数列｛[1 (1/n)]~n｝极限存在的另四种常见证法

一般的《高等数学》教材中，对于重要极限■的存在性，都是用牛顿二项公式将■展开而得到数列的单调性和有界性，从而说明存在，本文介绍借助三个不等式给出极限的存在性证明。不等式一：贝努利·雅各比不等式不等式二：均值不等式不等式三证法一．’．数列《X。）是单调递增的又（x。）是单调递增数列，故x。。；＜x。＜4．于是VnEN，x．＜4．．＿、＿＿＿＿＿，1．．1卜＿＿由单调有界原理人刘1十手【存在。＿＿．、。I．．11、，＿＿＿＿证法二投入一11十分I，利用不等式一．”．数列（y。）是单调递减的2，”．｛y．｝是有下界的，由…     

初一(上)半期综合测试(一)

一、判断题（每小题１分，共１０分）１．整数和分数统称有理数．（　）２．设甲数为ｘ，若乙数比甲数的一半小２，则乙数是１２（ｘ－２）．（　）３．若ａ、ｂ互为相反数，则１３（ａ－ｂ）＝０．（　）４．若ａ＞０，ｂ＜０，则１ａ＞１ｂ．（　）５．没有最大的负数．（　）６．两个有理数的差一定小于被减数．（　）７．任何有理数都有倒数．（　）８．两个有理数的和与积都是正数，则这两个数必都是正数．（　）９．如果（－ｘ）２＝９，那么ｘ＝３．（　）１０．一个数的平方一定是正数．（　）二、填空题（每小题２分，共２０分）１…     

素质、能力、考题——天津市1999年中(会)考试题评析

第２题，Ｆ＝ＧｍＭｄ２好眼熟，不就是牛顿万有引力定律的数学描述吗？第１４题是明显的行程问题，背景却是火星旅行计划．它们是考卷中的亮点，是人类文明的缩影，是人类征服自然的愿望．潜移默化地播下了学科学、爱科学的种子．第２３题和２４题考查学生对初中数学知识体系的达成度．以选择题的形式考查学生判断命题的真与假，或者指出真命题的数目，增大了知识的覆盖性，加大了检测力度．然而，题型是对高考数学成功经验的吸收．众多的基础题目考查基本知识、基本技能、基本思想方法，第２９题考查动手能力．会者不难，难者不会．该题应…     

涉及直角三角形一命题的平几证法

命风在RtrtABC中，AfACB为亘角，CH上AB于H，凸ADC和chCDB的内I以分别为OI、OI，OIOZ号CHR于H，则大＞十个＞一六＞．BCACCH"此命题是沈文选先生在文〔1」中给出的一个结果．不过文「IJ中的其它结果均是用平几法证明的，唯独上述命题是用解析法证明的，实为一件憾事．为了能使a中学生知旺此岗题的证明，现结出如下平几证洁，供同6参否．证明如国1，设OIOZ的延长线分别与AC、BCR于M、N．连结COI、DOI、DOZ．因此OI、M、A、D四点并圆．于是否CMOIMchCHOI，CM-CD．同理CD-CN．迢ZBCD-a，则＜ACD-90"一a．…     

频率分布

一、启发提问在统计初步中，如果要研究一组数据平均水平或集中趋势，则只需研究这组数据的．如果要研究一组数据的波动大小，则要研究这组数据的或；如果还要研究在哪一个范围内的数据较多，在哪一个范围内的数据较少，这就需要研究这组数据的．二、读书自学　教材Ｐ１８５－Ｐ１８９三、启读指导１．获得一组数据的频率分布的一般步骤是：（１），（２），（３），（４），（５），（６）．２．在Ｐ１８５例中，这组数据的最大值是，最小值是，它们的差是ｃｍ．３．当数据在１００个以内时．按照数据的多少，常分成组．这是分组的经验法则…     

