几个正(余)切函数公式的应用技巧

本文所谈及的系指如下公式:(1)tgα±tgβ=tg(α±β)(1tgαtgβ);(2)tgαtgβ=sin(α±β)/cosαcosβ(3)tgα/2=(1-cosα)/sinα,ctgα/2=(1 cosα)/sinα(4)     

练习课一例

在讲授了和角与差角的正弦、余弦、正切公式后,我组织了一堂练习课。其目的在于:第一,巩固上述六个公式;第二,使学生掌握由已知几个单角的三角函数值,确定这些角之间的关系这一类问题的解法。教学过程分为四步。一、通过教材P180例1(1)(已知tgα=1/3,tgβ=-2,求ctg(α-β)复习公式Tα-β, 二、通过教材P180例1(2)(已知tgα=1/3,tgβ=-2,且α∈(0,π/2),β∈(π/2,π),求α+β)提出问题,阐述解题规律。     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

α、60°-α、60°+α角的同名函数的积

这是教材上的一组习题: 求值①sin20°sin4O°sin8O°, ②cos20°cos40°cos8O°, ③tg10°tg50°tg70°。利用积化和差公式,不难求其结果。研究这类问题,还可发现如下规律:每组角可统一表示为α、60°-α、60°+α。上述题①、②中,α=20,题③中,α=10°。进一步研究还可得到:α、60°-α、60°+α角的同名函数的积都可用α的三倍角的同名函数表示出来,即是     

巧用万能公式解题

万能公式是三角学中的重要公式之一,由于它有如下特点:角α变成了α/2,函数都统一成为tg(α/2)的有理函数,所以在解题中有着广泛的应用。举例说明如下: 例1 已知方程acosx bsinx c=0,在[0,π]中有两个相异根α、β,求sin(α β)的值。     

浅谈如何提高学生的解题能力

在数学教学中,对学生各种能力的培养,其效果如何,最终要通过解题来具体体现。因此,提高学生的解题能力在教学中应占有重要地位,下面笔者谈谈自己在这方面的一点体会。一、揭示实质三角这部分的特点是分式多,解题时选择哪一个公式、哪一种方法,是学生感到棘手的问题。例如:已知secα tgα=2,求secα-tgα的值,如果从已知条件中求出α或α的某个三角函数值,再计算secα-tgα是十分繁琐的,联想到公式1 tg~2α=sec~2α,于是有sec~2α-tg~2α=1,即(secα tgα)(secα-tgα)=1,易得secα-tgα=1/2但这并非问题的实质,在已知条件不变的前提下,改为求secα-2tgα的值,又该如何处理呢?这无疑     

一个恒等式的构造及证明

在一次考试中,我出了这样一道题:求证:(1-cosα+sina)/(1+cosα+sinα)=tga/2(用两种方法证明)。这个等式的构造是由半角公式tgα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)并再由等比定理直接推得: tgα/2=(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα) ①由①的构造过程我们可得到一种简单方法。证一:右边=(1-cosα)/sina=sinα/(1+cosα)==(1-cosα+sinα)/(1+cosα+sinα)由于大部分学生不会用等比定理,该方法虽然简单,但问鼎者仅两人。大部分学生采取了下面的证法。证二:左边=(1-(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2))+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2)))/(1+(1-tg~2(α/2))/(1+tg~2(α/2)+2tg(α/2)/(1+tg~2(α/2))=(1+tg~2(α/2)-1+tg~2(α/2)+2tg(α/2))/(1+tg~2(α/2)+1-tg~2(α/2)+2tg(α/2))=tgα/2证三:左边=(2sin~2(α/2)+2sin~2(α/2)cos(α/2))/(2cos~2(α/2)+2sin(α/2)cos(α/2))     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

一道课本上习题的推广与应用

求证:A 刀 C一“”(”七z)是:tg月十‘91, tge二ts滋·tgB·*‘己的充要条件。 证明充分性\由A十刀一‘一C(lJ任Z)得到一tgC二ts(A十召)=tgA十tgCl一tgAtg召 tg4 tg刀十tgC一tgA·tg6·tg〔’必要性假设、一tg爪‘U一0,则t‘,一六- t匕L, ,汀气8又下~一廿) 乙 高中代数第一册PZ17第22(!)题:△注肥,求证:tg月 tg刀 tsC=tgA,g召‘gC· 本文将此题推广成如下: “十”一“, 晋‘。任z,将ts月·t8B=I代入tgA十tg召十tgC=tg乃·tg召·tgC“tg(’ tgA十ts刀~0解得:A十刀二川二(ll,ez)①与②矛盾,故1一论A·饱召护0①②3马将tgA tg刀二t…     

转化,有力的杠杆——谈一道三角恒等式的多种转化

三角函数,不仅自身有许多基本而重要的公式,如和差角公式,倍角公式、半角公角,和差化积、积化和差…,而且还离不开代数运算。比例关系,….这样看来,三角函数问题的特点是变化多、技巧高,综合性又强.因此,是一个思维训练的良好场所.着意加强这方面的训练,就有利于培养同学们分析和解决问题的能力,下面就一道恒等式试作多方面的探索和转化,借以说明这方面的训练. 1 题目与解法 例1 求证:tgα secα=tg(α/2 π/4). 分析左式有正切、正割两种不同的三角     

一种三角变形的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题二A组第十四题是:已知tgα=3,计算:(1)(4sinα-2cosα)/(5cosα+sinα);(2)2sin~2α/3+cos~2α/4;(3)sinαcosα;(4)(sinα++cosα)~2,这个题目的正确解法是:先将每个式子都变形为只含有tgα的式子,再把tgα=3     

