争鸣

问题147 下面是一道常见的三角函数题： 若函数y=tanwx（w〉0）满足当自变量x在任意两个连续整数间（包括两个整数本身）取值时，函数y至少两次失去意义，求w的取值范围．     

一道正切函数题的错解辨析

题 设函数y=10tan[(2k-1)x/5](k∈Z~+),当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少有两次失去意义,求k的最小正整数值。 误解:根据题意,周期应满足下列条件     

两个充要条件及应用

定理1 设函数f（x）=Atan（ax＋φ）（A〉0，m〉0）的最小正周期为T，则当自变量x在任意两个整数间（包括两个整数本身）变化时，f（x）至少有两次失去意义的充要条件是T≤1/2．     

几种常见函数的性质及其应用

“函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量x ,y ,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 ,y都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说y是x的函数 ,x叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量x的取值范围求法( 1 )整式 x可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求x的取值( 3 )偶次根式令被开方式≥ 0 ,求x即可( 4 )奇次根式x可取任意实数( 5 )幂的形式①正整数　次幂②零次幂③负整数　指数幂x可取任意实数令底数≠ 0 ,求x即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题 :( 1 )当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得x的取值范围 ,再取其公共部分才是...     

探讨一次函数应用题

不少与实际生活和生产有关的最大和最小值的应用题,我们可通过建立一次函数式y=kx+b(k≠0),利用函数的增减性求解:当k<0时,一次函数是减函数,在自变量x的取值范围内,由自变量x的最大值可求得y的最小值,由自变量x的最小值可求得y的最大值;当k>0时,一次函数是增函数,在自变量x的取值范围内,由自变量x的最大     

一道正切函数题的错解分析

本刊 2 0 0 3年第 6期《一道正切函数题的错解辨析》分析了一道与函数的周期性有关的问题 .原题　设函数y =10tan[( 2k - 1) x5] (k∈N+ ) ,当x在任意两个连续整数间 (包括整数本身 )变化时 ,至少两次失去意义 ,求k的最小正整数值 .辨析中只考虑函数在x∈ [0 ,1]两次失去意义 ,由此得周期T满足 32 T≤ 1,则有 32 · π2k - 15≤ 1,解得k≥ 13,故k的最小值为 13.这一分析和结论也是错误的 ,事实上若x =x0时函数无意义 ,考虑长度为 2T的区间 (x0 -T ,x0+T) ,则此区间中只有一个x0 所对应的函数值无意义 ,一个区间长度为 32 T的区间记为A ,…     

对称函数及其简单应用

一、对称函数定义:如果函数z=f(x,y)=f(y,x),則称函数z=f(x,y)关于自变量x,y是对称的。如果函数u=f(x,y,z)=f(y,x,z),則称函数u=f(x,y,z)关于x,y是对称的。如果u=f(x,y,z)关于任意两个自变量均是对称的,则     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似.复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义.形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致.比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量(?)时,相应地函数有增量△y=f(x_0+△x)-f(z),当△x→0时,比值的极限存在,称此极限为函数y=f(x)在x_0处的导数.记为f’(x).复变函数的导数定义为:设函数w=f(z)在     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

利用二次函数图像信息解题

<正>1.利用二次函数的图像获取变量的取值范围问题例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,当y<0时,x的取值范围是().(A)-13(C)x<-1(D)x>3或x<-1解析要求当y<0时,x的取值范围从图像上来看其实就是看自变量取哪些值时,函数的图像在x轴的下方,从图1可以得出x的取值范围是-1相似文献   

第五届全国大学生数学夏令营数学竞赛试题

<正> 1.xoy 平面上有两个圆C_1:(x-1)~2+(y-1)~2=1,C_2:(x+2)~2+(y+2)~2=4,求作一个在全平面连续,且满足0≤f(x,y)≤1的二元函数,f(x,y),使得,f(x,y)在C_1之内部取值1,在 C_2之内部取值零.2.你能否求出最小正数 k,使得下列不等式成立:     

反函数教学问答

现将反函数教学中学生感到困惑的一些问题,作一些回答。不对之处望指正。一、问:函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)是同一个函数,还是两个不同的函数? 答:是同一个函数。因为函数三要素是定义域、值域及定义域对值域上的映射。而对使用什么字母作自变量,什么字母表示函数并没有限制。当没有指明函数的定义域时.一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合。在函数x=∫~(-1)(y)和函数y=∫~(-1)(x)中,定义域都是使其有意义的实数的集合,从而相等,且映射相同,值域也就相同了。但是,如果将x=∫~(-1)(y)和y=∫~(-1)(x)作为方程看,这两者就不是同一个方程了,若x=u y=v是x=∫~(-1)(y)的解,则x=v y=u才是y=∫~(-1)(x)的解。     

函数概念和几种常见函数的性质及应用

函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量ｘ ,ｙ ,如果对于ｘ在某一范围内的每一个确定的值 ,ｙ都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说ｙ是ｘ的函数 ,ｘ叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量ｘ取值范围的求法( 1)整式ｘ可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求ｘ的取值( 3)偶次根式令被开方式≥ 0 ,求ｘ即可( 4)奇次根式ｘ可取任意实数( 5)幂的形式①正整数次幂②零次幂③负整数指数幂ｘ可取任意实数令底数≠ 0 ,求ｘ即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题( 1)当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得ｘ的取值范围 ,再取其公共部分才是所求 .( 2 )求具...     

H(Φ)空间的性质和Deeb-Marzuq猜想

§1.引言设φ(x)是定义在[0,∞)上的实值函数,满足下列条件: (ⅰ)φ是单调递增的; (ⅱ)对x,y∈[0,∞)有φ(x+y)≤φ(x)+φ(y); (ⅲ)当且仅当x=0时φ(x)=0; (ⅳ)φ在x=0右连续。则称φ为模函数,对于给定的模函数φ,称     

如何探讨抽象函数的性质

在近几年的高考试卷中出现过不少有关抽象函数的题目,要求研究抽象函数的定义域和值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性等,下面逐一加以例析.一、定义域这类问题一般是给出y=f(x)和g(x)的定义域,求解复合函数y=f(g(x))的定义域.解决的关键是将g(x)看成一个整体,来替代y=f(x)中的x,从而转化为求解不等式.例1函数y=f(x)的定义域为[-12,21],求函数y=f(cosx)的定义域.分析与简解:因为函数y=f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的自变量x.所以?21≤cosx≤12,解三角不等式得kπ 3π≤x≤kπ 2π3(k∈Z).解题的关键是始终要明白定义域是自变量的取值范围…     

函数与不等式——高三代数、三角综合复习

§1.函数1.函数与反函数:若对于自变量 x 每一个在允许范围内的确定值,另一个变量 y 有确定的值和它对应,则变量 y 叫做自变量 x 的函数,表成 y=f(x).这关系式中若以 y 为自变量,则变量 x 是 y 的函数,表成 x=f(y),叫做y=f(x)的反函数.     

对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…