非负数的和小于零

题目设α,β为关于x的方程x~2-2ax a 6=0的二实根。求(α-1)~2 (β-1)~2的最小值。解:根据一元二次方程根与系数的关系得:α β=2a,αβ=a 6 ∴ (α-1)~2 (β-1)~2 =(α β)~2-2αβ-2(α β) 2=4a~2-6a-10=4(a一3/4)~2-12(1/4)     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

你会区别这些函数问题吗?

有些函数问题,形式相似,但实质却不同,常有同学张冠李戴,造成误解,下面列出几组典型问题,进行对比、辨析.1.区分“A B”与“B A”.例1已知函数f(x)=log2(x2-2ax 3)(a∈R).1)若f(x)的值域为[0, ∞),求a的值.2)若f(x)的值非负,求a的取值范围.解1)设u=x2-2ax 3,则u=(x-a)2 3-a2≥3     

也谈非对称式值的求法

文[1]利用构造“对偶式”解决了一类非对称式值的求解问题.这种解决问题的思路有时对初中生来说,不易掌握.本文拟通过一个众所周知的恒等式,给出这类问题的一般方法.恒等式　M=(M N) (M-N)2.(1)兹用文[1]中的三个例子加以说明.例1　(江苏省第8届初中数学竞赛题)已知α、β是方程x2-x-1=0的两个根,则α4 3β=?分析　要求出α4 3β的值,可分别求出α4、3β的值再求和.由恒等式(1)知α4=(α4 β4) (α4-β4)2.又　α4 β4=[(α β)2-2αβ]2-2(αβ)2=7,　　α4-β4=[(α β)2-2αβ](α β)(α-β)=3(α-β),于是　　　α4=7 3(α-β)2.(2)…     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

一道高考压轴题的优化解法

2007年江苏高考卷的压轴题如下:已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.此题主要考查函     

妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

综合题新编选登

题188已知函数y=(2 x)(3-x)的定义域为集合A,函数y=lg(kx2 4x k 3)的定义域为集合B,分别在下列情况下求k的取值范围.1)B A;2)A B;3)A∩B=.解A={x|(2 x)(3-x)≥0}={x|-2≤x≤3},B={x|kx2 4x k 3>0}.1)当k≥0时,显然B A,∴k<0,设f(x)=kx2 4x k 3=0的两根为x1,x2(x1相似文献   

考点4 函数的性质

1.(重庆卷,3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)2.(山东卷,4)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是().(A)f(x)=sinx(B)f(x)=-x+1(C)f(x)=12(ax+a-x)(D)f(x)=ln22-+xx3.(辽宁卷,10)已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1,α=x11++λλx2,β=x21++λλx1.若f(x1)-f(x2)相似文献   

新题征展(21)

A　题组新编1 .( 1 )关于 x的方程 3sin 2 x cos 2 x =k在区间 [0 ,π2 ]上有两个相异实数根α、β,则 k的取值范围是 (　　 ) .( A) [- 1 ,2 ]　　 ( B) [- 1 ,2 )( C) ( 1 ,2 ) ( D) [1 ,2 )( 2 )关于 x的方程 3sin 2 x cos 2 x =k在区间 [0 ,π2 ]上有两个相异实数根α、β,那么α β的值等于 (　　 ) .( A) π2 　　 ( B) π3( C) π6 ( D)不是常数( 3)若关于 x的方程 sin x cos x - k=0在 [0 ,2π]上有相异两实根α、β,且α β =5π2 .则 k的取值范围是 .(熊昌进供题 )2 .( 1 ) F1、F2 是双曲线的两个焦点 ,如果P为双曲线…     

一道导数题错解剖析

例题已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2 在x=1处有极值10,求f(2)的值．错解依题意得解得剖析应注意f′(x)=0是可导函数f(x) 在x=x0处有极值的必要不充分条件,因此,解得的a、b并不保证f(x)在x=1处取得极值．事实上,若x=x0是方程f′(x)=0的偶次重根,则     

试谈根的判别式的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)的根的判别式Δ=b~2-4ac有着极为广泛的应用,应用它解决某些问题,可起到化繁为简、化难为易的作用,本文举例说明根的判别式在解题方面的应用。 1 求值例1 求使A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)为整数的一切实数x。(1983年苏州市中学生数学竞赛题) 解A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)=1+(x+1)/(x~2-3x+3) 令a=(x+1)/(x~2-3x+3),     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

一类三角求值题的错解及根治方法

先看下例 例 1 已知 tana=2,tanβ=3,且α,β都是锐角,求a+β。 解tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ     

问题与解答

一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…