巧设辅助函数

通过巧妙地构造辅助函数,可以快捷便利地求解高等数学中的部分证明题.     

巧设辅助未知数解一类应用问题

在布列方程解应用问题的教学中,不少学生对于解一类涉及多量,条件隐含及关系交错的应用问题感到困难,他们先后采取单从设直接未知数或间接未知数的方法多次进行尝试,都无济于事,均不易找到相等关系。此时,教师若能因势利导引导学生会采用巧设辅助未知数的方法来解决此类问题,则可以转难为易,化隐为显,起到铺路搭桥的过渡作用。以下略举几例说明之。一、辅助未知数在方程中呈过渡公因数。例1 甲乙二人绕城而行,甲绕城一圈需3小时,现两人同时同地相背出发,乙自遇甲后再过4小时达到原出发点求乙绕城一周所用的时间。解:(间接未知数)被乙经过x小时与甲相遇。(辅助未知数)设绕城一周周长为s公里。依题意得:     

此时宜用辅助圆

<正>在初中数学学习过程中,有一类几何题,作"直"辅助线难以解决.研究条件后发现,图中隐藏着"圆",找出这个圆,即构造出辅助圆之后,解题就会变得轻松而简捷.借辅助圆解题的情况较多,现举其中两种加以说明.一、由"90°的圆周角所对的弦是直径"想到可用辅助圆     

添加辅助圆解题

<正>在几何问题的求解中,经常会添加辅助线,辅助线多是一些直线、线段或者射线,有时也会添加曲线,比如圆.哪些情况下会添加辅助圆呢?举例分析如下.1.添加三角形的外接圆作已知三角形的外接圆最具有灵活性,对其添加需要用心去体会,并多尝试.     

巧用辅助圆解竞赛题

近两年来 ,全国初中数学竞赛题中有几道几何题 ,使学生在解答时无从下手 ,找不到解题的途径 ,因而失分率较高 .从这几道题的题设和结论看 ,似乎与圆无关 ,若受定势思维的影响 ,就会对试题束手无策 .但只要借助辅助圆 ,就会使问题得以解决 .本文对这几道题作出解答 ,供同学们参考 .题 1　Ａ1 Ａ2 Ａ3…Ａ9是一个正九边形 ,Ａ1 Ａ2 =ａ ,Ａ1 Ａ3=ｂ ,则Ａ1 Ａ5等于 (　　 ) .(Ａ)ａ2 +ｂ2 　　 (Ｂ)ａ2 +ａｂ +ｂ2(Ｃ) 12 (ａ +ｂ) (Ｄ)ａ +ｂ(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )剖析　这道题是一个正九边形 ,边数较多 ,一般情况下 ,只需作出正九…     

构造辅助圆解竞赛题

<正>在处理平面几何中的许多问题时,需要借助于圆的性质,才能使问题得以更好的解决,但我们所需要的圆有时并未给出,这就需要我们利用已知条件,做到无中生圆.下面结合几个例题简单地谈一下如何根据具体情境构造圆,做到圆满解决:一、利用圆的定义生圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,∠BAC=3∠DBC,BD     

例谈添加辅助圆

在初中偶尔能看到添辅助圆解平面几何题的方法,但在高中里几乎是销声匿迹．本文仅以椭圆为例说明这一方法在高中数学中的“死灰复燃”．     

构造辅助圆解题两例

<正>对于在已知直线上找点与已知点构成定角的问题,如果能根据题设和结论,构造出符合题意特征的辅助圆,即把题目中的固定角转化为圆周角问题,就能使问题得以顺利解决,这种方法不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力.请看下面的两个例题:例1如图1,B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使得∠APB=30°,则满足条件的点P的个数是().     

“辅助圆”大显神通

圆有着许多重要而美妙的性质,不少数学难题看似与圆无关,然而构造出“辅助圆”后,却立刻显得简单而又灵活.好!下面就让我们来看看“辅助圆”的神通吧!     

利用辅助圆解竞赛题

<正>在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质.而我们需要的圆有时题设中并没有;有时虽然题设中有圆,但是此圆并不是我们需要的圆,这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的圆找出来.一、利用圆的定义作圆例1(江苏省竞赛题)如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,     

辅助圆应用五例

在解析几何中,一些从表象上看与圆无关的问题,若充分利用有圆特性的有关条件,巧妙引入辅助圆,利用圆丰富优美的几何性质解决它,真可谓锦上添花．     

构造辅助圆方法点滴

<正>辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁,而在众多类型的辅助线中,辅助圆充当了重要的角色,它既具有一定的独特性又具有隐含性.说其独特,是因为它是唯一曲线型辅助线;说它隐含是因为一些问题无论从条件还是结论似乎都没有直接与圆相关的信息.近年来有关中考辅助圆的问题占有一定的比重,题     

用辅助圆巧解题

我在学习过程中发现有一些题目若用辅助圆来解决则显得简捷、明朗 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考试题 )椭圆 ｘ29 ｙ24=1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,求点Ｐ横坐标的取值范围分析 :若用常规方法设点的坐标 ,在△Ｆ1ＰＦ2 中运用余弦定理来确定横坐标的取值范围 ,十分繁琐 ,在高考中就浪费了大量的宝贵时间 ,得不偿失 .因此 ,必须另找一种较快的方法 .图 1　例 1图解　先找出∠Ｆ1ＰＦ2 =90°时Ｐ的位置 .作以Ｆ1Ｆ2 为直径的圆ｘ2 ｙ2 =5 ,那么直径所对的圆周角为直角 .联立椭圆与辅助圆的方程 ,ｘ29 ｙ24=1…     

浅谈辅助圆的添设

在平面几何中,经常需要添加辅助线来帮助证题,这些辅助线大致可分为直线型和圆,对于前者的添设规律大家都很熟悉,面对于后者的运用却不那么自如了,为此,本文粗浅地谈谈辅助圆的添设方法。 1 思路归纳辅助圆的添设方法灵活多变,其常用的思路是下列几种: ①如图 1,若AB=AC=…=AT,根据圆的定义知,点B、C、     

辅助圆应用五例

在解析几何中,一些从表象上看与圆无关的问题,若充分利用有圆特性的有关条件,巧妙引入辅助圆,利用圆丰富优美的几何性质解决它,真可谓锦上添花.1.求解点的坐标     

也读利用圆的定义引设辅助圆

<正>《中学生数学》2013年9月(下)刊登了张万录老师的《利用圆的定义引设辅助圆》一文,读后感觉方法新颖,开阔视野.本人发现还有一种类型题也可通过引设辅助圆求得解决.当题目条件中有且只有一个定端点的定长线段时,可考虑以定端点为圆心,定长为半径作辅助圆,利用圆的有关性质解题,下面举例说明.     

构造辅助圆解题举隅

有些解析几何问题,或因题中给出的曲线"形单影只"而难以找到下笔的突破口,或因其求解过程繁杂冗长而使解题陷入困境,若能根据题意构造辅助圆,使其与已知曲线联系起来,便可使问题轻而易举获得解决.现举例说明.     

构造辅助圆证明代数不等式

有些代数问题,若能充分根据题设条件及其数量特征,巧妙地构造辅助圆,则可利用圆的知识,使所给问题在辅助圆下实现转化,从而使问题获得解决.本文以具体例子谈谈构造辅助圆证明代数不等式问题.     

试谈辅助圆的添设

在证明平面几何题时,正确地添设辅助线,往往是关键。关于辅助线,通常有直线(包括线段、射线、平行线、垂线、圆的切线等等),和圆。对于前者,已普遍引起人们的注意、研究和运用。本文举例说明在平面几何证题中添设辅助圆的问题供老师们在教学中参考。 [例1]在四边形ABCD中,AB∥CD,BC=b,AB=AC=AD=a,求BD的长。分析:从本题AB=AC=AD=a这个条件,不难想到:B、C、D三点应在以点A为圆心,以a长为半径的圆上,若将此圆画出,本题将迎刃而解。解:以A为圆心a长为半径画圆,如图1 ∵ AB=AC=AD=a 故 B、C、D三点在⊙A上。     

巧用辅助圆解课外练习题

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题为:如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法是:△ABC是等腰三角形.证明∵BP=CQ,∴S_(△BAP)=S_(△CAQ).即1/2AB×APsin∠BAP=1/2AC×AQsin∠CAQ.∵∠BAP=∠CAQ,