对一道习题解法的探究

(一)题目:通过点(8,6)引四条直线与ox轴的夹角之比为1:2:3:4,已知第二条直线的方程为3x-4y=0,求其余三条直线的方程。 (华东师大数学系编《解析几何习题集》(以下简称甲书)P_71。18题;翟连林等主编《中学数学习题集第三册》(以下简称乙书)P230第7题。) (二)上述两书的解答乙书给出的解答如下: 设四条直线为l_1、l_2、k_3、l_4,倾斜角顺次为α、2α、3α、4α。由l_2的方程3x-4y=0(?)tg2α=3/4即2tgα/(1-tg~2α)=3/4(?)tgα=1/3,tga=-3(舍)(?)tg3α=13/9,tg4α=24/7∴l_1:y-6=(x-8)/3即x-3y+10=0     

两道习题的统一与开拓

高中代数(乙种本)上册P_(240)和P_(205)上有如下两道题:1°求证tg3θ-tg2θ-tgθ=tg3θtg2θtgθ 2°在△ABC中,求证tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC 对1°变形得tg3θ+tg(-2θ)+tg(-θ)=tg3θtg(-2θ)tg(-θ)可以看出它们是一种类型的题目。不同的是1°式中的角的关系为3θ+(-2θ)+(-θ)=0:而2°式中角的关系为A+B+C=π。下面证明当角的关系满足α+β+r=kπ时(k∈z)有tgα+tgβ+tgr=tgαtgβtgr。     

此题的结论应予修正

有这样一道题:在△.4刀C中,1匕tg.4+1马tgC== 21gtgB,求汀一2‘证:号成”此题在给学生练习时,一般都能证出要‘ J.然而,我们同时有一同学在求丑的范国时得到了异于题中的刀的范围,他的解答咬。下:o咬刀《忍了 j解:依题意tg.4、tgB、tgC>0,即0<才、几c<号.又由题设条件知to.4tgC=tgZB,z一tg乞刀=1一tg‘峨tgC即‘1一tg乞B=t叮.理+t.艺C_tg通+tgCtg(_4+C)一tg刀》坦重红丝够二 一tg刀:.. fg,B成3,又坛刀)仍,,...:.。<刀‘导·Zt仁刀一tg刀一2一心了毛tg刀书了不o相似文献   

对半角三角函数的符号问题的剖析

半角三角函数公式中,都具有双重符号,在使用这些公式时,如何确定符号就成为一个很重要的问题了.本文就此进行剖析.1　从课本中的两个例题谈起高中代数(必修)上册P221的例1和P222的例2是关于半角的正弦、余弦和正切的两个例题,这两个例题在求解时都需要正确确定符号.先看例2:已知cosθ=-35,并且180&;#176;&;lt;θ&;lt;270&;#176;,求tgθ2.解　∵　180&;#176;&;lt;θ&;lt;270&;#176;,∴　90&;#176;&;lt;θ2&;lt;135&;#176;,∴　tgθ2=-1-cosθ1+cosθ=-2.从例2可以看出,凡所给的单角是区间角,半角也是区间角,半角三角函数的符号是容易确定的.再看例1:已知cosα=12,求sinα2,cosα2,tgα2.解　sinα2=&;#177;1-cosα2=&;#177;12,cosα2=&;#177;1+cosα2=&;#177;32,tgα2=&;#177;33.为什么此例中α2的三角函数均取正负两个值呢?因为例1中的α不是区间角,而是象限角,比例2复杂多了.下面的解法将会使你茅塞顿开.解　∵　cosα=12&;gt;0,∴　2kπ-π2&;lt;α&;lt;2kπ+π2(k∈Z),∴　kπ-π4&;lt;α2     

浅谈三角函数式的变形

应用三角函数知识解决的各种问题 ,都离不开三角函数式的恒等变形 .熟练掌握三角公式的原型 ,熟悉三角公式的变形 ,并灵活地运用三角公式进行恒等变形是提高解决数学问题能力的一个重要方面 .例 1　求证 :12 tg x2 12 2 tg x2 2 … 12 ntg x2 n　　　　 =12 nctg x2 n - ctg     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

用三角法証几何題的点滴体会

让我們通过一些具体例子来进行分析: 例1.已知矩形ABCD中,CB=3AB,E和F是CB边的三等分点(图1),求証 ∠ACB+∠AEB+∠AFB=90°。证.显然∠AFB==45°,記∠ACB=α,∠AEB=β。由題設得到 AB=BF=FE=EC,故 tg α=AB/CB=1/3,tg β=AB/EB=1/2,从而 tg(α+β)=(tg α+tg β)/1-tg α tg β)=1/3=1/2/1-1/3·1/2==(2+3)/6-1)=1又0<α<β<45°,故α+β为銳角,α+β=45°。从而     

数学问题解答

19892月号问题解答 (解答由问题提供人给出)。,。:r,月百l论兀.14,尸)。‘0汉改二i劣{公二气;一 下a尹c tg下厂,那之z老, tl乙乙t,)B=恤}二=衍一a,。tgZ,无任:},。(l,1,产〕‘二、x lx二‘兀十arCtg牛下,佑口名卜 L二乙)试证:月二BU己~。二_J‘1 14.无汀,尸址:勿翔戏二、xI劣=下~arc tg石~十气犷,,‘二 吸l‘Q乙洲溉于份为方程 ,4tg乙念=.万~ O(*)凡 刀。=泞s53 尽10=S的解集,再由倍角公式,方程(,)可变形为 娜‘’汝_l。捆、」黔二五丫刻花产Jl下。2{、二芝.止望一二生1一tg‘劣3目nZtgZ劣 3tg劣一2=o(Ztg劣一1)(tgx 2)=0 1,、。tg‘=…