中国余数定理在欠采样频率估计中的应用

中国余数定理在数字信号处理等领域有着非常广泛的应用.但传统的中国余数定理要求待恢复的数及余数都必须为整数,且对噪声极其敏感.为了克服这一缺陷,一种鲁棒的中国余数定理最近被提出,虽然它能在余数含有误差时鲁棒的恢复原来的数.但此算法是基于搜索的,所需运算量非常巨大.提出了中国余数定理的极大似然算法,并对此算法进行了改进.最后,将此方法应用于欠采样下信号频率的估计中.仿真试验的结果表明,在相同信噪比下,所给算法和现有的搜索算法的估计性能一样,但是运算量却大幅的减少,     

余数另外的意义

余数另外的意义甘志国（湖北竹溪）设Ｎ，ｔ是正整数，ｔ除Ｎ的非负最小余数是由ｔ和Ｎ唯一确定的，记作Ｒｔ（Ｎ）．显然０≤Ｒｔ（Ｎ）≤ｔ－１，Ｎ＝Ｒｔ（Ｎ）（ｍｏｄｔ）．下面的定理给出了余数Ｒｔ（Ｎ）另外的意义．定理（１）１≤Ｒｔ（Ｎ）≤ｔ－１时（即ｔ｜Ｎ...     

谈“余数定理”的证明

一、存在的问题 在过去和现在通用的高中数学课本代数中,都列有余数定理:多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 对这条定理的证明,课本上都采用了等式: f(x)=Q(x)(x-a)+R,(Q(x)是商式,R是余数)并说它是“一个恒等式,不论x取何值总是成立的”。因而设x=a,得到R=f(a)而得证。     

余数定理的应用之一

在师范学校誹投数学課,应該如何联系小学实际以及如何体現出“居高临下”是师范学校教师們探討的問題。我认为有許多知識都可以直接指导小学算术知識的,这里仅以代数中的余数定理为例,談談我的看法,如有不正确之处,欢迎批評指教。余数定理是确定多項式f(x)除以(x-1)时所得余数的定理,当f(a)=0时說明f(x)能被(x-a)整除。这样,用余数定理就能迅速地判断f(x)能否被(x-a)整除。在小学算术中所研究的整数都是非負整数,它們都可以写成a_n·10~n+a_(n-1)·10~(n-1)+…+a_1·10+a_0的形式,其中a_i(i=0,1,2,…,n)都是数碼n是非負整数,因此它們都具有多項式f(x)=a_nx~n++a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0的形式。而x±a相当     

同余数问题与椭圆曲线 献给杨乐教授80华诞

设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q((-n)~(1/2))没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny~2=x~3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法, Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E~((n))成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.     

一个重要的余数定理

定理若有素数p≥3,对于一切非p整倍数的自然数x,有x~r-1除以p所得的余数都是1。下面给出证明。对于一切非p整倍数的自然数x,都能表示为p_m 1,p_m 2,p_m 3,……,p_m (p-1),其中m是零或自然数。根据二项式展开定理可知,x_(r-1)除以P所得的余数,一定是1~(,-1),2~(,-1),3~(,-1),……,(p-1)~(,-1)除以p所得的余数。所以,问题归结为证明1~(,-1),2~(,-1),3~(,-1),……(p-1)~(,-1)除以p所得的余数均为1。 1~(,-1)=1,∴1~(,-1)=O·p 1     

整除性一例之别解

贵刊1984年第二期所登出的《利用余数定理证一类整除性问题》一文中介绍的证题方法,简单明了,且文中所谈证法较之数学归纳法的证明显得更加易懂。但文中例4一题在证明过程中,三次用到余数定理,使证题过程过于冗长,这里仅用原文中的方法将例4的证明加以改进。例4 设n为自然数,试证6~(2n)+3~(n+2)+3~n能被11整除。证∵6~(2n)+3~(n+2)+3~n=12~n·3~n+10·3~n     

