任意矩阵的特征值的扰动界

Hoffman和Wielandt对A和C都是正规矩阵(即AA~H=A~HA,A~H表示A的共轭转置矩阵)的情形给出了σ的一个上界为||B||_F,其中||·||_F表示矩阵的Frobenius(或Euclld)范数([9]和[10]分别对A,C均为对称矩阵和Hermite矩阵时证明了这一结果).但他们也指出,当A和C至少有一个不是正规矩阵时,这个界不成立.于是,如何推广Hoffman和Wielandt的结果(下面简称为W-H定理),一直成为人们感兴趣的课题.     

仅靠旋转未必能将“椅子”放稳

《数学学习》在1997年第3期上发表了“介值定理在数学建模中的应用”一文（见文[1]）。文[1]针对椅脚呈平行四边形时能否在地面上放稳问题作了讨论，该文建立了数学模型，证明了一个定理、给出了“符脚呈平行四边形的椅子总可以经适当旋转，把椅子放稳”的结论。文[1]给出的定理是：设为连续非负函数，，则一定存在。，使。本文指出，该定理的结论是不对的，反例如下：例1取，则满足定理的一切条件，但对一切氏都有，可见定理不真。文[1]中定理的证明过程也是不对的，究其主要原因是证明过程中引用了定理条件以外的假设，从而导致了证明过程…     

零对称BZ-代数的充要条件

重新证明文[10]中几个重要结论并修正文[10]中的定理1(11)和定理2．在此基础上，利用这些重新证明过的结论及修正过的定理可以按照文[10]中引理3，定理4，定理6，定理7，定理10的证明过程原样证明文[10]中的相应结果．因而在文[10]中，除性质11是结合BZ一代数的等价性质(见文[15])，定理1(11)及定理2需要进行修正外，其余结论及证明过程均成立．     

非参数回归函数最近邻估计LP收敛速度

本文拟给出非参数回归函数最近邻估计L_P收敛速度的一般性结果,同时把韦来生等的结果(见文[1])作为本文结果的一种特殊情形。本文的证明思路源于文[1]。 我们仔细研究了文[1]的证明过程,发现文[1]的主要定理(后称定理)的条件“m(x)适合阶为1的lipschitz条件”可减弱为“m(x)在(A为指标集,θ_j为R~d中的     

关于离散形式结点域定理证明的几点注记

本文指出了文[1]的主要定理(定理4与定理6)证明中的错误,并对其进行了修正,给出了正确的证明.     

关于非亏损矩阵特征值的扰动

正规阵是非亏损矩阵的特殊情形.关于正规阵特征值的扰动,Hoffman和Wielandt在1957年提出了一个重要的定理:若N,A均为n×n正规阵,其特征值分别为{v_i}_i~n=1和{α_i}_i~n=1,则存在1,2,…,n的一个排列π(1),π(2),…,π(n),使得     

广义Taylor公式的几个简单证明方法

<正> 微分中值定理在高等数学中具有重要的理论意义。其中Taylor中值定理更具有一般性。文[1]给出了两个广义Taylor公式,文[2]对其中一个公式给出一个简单证明方法。本文对文[1]的两个公式再给出三个简单的证明方法。     

对“巧证共线线段关系两例”的思考

《中学生数学》2010年第11期(下)张东海先生的"巧证共线线段关系两例"一文(下称文[1]),给出了有关共线线段的两个几何问题的"巧证",笔者认真拜读后,对其证明(特别是     

关于居加猜测与默森尼数为素数的充要条件及其他

《关于居加猜测与费尔马数为素数的充要条件》一文(以下称为文[1]),在“数学通报”1981年第12期上刊登之后,著者陆续收到一些读者的来信,询问:既然文[1]的定理1能得出有名的费尔马数为素数的充要条件,那么能否得出有名的默森尼(Mersenne)数为素数的充要条件?又询问及:文[1]的定理1能否对于居加(Giuga)猜测的成立,得出更深入和更直接的结果? 本文将给出上述问题的正面答复,供读者参考。     

曲线拐点充分条件证明中的常见错误

文[1]给出了判别曲线拐点的两个充分条件,文[2]给出了一个充分条件,但三个定理的证明都是错误的.同时,文[1]的两个推论也是错误的.本文通过反例分析了其错因,并给出了文[1]中一个拐点充分条件的正确证明.     

对周友成同志《关于θ-加细性》一文的一些意见

读完周友成同志《关于θ-加细性》一文(以下简称周文)后,给笔者留下一种印象,周文的主要证明方法是极常见的,缺独创之处,用的是模仿完备映射逆象问题的常用证明方法,(参见文[3]—[5]),其中[4]与[5]为周文所引用过的。当然,若利用旧的证明方法得到完全新的结果,那也是属于创造性论文的,但是周文中的几个主要定理(如定理1,2,3等)并不是周本人首先得到的结论!前人在完备映射的特殊情况的研究中,已经发现条     

关于Michael选择问题

本文得到一个新的逼近选择定理及一个新的连续选择定理.作为这个新的连续选择定理的应用,我们给出一个新的不动点定理和一个新的重合定理(见文[1-27]).     

二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一结论及推广

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件,文[2]给出了关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件,读后深受启发．经过研究,笔者把文[1]、文[2]中的三个定理进行了推广合并成一个定理,得到二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一的结论,并给出一个比较简洁的证明．     

凸集值映射的整体误差界

考虑了凸集值映射的整体误差界，推广Li和Singer(1998)的主要定理到无界情形并肯定地回答了该文的猜想．作为应用，给出了线性Hoffman误差界定理一个简单的新证明．     

关于“Смирнов定理的推广”的注记

《数学杂志》第一卷(1981)第二期刊载刘怀俊同志的“定理的推广”一文.该文用所得到的推广的定理来证明第2个主要结果,即定理3.但证明有错,因为所用到的不等式(见[1].p·191第10—11行)     

一个命题的简证

命题 过三棱锥相对棱的中点的任一截面平分锥体的体积. 文[1]运用了梅尼劳斯定理,文[2]用了两个引理证明此命题,均较繁琐.今给出一非常简单的证明.     

关于正交张量的向量和反称张量表示

§1 引言 1943年,A.Signorini在建立有限变形的协调条件时,首先采用了有限转动张量的向量表示(见[1,2]),虽然有限转动张量的向量表示已经是一个古老的结果,但它的推导方式始终吸引着数学家和物理学家们的兴趣[3-13].有限转动张量只是一般正交张量的特殊情形:行列式等于+1。[14]首先给出了正交张量向量表示的统一推导。其后[15]对推导作了改进,并给出进一步的系统结果。文献[14,15]的推导要点在于应用Laplace恒等式及张量第一不变量的一个公式。本工作将从另一角度给出定理的证明以及一些其它的结果。     

Banach空间中一类二次型为正定的一个定理及一类增广Lagrange式的最优性条件

在有限维空间中,对于非线性规划问题,Polak曾建立了增广Lagrange式。作者在[2]中曾研究了这类增广Lagrange式的最优性条件。本文在Banach空间情况下,首先推广一类二次型为正定的一个定理,该定理的一个推论,在有限维情况下,是借助于单位闭球的紧性而证的(见[6]),在无限维赋范空间中单位闭球是非紧的,故我们的证明是与[6]不同     

几何学机械化方法Ⅰ.初等几何

依据多项式组的 Rilt 原理以及0点分解定理, (见[R 1,2]与[WU 4,5]),作者提出了几何学的一种机械化方法。除应用于解高次联立代数方程组外。本文以初等几何为限,指出如何依据这一机械化方法以建立构造性的代数几何学,以及如何应用于几何定理的机器证明与机器发明。在下一文中,将推广这一机械化方法于微分几何。     

纯交换的模糊经济系统的平衡解

文[1]利用模糊数映射建立了模糊经济系统的数学模型。本文在[1]的基础上,重新给出(纯交换的)模糊经济系统的定义;再给出该系统平衡解的定义及平衡解存在定理的证明。