数学思想和数学方法

编者按数学思想、数学方法、数学思想方法，是近十年来中数界的热门话题．其内涵是什么？如何界定？在各种中数研讨会上，大家一直在研讨，甚至争论．蔡老师对此进行了全面、系统、深人的研究．本文无论是在理论研究上，还是在教学指导的意义上，都很值得一读，特此发表，以飨读者．知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容．在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围．这些知识要素也都有其本身的内容．问题是，这丰富多采的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西？…     

换元法及其应用

所谓换元法，指的是在解数学题时．把某个式子看成一个整体。用一个变量去代替它．从而使问题得到简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量（Jot）代换，”目的是变换研究对象．将问题移至新对象的知识背景中去研究．把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化．     

圆周角

一、启发提问１．什么是圆周角？它与圆心角的定义有何关系？２．圆周角定理中的圆周角和圆心角有什么特殊限制？３．圆周角定理的证明过程告诉了我们什么数学思想方法？二、读书指导１．填空（１）圆周角定义的两个特征是，．（２）所对的圆周角等于它所对的圆心角的．２．选择下列图形中７－２１，∠ＢＡＣ是圆周角的是（　）三、议练活动１．已知：如图７－２２，⊙Ｏ中，∠ＡＢＣ＝５０°，则∠ＡＯＣ＝度．图７－２２　　　　　　图７－２３　　２．如图７－２３，ＡＢ、ＡＣ分别与⊙Ｏ交于Ｂ、Ｅ和Ｃ、Ｄ，ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∠ＢＯＣ…     

函数图象对称性与周期性关系初探

函数是高中数学课本的重要内容．教学和研究函数的性质时，一般是单一地讨论函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性．基本上不谈函数的图象对称性与周期性有什么关系（由于问题较为复杂）．众所周知，奇函数或者偶函数未必是周期函数，既是奇函数又是偶函数（定义域为R）必是周期函数，即函数的图象关于原点对称又关于y轴对称，那么它是周期函数．反之，周期函数也未必是专函数或偶函数．三角函数是周期函数，通过观察它们的图象，我们发现有的图象关于无数条直线对称、有的图象关于无数个点对称．这些表面现象有没有隐藏着什…     

挖掘教材内涵 突破教学难点 提高思维能力──谈“因式分解”的教学

因式分解是初等代数恒等变形的重要内容和方法之一，历来是初中教学的难点．难就难在：一是师生认识上的反差．对于教师来讲，已经是"过来人"，驾轻就熟，各种套路心中有数，似乎好教．而对于学生来讲，上一章是乘法公式，几番下来，好象是有章可循，而因式分解则不然．这两种反差若处理不当会增大教学难度．二是因为因式分解内容涉及面广，方法灵活．如二次三项式ax2 bx c在什么情况下能分解，什么情况下不能分解，涉及一元二次方程判别式，教师清楚，学生不清楚．方法活就活在因式分解思维的逆向性和发散性、解题思维的灵活性和探索性．如…     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

高考专题复习系列讲座（3）——三角函数与平面向量

1．考点透视 三角函数是高中数学的重点内容之一，是高考的必考内容．纵观2007年全国各地高考试题，比较注重对三角函数的基础知识、基本技能和基本方法的考查，试题比例基本保持稳定（分值大约在15～22分之间），选择、填空、解答三种题型均有涉及．三角恒等变形、求值、三角函数的图象和性质（周期性、单调性等）、解三角形等主干知识仍然是高考重点考查的内容，以中低档题为主，难度不是太大．复习时应立足课本．抓好基础，加强规范化训练．     

让数学课堂教学多些文化气息

“ｘ、ｙ、ｚ，枯燥无味”．这种对数学课的评价虽不全面，但毕竟反映某些同学对数学课不感兴趣的现状．如果没有升学考试的压力，情况可能还要差．作为科学和艺术的数学从本质上反映了自然界的绚丽多彩．教师的职责就是要艺术地再现这些科学知识的发生、发展过程，使之产生一种亲和力，从而提高课堂教学效率．笔者认为，数学课中多些文化气息有助于达到这种效果．应该说明的是，这里的“文化”是一种狭义的文化，即“数学”姑且不属于文化，而广义的文化则可包含数学．本文结合教学实践，谈些粗浅看法．１　运用比喻深化认识加强理解比喻是…     