从一道数学竞赛题的妙解谈起

把由1开始的自然数依次写下去,直写到198位为止、12345678901112…那么这 198位个数用9除的余数是: (A)1,(B)6,(C)7,(D)非上述答案。这是1987年全国初中数学联赛的一道试题。本文给出一种不同于常规解法的巧妙解答。首先我们证明两个定理。定理1 设数列{a_n}的每一项都是非负整数,且a_1≠0,把由a_1开始的非负整数依次写下去,直写到第n项为止即为a_1a_2…a_n,那么正整数a_1a_2…a_n除以9的余数与S_n=a_1 a_2     

k紧优双环网络及其无限族

在L形瓦理论的基础上,结合中国余数定理,证明了任给非负整数m,存在整数k(k>m),可以构造k紧优双环网络的无限族;给出了判断N个节点存在k(k≥0)紧优双环网络的一个算法。     

归除法有新生命力（续）——负数引入归除法

新口诀是从旧口诀脱胎而来的。在旧口诀的试商基础上加“1”，变旧口诀正余数，可能出现负余数。使用时，“离”的含义：是正余数拨珠离梁，表示减，不够向试商档借“1”；余数变负数；负余数拨珠离边，表示加，余数首位数满十向试商档进一，负余数变为正数。变旧口诀加口诀余数为减，使正余数首位绝对不会满十，适用于一四珠算盘。     

多项式带余除法定理的一种新证明

利用线性空间的理论,在高观点下给出了多项式带余除法定理的一个新证明.它避免了使用构造法这种技巧性较高的数学方法,使学生比较容易轻松掌握.     

A Second Main Theorem of Nevanlinna Theory for Meromorphic Functions on Complex Submanifolds in C<Superscript><Emphasis Type="Italic">n</Emphasis></Superscript>

We show a second main theorem of Nevalinna theory for meromorphic functions on complex submanifolds in C ⁿ . This has a similar form to the classical one and has a remainder term including Ricci curvature. We also give a concrete computation of the remainder term in the case of nonsingular algebraic submanifolds. Partially supported by the Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Japan Society for the Promotion of Science.     

奇摄动拟线性椭圆型方程边值问题的内层现象

本文研究一类奇摄动拟线性椭圆型方程Dirichlet问题的内层现象,利用偏微分不等式理论,通过构造具有内层校正的上、下解函数,给出了奇摄动问题内层现象的解的存在性及其余项估计。     

Efficient remainder rule

Understanding the solution of a problem may require the reader to have background knowledge on the subject. For instance, finding an integer which, when divided by a nonzero integer leaves a remainder; but when divided by another nonzero integer may leave a different remainder. To find a smallest positive integer or a set of integers following the given conditions, one may need to understand the concept of modulo arithmetic in number theory. The Chinese Remainder Theorem is a known method to solve these types of problems using modulo arithmetic. In this paper, an efficient remainder rule has been proposed based on basic mathematical concepts. These core concepts are as follows: basic remainder rules of divisions, linear equation in slope intercept form, arithmetic progression and the use of a graphing calculator. These are easily understood by students who have taken prealgebra or intermediate algebra.     

Lagrange插值公式的几种构造性证明

利用中国剩余定理、行列式以及线性方程组理论给出了Lagrange插值公式的几种构造性证明,得到了Vandermonde矩阵的逆矩阵的一种算法.     

分布函数展开式中的渐进性

主要讨论了分布函数的泰勒展开式中拉格朗日型余项所确定的"中间点"的渐进性,从而为概率的近似计算提供理论依据.     

一类关于正规三角函数基的标准模糊系统逼近误差公式的讨论

在标准模糊系统的基础上提出了以正规三角函数为基函数的一类模糊系统.通过采用数值分析中的余项与辅助函数方法,对该类模糊系统进行了逼近误差精度的分析,给出了从SISO到MISO的误差界公式.最后,指出了这些公式在模糊系统的理论研究与实际应用的意义.     

Über die Gaußsche Methode zur angenäherten Berechnung von Integralen

The purpose of this paper is the application of Green's theory and Green-Lagrange integral formulas relative to Legendre's differential operator to obtain integral expressions of remainder terms in Gaussian mechanical quadratures.     

On the asymptotic solution to a type of piecewise-continuous second-order Dirichlet problems of Tikhonov system

A Type of second-order Dirichlet problems of Tikhonov system with piecewise-continuous right hand side is studied. By using the multiscale theory and the theory of contrast structures, a first-order continuous, uniform and effective asymptotic solution of the problem is constructed. Existence of the solution is proved and the remainder is estimated. An illustrative example for explaining this method is also given.