引无数英雄竟折腰的3x+1猜想

当代 ,有一个风靡世界有趣的“3ｘ +1问题” ,人人都会演算 ,但要证明它却像对付坚硬的磐石 ,它似乎能轻而易举地挫去你智慧的锋芒 .1　 3ｘ+1问题由来大约在 2 0世纪 3 0年代 ,世界许多国家流传着这样一道题目 :“任取一个自然数ｘ ,如果它是偶数 ,则除以 2 ;如果是奇数 ,则将它乘以 3加 1 ,这样反复运算 ,最后结果必然是 1 .例如　取ｘ为 6,6→ 6÷ 2 =3 → 3× 3 +1= 1 0 → 1 0÷ 2 =5→ 5 × 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2 → 2÷ 2 =1 .有趣的是 ,不管你取什么自然数 ,依照上面规则 ,最后总是“百川归大海” ,都会得…     

魔数98765432

98 76 5 4 32是一个奇妙的数 ,可称之为魔数 ,也可说是“九缺一” ,因为在九个非零数字中 ,它拥有八个数字 ,只缺一个 ,而缺少的一个 ,恰好是数字“1” .魔数不仅自身具有“九缺一”的特性 ,对它进行一些运算 ,所得结果仍然保留有类似的性质 .1) 9876 5 4 32÷ 2 =4 9382 716 ,商数缺 5 .2 ) 4 9382 716÷ 2 =2 4 6 9135 8,商数缺 7.3) 2 4 6 9135 8÷ 2 =12 345 6 79,商数缺 8.4 ) 12 345 6 79× 5 =6 172 8395 ,乘积缺 4 .5 ) 6 172 8395 +2 4 6 9135 8=86 4 1795 3,和数缺 2 .6 )用 9分别去乘魔数以及 1)到 5 )的得数 ,可得如下结果 :魔…     

巧算星期几

读者朋友 ,告诉你一个小绝招 .你只要按顺序记住以下吉祥数字 :144 0 ,2 5 0 3,6 146 ,你就可以换算出 2 0 0 2年中任何一天是星期几 .例如 ,欲知 2 0 0 2年 5月 18日是星期几 ,你只须取吉祥数字中的第 5个 (即“2”) ,作如下运算 (18 2 )÷ 7,余数为 6 ,则知 2 0 0 2年 5月 18日是星期六 .再如 ,欲知 2 0 0 2年 7月 2 1日是星期几 ,只须取吉祥数中的第 7个“即 0” ,(2 1 0 )÷7,余数为 0 ,则知 2 0 0 2年 7月 2 1日是星期日 .规律 :欲知 2 0 0 2年ｍ月ｎ日是星期几 ,只须拿出吉祥数中第ｍ个 ,用它与ｎ相加 ,被 7整除所得的余数 ,即为星…     

培养学生复数运算技能的点滴体会

本文只想谈谈培养学生复数运算的三种技能,以便用来解决现行高中代数课本中的若干练习題。不妥之处,请大家指正。 (一)培养学生掌握几种特殊复数的运算技能 1°(1+i)~2=2i; 2°(1-i)~2=-2i; 3°(a+bi)/(b-ai)=i; 4°(a+bi)(a-bi)=a~2+b~2。以上性质1°和2°在解題中应用颇广,现举数例如下: 例1.(课本第62页第13(3)题) 计算(-1-i)~(-6)。     

漫画趣题

漫画趣题答案第一题独眼海盗原有 84元 ,红鼻子警长原有 5 6元 .两人共用去 14 0 -4 2 =98(元 ) ,设独眼海盗原有x元 ,则23 x + 34(14 0 -x) =98,x =84(元 ) .第二题816小时 .他们“2小时打完稿件的 13 ” ,可知他们 3人打 1小时可打完稿件的 13 ÷ 2 =16.又由于甲、乙、丙的工作效率的比是 3∶2∶1,可得他们的工作效率为 16× 33 + 2 + 1=112 ,16× 23 + 2 + 1=118,　16× 13 + 2 + 1=13 6.假如甲、乙中途没有出去开会或办事 ,3个人共同打 ,只需 2÷ 13 =6(小时 )可打完 .甲、乙因事没打的工作量为 112 × 3 + 118× 2 =133 6,这部分工作量…     

对“几何基本概念和簡單圖形”的几点意見

中国青年出版社出版的“几何基本概念和簡單圖形”一書。書中把几何概念和簡單圖形用通俗的語言叙述出来,是可以帮助初二学生理解敎材內容的。但是,我觉得还有几个問題是值得商榷的。請大家考虑。一.关於“线段的运算”我認为提法不清,書中写道:“…綫段是可以作加、減、乘、除等运算的。”綫段的加法运算在初中几何范圍內是一定成立的,而“减法”就要受到限制,那就是:必須大綫段減去小綫段,否則学生就要搞不清了。至於綫段的“乘法”和“除法”可以說沒有什么意义,因为綫段乘线段的結果不是一条綫段了,在高中时才把它定义为“面积”。这当然不合於这本書的要求的,綫段和綫段的“除法”,我們更無法指出它的含义,是否可把它理解为“比”呢?那只有在学到綫段的比和比例之后才可以,而該書著者所說的“乘”、“除”还不是这个意思,而是一个綫段和某一个自然数的乘或除。“除法”就是把某一綫段分成若干等分;至於“乘法”,則是“除法的还原,或加法的变形,…线段的乘法就是把等長的几条綫段相接而成一     

满打满算 妙不可言——用“放大法”构建一元一次不等式

题目 一个多边形中有三个钝角,问此 图形最多为几边形． 探索 短短的题目让我束手无策,万般 无奈,只得采用最笨的方法:凑!因为三角形 最多只有一个钝角,所以三角形不可能．四边 形呢?若三个钝角都为91°,则第4个角为 [(4-2)×180°-91°×3]÷(4-3)=87°,可 能．五边形:若三个钝角为170°,则其余角为 [(5-2)×180°-170°×3]÷(6-3)=70°,可能． 可到了七边形,若每个钝角为179°,[(7-2)× 180°-179°×3]÷(7-3)=90．75°,已经是钝角, 就不可能了,所以答案为六边形．这太繁了．     

智慧窗

1欢庆新年算式中“欢、庆、新、年”代表 2～ 9中 4个不同的数 ,它们各代表什么数字 ,算式才能成立 ?欢4 ×庆3+新2 ÷年1 =2 0 0 42欢庆新年在下式的四个☆中填入同一个数 ,使得“欢、庆、新、年”四个字所代表的各数之和等于2 0 0 4.☆中应填什么数 ?☆　 +　 2　 =　欢☆　 -　 0　 =　庆☆　×　 0　 =　新+　☆　÷　 4　 =　年　　2 0 0 43翻译数将下列算式中的不同的汉字换成 0～ 9这十个数字 ,使等式成立 :一寸光阴÷ 3 一寸金=寸金÷难买×寸光×阴4祝新年好下面竖式算式中的不同汉字代表 1～ 9这九个数字 ,请你将汉字换为数字 ,使…     

2003年中考数学模拟试题(2)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .|-2 |的倒数是 (　 ) .Ａ .2　　Ｂ .-2　　Ｃ .12 　　Ｄ .-122 .下列运算正确的是 (　 ) .Ａ .ａ +ａ=ａ2 　　　　Ｂ .(ａ -ｂ) 2 =ａ2 -ｂ2Ｃ .( 3ａ) 2 =6ａ2 Ｄ .4ａ3÷ａ2 =4ａ3 .有资料表明 ,被称为“地球之肺”的森林正以每年 1 5 0 0 0 0 0 0公顷的速度从地球上消失 ,每年森林的消失量用科学记数法表示为 (　 ) .Ａ .1 .5× 1 0 8公顷　　Ｂ .1 .5× 1 0 7公顷Ｃ .1 .5× 1 0 6 公顷　　Ｄ .1 5× 1 0 6 公顷4.某商品的进价为 1 2 0 0元 ,标价为 1 5 75元 ,后来由于该商品积压 ,商…     

奇怪的算术《3×3=2》

3+3+3=2;6+3=2,这是笑話嗎?不,这是完全真实的一个真理。确实有这样一些算术:6+3=2;3×4=5;3÷4=6,这些奇怪的等式,是在所谓“残数算术”中出現的。应用这个算术我們能够很快地根据已知数算出过200年后或是300年前的某一天是星期几。在这个算术中的残数可以看成是一个特别的数列。在普通算术中,自然数1,2,3,……有无限多个,它們是用来数有順序的东西的。例如,数书的頁数;铁路的公里牌;紀元年次(1960,1961,……);排队的报数等等。但是要数站成一个圓圈的七个人却不是用的     

2004年第四期初中数学问题参考解答

一、比较 2 0 0 5- 2 0 0 4与 2 0 0 4 - 2 0 0 3的大小 .解 :∵ 2 0 0 5+ 2 0 0 4 >2 0 0 4 + 2 0 0 3,∴ 12 0 0 5+ 2 0 0 4 <12 0 0 4 + 2 0 0 3.即　 2 0 0 5- 2 0 0 4( 2 0 0 5+ 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 5- 2 0 0 4 ) <2 0 0 4 - 2 0 0 3( 2 0 0 4 + 2 0 0 3) ( 2 0 0 4 - 2 0 0 3) .故 2 0 0 5- 2 0 0 4 <2 0 0 4 - 2 0 0 3.二、已知 36a2 ÷ 6a+ 1=0 ,求 ( 6a) 1 6+ 1( 6a) 1 6的值 .解 :由 36a2 ÷ 6a + 1=0有 6a+ 1=0 .∴ 6a =- 1.∴ ( 6a) 1 6+ 1( 6a) 1 6=( - 1) 1 6+ 1( - 1) 1 6=2 .三、一整数a若不能被 2和 3整除 ,则a2 + 2 3必能…     

