对不完整的不定积分的补充修正

如果在区间I上连续函数f(x)的原函数除有限个点外处处可导,则可通过补充定义这些点上的值使之“完整”起来,从而可以用它来求出f(x)在I任意闭子区间上的定积分.     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

定积分与不定积分关系

定积分与不定积分之间的关系始终是中学生在学习AP微积分过程中的一个问题,本文将针对此问题做详细的说明.指出引起困惑的原因,并从源头上挖掘它们的不同之处,揭示出两者是如何联系在一起的.最后,给出了一个简易的类比去理解两者之间的关系.     

从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系

通过一类考研题的讨论,表明不定积分f(∫x)dx只能作为运算符号,无法用来讨论f(x)的某一原函数的性质;而变限定积分函数x∫af(t)dt为某一确定的原函数,可以用它来讨论f(x)的原函数的性质:如函数的奇偶性、单调性、极值等.     

定积分教学的新探索

学生在学习定积分时,都遇到了一个困难,那就是定积分的概念不好理解.因为定积分的概念作为极限,不同于通常的极限.然后,还要证明一些关于可积性的定理及有关性质,最后才能对一些初等积分进行计算.然而,我们可以试图先引进连续函数的定积分及其计算,从而再进一步推广定义一般函数的定积分,从特殊到一般.并且,还可把关于连续函数的定积分的内容分散到连续函数、函数的导数及不定积分等相关章节学习,并作为其直接的推论.这样,便于学生学习、分散理解及消化,最后再推广到一般的定积分的概念.     

定积分与不定积分关系

定积分与不定积分之间的关系始终是中学生在学习AP微积分过程中的一个问题,本文将针对此问题做详细的说明.指出引起困惑的原因,并从源头上挖掘它们的不同之处,揭示出两者是如何联系在一起的.最后,给出了一个简易的类比去理解两者之间的关系.     

反函数法求定积分

由定积分的可积条件与分部积分法推出一种利用反函数求解定积分的简捷方法.     

巧用换元法求定积分

指出定积分换元积分法与不定积分换元积分法存在差异,总结并介绍定积分换元积分的几个常用公式,实例说明这些公式的使用方法及换元技巧．     

利用定积分的定义求极限

通过例题介绍利用定积分定义求极限的方法,并讨论定积分与积分和的差．     

原函数需分段定义的定积分

问题是这样提出来的 .例 1　∫202 - 2ｘ ｘ2(1 -ｘ) 2 ｘ2 (2 -ｘ) 2 ｄｘ=∫2011 [ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ]2 ｄ ｘ(2 -ｘ)1 -ｘ=ａｒｃｔｇ ｘ(2 -ｘ)1 -ｘ20 =0 ,但 ,被积函数在 [0 ,2 ]上连续且恒正 ,故其在 [0 ,2 ]上的定积分大于 0 .错误的原因在于ｘ =1为ａｒｃｔｇ[ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ]的第一类间断点 .考虑到ｌｉｍｘ→ 1-0 ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ) =π/2 ,ｌｉｍｘ→ 1 0 ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) ) =-π/2得 [0 ,2 ]上连续的原函数为Ｆ (ｘ) =ａｒｃｔｇ(ｘ(2 -ｘ) /(1 -ｘ) )　 0 ≤ｘ <1π/2ｘ =1ａｒｃｔｇ(…     

关于分段函数定积分的计算

通过例题分别讨论分段连续函数定积分的计算及分段有界非连续函数定积分的计算,旨在于进一步丰富高等数学的教学内容,提高学生的计算能力.     

不定积分中的“积不出”问题

利用刘维尔(J.Liouville)定理讨论了几类不定积分是否初等函数的问题,并给出了相应的判定法则.     

对数三角函数的定积分

定义了三种积分表示的两元函数.这些两元函数有伽马函数表示,可以展开为幂级数.在积分符号内展开被积函数,先积分,再求和,也得到级数展开.对比展开系数,就得到一些对数三角函数定积分的值.选取合适的围道,得到其他两类对数三角函数定积分的值.     

新不定积分表

将传统不定积分表中的递推公式全部展开,并将近200个常用不定积分公式合并为43个积分公式,从而给出一张新不定积分表.     

不定积分解法研究

通过对不定积分的研究,提出了求几类特殊函数不定积分的新方法.不但求出了高等数学中具有代表性的几种形式的不定积分,而且对不定积分的教学和积分方法的寻求都有启发作用.     

三角函数有理式不定积分注记

针对求解三角函数有理式不定积分的问题,借助实例说明传统方法存在不足之处,并给出此类不定积分的完整解．     

用参数展开法计算一类含对数函数的定积分

利用参数展开法,得到了一类含对数函数的定积分的值．     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.