一些特殊的Heron三角形的共同之处

一些特殊的Ｈｅｒｏｎ三角形的共同之处孙延照（石油大学（华东）２５７０６２）鞠锡田（山东东营师范２５７０９１Ｈｅｒｏｎ三角形是指边长和面积都为整数的三角形，文［１］、［２］、［３］、［４］对特殊的Ｈｅｒｏｎ三角形，如方Ｈｅｒｏｎ三角形、周长和面积相等的...     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

对《三角形的“心距”计算公式》的注记

对《三角形的“心距”计算公式》的注记７２５１０３陕西汉阴平梁中学袁祖志本刊文［１］讨论了三角形的“心距”公式，为方便计，用Ｉ、Ｏ、Ｇ、Ｈ分别表示△ＡＢＣ的内心、外心、重心、垂心，ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、ｒ分别表示△ＡＢＣ的边长及外接圆半径、内切圆半径．则［１...     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

关于海伦三角形的边和面积的性质

关于海伦三角形的边和面积的性质山东济宁教育学院朱道勋海伦三角形是边长与面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，则称之为本原海伦三角形（也称素海伦三角形）．关于海伦三角形以及特殊的海伦三角形（如方海伦三角形）的存在性问题和表示海伦三角形三边的一...     

与匹多不等式有关的一个等式

与匹多不等式有关的一个等式方明（四川平昌二中６３５４００）约定ａ，ｂ，ｃ，△和ａ′，ｂ′，ｃ′，△′分别表示△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长和面积，Ｈ＝ａ′２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋ｂ′２（ｃ２＋ａ２－ｂ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２－ｃ２）．著名的匹多不等式...     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

不等式研究成果集锦(10)

１１６ 设任意△ＨＢＣ中,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内点,△ＤＥＦ、△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤ 的周长分别记为ｍ０、ｍ１、ｍ２。ｍ３,　＝ｍｉｎ｛Ａ、Ｂ、Ｃ｝,则 上述命题可向平面ｎ边形推广,另猜测,在任意△ＡＢＣ中,有 （吴善和．１９９９,４） １１７ 如果△ＡＢＣ内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ＡＢＣ的两边相切,设ｒ、ｒａ．ｒｂ、ｒｃ分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 （赵长健．１９９９,４） １１８ 在交叉四边形 ＡＢＣＤ中,ａ、ｂ、ｃ／及Ｓ分别表示其边长和面…     

一、对一个三角形不等式的加细

一、对一个三角形不等式的加细宁波大学陈计我们用英文小写字母表示△ＡＢＣ角元的规范对称函数［在（，，）上取值为１］：现在，用箭头及标号来表示它们之间的不等关系．例如：用来表示不等式；本文对任意△ＡＢＣ，建立了如右不等式族：当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，...     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

周长与面积相等的海伦三角形

周长与面积相等的海伦三角形刘毅（齐齐哈尔教育学院）杨杰飞（齐齐哈尔农行干校）边长与面积均为整数的三角形叫做海伦三角形．本文讨论这种三角形中周长与面积相等的特殊情形，我们将证明如下定理：定理周长与面积相等的海伦三角形只有五个，它们的边长分别是５，１２，...     

三角形到四面体的一个等价变换

三角形到四面体的一个等价变换孔令思（山东枣庄市三十中）在△ＡＢＣ中有著名的Ｈｅｒｏｎ（海伦）—秦九韶公式其中，这个优美的关系式在［１］中进行了指数推广，在〔幻中进行了三维推广（［３］中也给出了四面体的求积公式），问题是，文［１］中的指数推广得到的是不...     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

有关本原海伦三角形的几个新的结论

有关本原海伦三角形的几个新的结论边欣，李忠民（天津教育学院数学系３０００２０）海伦三角形是边长与面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，则称之为本原海伦三角形。文［１］对本原海伦三角形证明了下面三个定理和一个推论：定理１本原海伦三角形的三边长...     

一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

三角形三边定理

本文的目的是想在任意三角形中,建立三边之间的关系式即ｆ（ａ,ｂ,ｃ）＝０．１三角形的三角余弦定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ＝１,这里略去它的证明．（见高中代数教材中介绍的证明）或者用行列式表示出...     

涉及三角形中线的一个十分有用的变换

涉及三角形中线的一个十分有用的变换贺斌（湖北谷城教师进修学校４４１７００）本文约定：△ＡＢＣ的三边长、三中线之长、面积、半周长、外接国半径、内切圆半径、三傍切圆半径分别为ａ，ｂ，ｃ，ｍａ，ｍｂ，ｍｃ，△，Ｐ，Ｒ，ｒ，ｒａ，ｒｂ，ｒｃ．对于△Ａ’Ｂ’Ｃ...     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１６在△ＡＢＣ中，试证：证明由Ｘ２＞Ｘ２一（一炉及面＊＊ｃ中熟知的恒等式三式两边相乘，并开方即得证式．９１７四面体四个面是边长为ａ，ｂ和ｃ的全等三角形．求其体积．解如图：ＡＢＣＤ为已知四...     

完全三角形的有趣性质

边长为整数且周长值是其面积值的二倍的三角形称为完全三角形 .设△ＡＢＣ的内角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的所对边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ(均为整数 ) ,内切圆半径、面积、半周长分别为ｒ ,Ｓ ,Ｐ ,则完全三角形具有如下有趣的性质 :定理 1　若△ＡＢＣ为完全三角形 ,则1)ｒ =1;2 )Ｐ >33;3)ａ +ｂ -ｃ =2ｃｏｔ Ｃ2 .证　 1)Ｓ =Ｐｒ ,由完全三角形的定义知Ｓ =Ｐ ,所以ｒ =1.2 )Ｐ =12 (ａ +ｂ +ｃ)=ｒ ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ,由 1)知　ｒ =1.所以Ｐ =ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 .又ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ≥ 33,故Ｐ…