談当前高三学生的数字运算能力

一、情况严重目前我們的高三学生在数字运算方面,存在着极其严重的問題。主要表現在: (1) 运算方法不合理。例如某生在解“将三个直径分别为6cm,8cm,和10cm的三个小球熔成一个大球,試求大球直径”。一題时,他作出了如下的解答: 設三个小球体积分別为V_1,V_2,和V_3。大球为V; V_1=4/3πr_1~2=4/3×3.14×3~3=110.14, V_2=4/3πr_2~3=4/3×3.14×4~3=265.813, V_3=4/3πr_2~3=4/3×3.14×5~3=145.37, ∵ V=V_1+V_2+V_3, ∴ 4/3πr~3=110.14+265.813+145.37=     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

記两堂初一代数課

(一)教学的一般过程 1.一堂课是“分式除法”。(课本:初中代数第二册,第110页6.9) 教师首先从启发式的提问引出新课:“关于分式的运算,我们已经学过了分式的加减法、分式的乘法和分式的乘方,哪个同学晓得,下面还要再学习什么?”学生很快地举手回答:“分式除法。”问:“你们怎么知道?”答:“因为分数乘法后面是学习分数除法的。”教师说:“对的,今天我们学习分式除法。”(教师板书课题)。教师又问:“分式除法的法则和分数除法法则相同,哪个同学能讲出分式除法法则?”学生回答:“把除式的分子分母颠倒相乘。”教师指出:“答得基本是好的,但不够完整,大家可看书中的分式除法法则是怎样讲的。”随后让两个同学朗读课文,指明不完整之处。     

一道征解题的推广

本刊1984年12期《问题与解答》栏第6题是“证明2/1×4/3×6/5×…×100/99〉12”,这个不等式推广为2/1×4/3×6/5×…×2n/(2n-1)≥(3n+1)~(1/2)(A)     

化简i~n的小改进

l, 大家知道f4二l,化简f.(n>4)只要求出k、P、使。=4k+P(k〔N,P=o,z,2,s)即可。但当。较大时要做除法,我将原法改进,可以使运算量大为减少,现介绍如下,供参考. 定理设正整数n的十位数字为a:,个位数字为a:,则化简:fn粤一tg罕二一:‘n普气一,,内乙例解 (l)当。:为偶数时,有,三。,(。。d4), (2)当。:为奇数时,有。二10十a,(仇补d4). 证(l)n=1 00水+10q:+a,=100勿++10(Zn,)+a,=10Om+20。,+a:三a:(优。试4); (2)”=100阴+10a2+a一=100优++IQ(2nl+1)+a;=100仇+Zon;+10+a; 兰10+a,(机0d4). 例1化简‘”吕3;‘”‘66几,’. 解““吕3一￡3二一￡…     

首項系数为1的整系数多項式的整根检驗法——关于“綜合除法”的改进問題

由高斯定理知道,首项系数为1的整系数参项式 了(二)一,”+a zx”一1+aZx”一2+…+a,一lx+a,的有理根为整数,且为a,的因数. 当我们应用“粽合除法”检脸r~,是否j(二)的整根时,归根到底避免不了爵算j(,)的值是否为零.因此,在本盾上仍是“代入法”.有时为了检歇a,的哪些拘数是j(二)的根,哪些不是f(劝的根,往往花费不少的时阴.譬如,耍检脸(一18)是否f(二乡=x夕一6x6+35x5+68二3一 一8x2一53丫一18的整根时,用“粽合除法”一18}1一6 350一18斗32一840668一8一53一18151308一272斗夕68斗90乙了5勺68一24467一84061513夕6一2夕24776最后知j(一15)…     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

数列与极限

1.无穷运算与数列的极限数学有很大一部分内容是讲計算方法的。加、減、乘、除、开方都是我們学过的計算方法。凡是計算方法都要能算得唯一的結果,否則,这种算法便沒有意义了。例如: 3+2,3-5,-6×2,64.2÷3,(15129)~(1/2)按着規定的方法算下去,经过有限的步驟,便能求得唯一的答案。我們把这叫做有限运算。这里,最后两个的計算法是