c是函数     

球面导数，高阶导数与正现族

本文应用陈怀惠和顾永兴关于Ｚａｌｃｍａｎ不正规性条件的改进结果，推广和加强了Ｌａｐｐａｎ的一个正规定则．Ｌａｐｐａｎ证明：若亚纯函数族中的所有函数的球面导数的幂方（大于２）在紧集上的积分一致有界，则该族是正则的．本文证明，把积分限制在函数值的模小于给定常数的子集上，结论仍然成立．同时，用高阶导数的积分替代球面导数的积分，得到十分一般的结果．另外对幂方为２的情形也进行了讨论．     

关于缺插值样条函数

本文通过Hermite插值样条函数讨论了一类缺插值样条函数,建立了存在性、唯一性及收敛速度估计的定理,并用这类样条函数导数的界限给出某些函数类的特征.     

导数具有k阶分担小函数的亚纯函数

主要讨论亚纯函数的导数具有某些k阶分担小函数时的唯一性问题,得到一个有趣的结果,推广了作者近期的一个结果..     

函数迭代的一个注记

在一定的条件下,应用函数迭代,仅用初等方法即可确定某些级数的和式、函数乘积的高阶导数、以及某些无穷乘积的值。     

导数在证明不等式中的应用

<正> 本文讨论如何利用导数来比较两个函数的大小,并且对一些重要不等式给出简单证明。     

构造法中的奇葩

导数的应用在高考中占有极其重要的地位,在利用导数证明不等式、求恒成立问题中的参数范围、处理方程根的个数、解决曲线图形等问题时,常需根据函数与方程思想,构造函数后再利用导数来求解,     

球面导数,高阶导数与正规族

本文应用陈怀惠和顾永兴关于Ｚａｌｃｍａｎ不正规性条件的改进结果，推广和加强了Ｌａｐｐａｎ的一个正规定则，Ｌａｐｐａｎ证明，若亚纯函数族中的所有函数的球面导数的害虫方（大于２）在紧集上的积发一致有界，则该族是有正则的，本文证明，把积分限制在函值数值模小于给常数的集上，结论仍然成立，同时，用高阶导数的积分替代球面导数的积分，得到十分一般的结果，另外对幂方为２的情形也进行了讨论。     

(h,φ )-Lipschitz函数及其广义方向导数和广义梯度

借助于Ben-Tal广义代数运算引进了一种新的函数--- (h,φ)-Lipschitz函数. 讨论了它与Lipschitz函数之间的关系,给出了它的广义方向导数和广义梯度,得到了它们的若干性质. 作为应用,给出了广义方向导数与切锥之间的关系.     

(h,)-Lipschitz函数及其广义方向导数和广义梯度

借助于Ben—Tal广义代数运算引进了一种新的函数-(h,)-Lipschitz函数．讨论了它与Lipschitz函数之间的关系,给出了它的广义方向导数和广义梯度,得到了它们的若干性质．作为应用,给出了广义方向导数与切锥之间的关系。     

函数单调性在解题中的一些应用

函数的单调性在中学数学中有广泛的应用,它的应用范围远远超过高中课本所涉及的深度、广度与难度,利用它可以解办程、解不等式、求最大(小)值、求取值范围、证明等式与不等式等问题,其中某些问题的解法之巧妙、简捷、明快、无不使人耳目一新,举例如下:     

Taylor公式在解题中的应用

通过实际范例给出带Lagrange余项与带Peano余项的Taylor公式在解决某些涉及抽象函数高阶导数的问题中的若干应用及优势．     

关注导函数的周期性与奇偶性

对于导函数,在我们的教学中往往只关注导数的应用,特别是导数在处理函数的单调性、极值(最值)、不等式的证明等问题中别具一格的应用,更是把导数的"本色"刻划得淋漓尽致.……     

由2021年新高考Ⅰ卷导数题谈二元函数范围问题的处理方法

<正>2021年全国新高考Ⅰ卷的导数题考查了利用导数研究函数的单调性,以及构造函数证明不等式等知识点.本题第2问涉及两个变量a,b,是一个比较典型的讨论二元函数的范围问题.下面我们从不同的角度来求解这个问题,梳理解决二元函数范围问题的常用思路以及典型方法.