如何引导“学困生”走出困境

素质教育是提高主体国民素质为宗旨，以促进受教育者德、智、体、美、劳诸方面发展为目标的一种办学模式．在数学教学过程中，可何让“学困生”走出困境，使全体学生都能在原有的基础上得到完善和发展，是一个十分重要的问题．下面谈几点粗浅作法．1渗透德育教育，树立远大理想原苏联著名教育家苏霍姆林斯基认为，爱国主义思想情感是每个青少年必须具备的最基本的道德品质．因此，爱国壬义教育是向学生进行思想教育的一条主线．教学的艺术就在于激励、唤起、鼓舞．“学困生”的“困”因，往往在于他们学习目的不明确，学习态度不端正，胸无…     

略论数学学习方法(一)

略论数学学习方法（一）刘卓雄（福建省宁德师专３５２１００）要想取得学习上的成功，理想、勤奋、毅力、方法四个条件缺一不可．理想是力量的源泉，勤奋是取得成功的前提，毅力是克服困难的关键．除了理想、勤奋、毅力而外，方法也是很重要的．方法对头，事半功倍，方法...     

解不等式

1．本单元重、难点分析 解不等式是不等式研究的主要内容，也是高中数学的重要内容，是高考的必考内容之一．解不等式在数学中有着极其重要的地位，许多其他问题都可以转化为解不等式的问题，解不等式是解决函数定义域、值域、单调性、最值、取值范围、二次方程根的分布等问题的有力工具．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点和内在联系，选择适当的解决方案．     

在解题教学中如何培养学生的观察力

观察力是指主动观察事物或现象，并发现其特征、差异的能力．心理学研究表明，观察力是学习的必要条件，也是智力的有机组成部分．因此，培养学生的观察力是数学教学的一项长期而重要的任务．本文就解题教学中如何培养学生观察力这一课题，谈点粗浅体会．一、揭示观察的中...     

提高中学生数学语言水平之我见

数学语言是数学知识的载体，它是表达数学名词、术语、定义、定理、法则、公式及其推导等的语言．一般有文字语言、符号语言、图形语言等．它与通常语言相比具有科学性、简洁性、抽象概括性等特点．由于教学语言是数学思维与教学交流的工具，且数学语言的水平是反映一个学生数学素质和数学能力高低的重要因素．因此，提高学生数学语言水平是学好教学的关键．本文就目前中学生数学语言的现状及如何提高学生的数学语言水平，根据自己的教学实践谈点肤浅看法．1目前中学生数学语言水平的现状（1）阅读理解能力差．从近三年的高考应用题看，虽然…     

高二年级期末复习自测题

1本学期知识网络 不等式这一章的主要内容是不等式的性质、证明及解法．复习时要整体把握不等式知识之间的内在联系．不等式的性质是学好本章的关键，因为它是解决不等式问题的理论依据．不等式的解法是重点，不等式证明方法的选择和不等式性质的活用是难点．均值不等式在本章及以后的应用中又占有重要位置，“正、定、等”是其核心．     

高中数学“短平快”同步练(1)

编者按"短、平、快"已不是排球竞技场上的专用术语，一些讲效益的活动都得注重"短、平、快"，学习也是如此．"短"的对面是"长"．高考数学的成败不一定在后面的长（大）题上，那里只有69分；也可能在前面的短（小）题上，这里是81分．更何况这些短题是长题的基础呢！"平"的对面是"陡"，即有坡度．目前许多同步训练实不同步，讲的是"起点"知识，要的是"终点"能力，坡度太陡，叫那些平路尚未走稳的学生攀不上去．"快"就是如何向时间要效益．一道小题，花时不多，作答简单，判别正误容易，这也提高了单位时问的覆盖量和学习效益．这就是"短平快"…