Fuglede—Putnam定理的简单证明

Ｆｕｇｌｅｄｅ──Ｐｕｔｎａｍ定理的简单证明陈寅（河海大学数理系２１００２４）复矩阵Ａ称为正规矩阵，如Ａ＊Ａ＝ＡＡ＊，这里Ａ＊为Ａ的共轭转置，关于正规矩阵的最重要的结论之一是Ｆｕｇｌｅｄｅ－Ｐｕｔｎａｍ定理，［１，５３８－５４２］给出了这个定理的证明...     

Laffey—Choi定理的一个证明

A,B是n阶复矩阵,是否存在可逆矩阵P使P(~-1)AP与P~(-1)BP同时为上三角复矩阵(称A,B同时复上三角化),Laffey在文[1]中给出了下述定理,尔后Choi等人在文[2]中给出了简化证明,本     

Mazur-Orlicz定理的一个初等证明

在文献[1]中，作为矩阵求和法的一个重要定理——Mazur—Orlicz定理，其证明是借助于许多工具与手段给出的，十分繁琐。现用初等方法给出一个简化而直接的证明。     

Mutlhews—Sumner定理的证明

本证明了：若G是2连通无爪图且δ（G)≥n-2/3,则G是Hanmilton图．     

罗尔定理的一个证明

本文利用连续函数的极值原理、介值定理以及极限的两边夹定理,给出了罗尔(Rolle)中值定理一个简洁证明。由于该方法迴避了运用(未被编入工科高等数学教程中的)区间套原理,从而比《美国数学月刊1979(86)》发表的Hans Samelson[1]和Alexander Abian[2]的两个新证明,在我国理工科数学有关的教学实践中更为通用。特别地,本文的方法还避免了使用文[1]所引用的P.Lévy平行弦定理[3]。     

Signature 算子的 Lefschetz 不动点定理的一个几何证明

本文给出流形之间映射的余切映射的 Clifford 表示,结合虞言林给出的Parametrix 证明了 Signature 算子和 Hodge-de Rham 算子的 Lefschet_2不动点定理.     

自乘零化灰阵有关定理及证明的改进

本文对文[1]中有关自乘零化灰阵的定理及其证明给出了改进，并得出了传递矩阵的计算方法。     

Hoffman-Wielandt定理的推广及应用

1　引言及记号用 Rn× n表示所有 n× n阶实矩阵的集合 ,用 Sn× n,Sn× n+及 Sn× n++分别表示所有 n×n实对称矩阵 ,实对称半正定矩阵及实对称正定矩阵的集合 ,用 Tr(M)表示矩阵 M的迹 ,对 A,B∈ Rn× n.定义其内积为 A×B=Tr(ATB) .考虑如下半正定线性互补问题 :求 X,Y∈ Sn× n使Y =L (X) +Q,X≥ O,Y≥ O,X× Y =0 ,(1)其中 Q∈ Sn× n,L :Sn× n→ Sn× n为线性算子 ,而 X≥ O表示 X∈ Sn× n+(O表示零矩阵 ) .若 L:Sn× n→Sn× n满足X× L (X)≥ 0 ,　　 X∈ Sn× n. (2 )则称其为单调算子 ,而相应的问题称为单…     

Pascal定理的复数证明

Pascal定理　设ABCDEF为圆内接六边形,相对的边AB和DE,BC和EF,CD和FA(或延长线)的交点分别为P,Q,R,则此三点共线(见图1,图2).Pascal定理是平面几何中的著名定理,有多种证法,可见[1].本文,我们在平面上建立复坐标,计算出P,Q,R三点的坐标,用(zQ-zP)/(zR-zP)是实数这一事实来说明P,Q,R三点共线.这种做法的难点是得到(zQ-zP)的因子分解式(见下文(1)式),优点是思路简单,除了计算外,无须添助任何辅助线.证明　在复平面上,设圆的中心为原点,半径为1.A,B,C,D,E,F,P,Q,R九点的复数分别为t1,t2,t3,t4,t5,t6,zP,zQ,zR.先给出直线AB…     

正规矩阵的任意扰动

设A为n×n矩阵,其特征值为λ1,λ2,…,λn;矩阵B=A+X之特征值为μ1,μ2,…,μn.若A,B均为正规矩阵,由Wielandt-Hoffman定理[1],存在1,2,…,n的一个排列k1,k2,…,kn,使得nj=1|λj-μkj|2≤‖X‖2F,(1)其中‖·‖F表示Frobenius范数.又,在同样条件下,存在1,2,…,n的一个排列l1,l2,…,ln,使得对1≤j≤n均有|λj-μlj|≤2.91‖X‖2,(2)其中‖·‖2表示谱范数,这是R.Bhatia等人的结果[2].本文旨在讨论A为正规矩阵,B为任意矩阵时特征值的扰动估计,得到了几个扰动定理,分别推广了上述两个结果.本文用CH表示矩阵C的共轭转置,trC表示C的迹;…     

用二项式定理证明不等式

二项式定理应用很广泛 ,其中在证明幂不等式和组合不等式方面具有独特的作用 ,下面分类举例说明 :1　利用二项展开式进行放缩例 1　已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ- 12 2 1.证明 :对于任意不小于 3的自然数ｎ ,都有 ｆ(ｎ) >ｎｎ 1.证　当ｎ≥ 3时 ,ｆ(ｎ) >ｎｎ 1 1- 22 ｎ 1>1- 1ｎ 1 2 ｎ>2ｎ 1,∵ 2 ｎ=(1 1) ｎ=Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2 ｎ … Ｃｎ -1ｎ Ｃｎｎ>Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃｎ -1ｎ =1 ｎ Ｃ1ｎ=2ｎ 1,∴ ｆ(ｎ) >ｎｎ 1(ｎ≥ 3)成立 .注　对于 (1 ｘ) ｎ= ｎｋ =0 Ｃｋｎｘｋ 常利用整体大于它的部分产生不等关系 .例 2　求证Ｃｎ2ｎ -1…     

Cauchy-Binet定理与Laplace定理的等价证明

本文运用分块矩阵及多元多项式的性质对行列式求值中的Cauchy-Binet 定理与Laplace 定理给出了等价证明.     

矩阵LU分解定理的简单证明及其数值实现

用简单的方法证明了矩阵LU分解定理,讨论了定理的推广以及定理相应的数值实现,并对《数值分析》课程教学方法改革进行了思考.     

康托定理的另一证明

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上一致连续,(即对任意的ε>0,必存在只与ε有关而与[a,b]上的点x无关的δ>0,使得对[a,b]上的任意两点x′和x″,当|x′-x″|<δ时,总有|f(x′)-f(x″)|<ε.)这一定理称为康托定理。康托定理的证明一直是教学中的难点,在现行教科书中一般给出两种证法。证法一是采用反证法,应用维尔斯特拉斯定理(有界数列中     

关于拉格朗日中值定理的证明

一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出一个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?我们来看: