图论在稀疏对称矩阵中的应用

本文简要叙述图论的基本概念及其与对称矩阵的关系,并建立对称正定矩阵的Cholesky分解及其相应的消去图、商图间的关系。利用所建立的关系为矩阵找到一个好的“排序”,使得它的Cholesky分解的下三角矩阵有较少的非零元素。同时应用可达集的概念确定新产生非零元素的位置和个数.并给出相应的实现方法和数值试验结果。     

关于对称平均数定理及其应用

我们把n个正数α_1,α_2,…,α_n的k次对称平均数定义为其中k≤n为正整数;根号内分子部分是n个正数每次不重复地取k个的乘积之和,共有C_n~k项。为简单计,我们把(1)记为∑_n~k(α_1,α_2,…α_n),或者有时就记为∑_n~k。显然, ∑_n~1(α_1,α_2,…α_n)=(α_1 α_2 ……α_n)/n即为n个正数的算术平均数,而∑_n~n(α_1,α_2,…α_n)=则是n个正数的几何平均数。本文先介绍有关n个正数的k次对称平均数的重要性质的两个定理,然后给出它的一些应用。首先,我们证明定理1.(∑_n~k)~(?)k≥(∑_n~(k 1))~(k 1)·(∑_n~(k-1))~(k-1)(k=1,2,…,n-1) (这里规定∑_n~0=1)。证明.为书写方便,记(∑_n~k)~k=P_n~k。因而我们要证明的就是 (P_n~k)~2≥P_n~(k 1)·P_n~(k-1)(P_n~0=1,k=1,2,…n-1)     

一个用于对称矩阵的LR算法

用LR算法求对称矩阵的全部特征值时,迭代一步以后矩阵的对称性就不再保持。有人提出对称化变形(或CIILR)算法(例如,见[2]、[3]或[4])。然而这种变形每迭代一步要作n(矩阵的阶)次开平方运算,计算工作量很大,特别是对于非正定矩阵会导致复数运算。本文提出了一个新的方案,避免了上述缺点。文中还对新方法的收敛性和收敛速度的加速进行了分析并给出了一些计算实例。     

一个矩阵的逆及其在教学中的应用

目的在于说明,一个矩阵的逆矩阵既可用于简明地导出数学分析中的Abel变换,又可用于导出一类重要矩阵的性质.所有推导过程都很简明,因而可以用于数学分析和高等代数的教学中.     

对称矩阵射影几何基本定理的一个证明

1.引言设ф是ch.≠2的任意域。以表上n×n对称矩阵全体所组成的空间。中两个元素X和Y称为粘切,如果X-Y的秩是1。华罗庚老师在[1]中证明了以下的对称矩阵仿射几何基本定理。定理1.到它自己之上的一个一一映象,而且保持粘切关系不变者必形如:其中P为n×n可逆矩阵,而为的自同构。在该文中还叙述了对称矩阵射影几何基本定理(见本节之末),但没有给予证明。本     

算术平均数的一个简单性质的应用

n个实数x_1、x_2、…x_n的算术平均数(x_1+x_2+…+x_n)/n有如下简单性质: 若A≤x_1、x_2…、x_n(≤B),则 A≤(x_1+x_2+…+x_n)/n(≤B) 当且仅当A=x_1=x_2=…=x_n(=B)时等号成立。作为性质1的推论,特别地有推论1若x_1、x_2、…、x_n是n个实数,则min{x_f|i=1,2,…,n}≤≤(x_1+x_2+…+x_n)/n≤max{x_f|i=1,2,…,n} 当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。推论2 若A≤x_1+x_2+…+x_n(≤B),则至少有一个x_k(x_e),使A/n≤x_k(x_a≤B/n),当x_1、x_2。…,x_n互不相等或A相似文献   

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

一个矩阵不等式及其应用

本文给出正定Hermitè矩阵的一个不等式,然后用它推导出算一几不等式. 命题:设A_1,A_2,…,A_n是,n(≥2)个正定(同级)Hermite矩阵,λ_1,λ_2,…,λ_n是n个正实数,且λ_1+λ_2+…+λ_n=1,则     

一个矩阵函数及其应用

给出了矩阵函数f（X）=A-BX-（BX）＊的秩和最小惯性指数定理,其中＊表示矩阵的共轭转置.作为应用,给出了Lyapunov矩阵方程以及矩阵不等式BX＋（BX）＊≥A和BX＋（BX）＊≤A可解的若干充要条件.     

对称正交对称矩阵逆特征值问题

Let P∈ Rn×n such that PT = P, P-1 = PT.A∈Rn×n is termed symmetric orthogonal symmetric matrix ifAT = A, (PA)T = PA.We denote the set of all n × n symmetric orthogonal symmetric matrices byThis paper discuss the following two problems:Problem I. Given X ∈ Rn×m, A = diag(λ1,λ 2, ... ,λ m). Find A SRnxnP such thatAX =XAProblem II. Given A ∈ Rnδn. Find A SE such thatwhere SE is the solution set of Problem I, ||·|| is the Frobenius norm. In this paper, the sufficient and necessary conditions under which SE is nonempty are obtained. The general form of SE has been given. The expression of the solution A* of Problem II is presented. We have proved that some results of Reference [3] are the special cases of this paper.     

对称在概率解题中的应用

对称的概念在数学中有着非常广泛且重要的作用.在概率的计算中也常常利用这一技巧,例如在古典概型样本空间的选取时,着眼点就是要使样本点出于对称.因为古典概型和几何概型都具有对称性,也是古典概率论研究中最重要的两种模型,下面给出几个这两种模型下利用对称计算的例子.1对称在古典概型中的应用例1n对夫妇任意地排成一列,求每位丈夫都排在他的妻子后面的概率.解法1排列的总数是(2n)!.为了计算有利场合的个数,可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列,共有n!种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍,她显然只有1种可能的位置,即排在最…     

对称思想在解题中的应用

对称思想在数学问题中是广泛存在的.近几年的高考中都占有一定的比例.如果能发现或挖掘问题中的对称特征,为解题会带来意想不到的效果. 一、抓住图形的对称特征 例1 在平面直角坐标系中,一个圆心在(a,b)的圆包含原点,设此圆在第一象限及第三象限的面积之和为S1,在第二象限及第四象限的面积之和为S2,求S1-S2的值. 分析如图1,S1=SOAPC SOBD,S2=SODQA SOBMC.由于圆的半径未知及组成S1、S2的四个部分的面积都不便用式子计算,要想用代数计算求S1-S。是很困难的.但是,注意挖掘图     

矩阵在图形学几何变换中的应用

借助于计算机图形学中的缩放变换、旋转变换、反射变换及平移变换等的直观性来说明＂矩阵是用来表示变换的一种工具＂,进而加强对分块矩阵、对角矩阵及正交矩阵的认识.     

谈矩阵多项式的一个应用

本文得到下列结果：通过应用矩阵多项式，得到一个相似变换下变换矩阵的简便解法。     

一个矩阵不等式及其几何应用

本文证明了一个矩阵不等式,并且用它给出了Grassmann流形的截面曲率的估计.     

关于矩阵分解为对称矩阵的乘积

<正> 矩阵的乘积分解是矩阵论中有意义的问题之一,[3]中证明了任意域上的方阵都可表为不超过四个对称矩阵的乘积.本文将证明任意域上的方阵,都可表为两个对称矩阵的乘积.设 F 为一域,M_n(F)是 F 上所有 n×n 矩阵的集合,G_n(F)是 M_n(F)中非奇异矩阵所成的乘法群.设 S∈M_n(F),S~T 表示 S 的转置矩阵,如果 S=S~T,则称 S 为对称矩阵.     

矩阵理论中的一个迭代公式

本文对文[1]的结果加以推广,给出一个可以同时计算矩阵的特征多项式、特征矩阵的逆矩阵、矩阵的逆矩阵和矩阵行列式的迭代公式。此时,凯莱——哈密尔顿定理可作为它的一个推论,另外,为便于计算机运算,本文还给出了迭代公式的计算机框图。     

利用特征矩阵求实对称矩阵的特征向量

本文利用Hamilton-Cayley定理和特征矩阵的性质,给出了求实对称矩阵的特征向量的新方法,并通过例子验证了该方法.     

Dirac矩阵和Pauli矩阵在塑性力学中的应用

本文在求解塑性力学问题中,采用了量子电动力学中著名的Dirac矩阵和Pauli矩阵,使求解塑性应力增量的问题变得十分简单.     

实对称矩阵对角化教学的应用案例

矩阵的对角化是线性代数课程的重要内容之一,针对本科生教学,在考虑学生知识储备和理解力的基础上,依据学以致用的思想,利用特征值、特征向量及实对称矩阵对角化的理论知识,构造了一个图像压缩存储的应用案例.旨在加深学生对矩阵特征值和特征向量及对角化理论的理解,同时本案例也给出了更一般的扩展讨论.