Modalsynthese — Viskoelastische Kopplung von nichtproportional gedämpften Substrukturen

Übersicht Es wird eine Methode für die viskoelastische Kopplung von Substrukturen mit nichtproportionaler Dämpfung vorgestellt, bei der die Modalparameter der Substrukturen im Zustandsraum berechnet und das Kopplungsverfahren direkt im Zustandsraum durchgeführt wird. Das Verfahren beinhaltet im wesentlichen zwei Transformationen. Durch die erste werden mit einer reellen Modalmatrix die Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten in reeller Form transformiert. Durch die zweite Transformation mit einer komplexen Modalmatrix werden die Gleichungen des gekoppelten Systems vollständig entkoppelt. Die Modalparameter des Gesamtsystems sind dann komplex, können aber so direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktion und von erzwungenen Schwingungen verwendet werden. Anhand eines Beispieles wird die relativ hohe Genauigkeit der vorgestellten Methode gezeigt.

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Modal synthesis — Viscoelastic coupling procedure for non-proportionally damped substructures

Summary A method for the viscoelastic coupling of non-proportionally damped substructures is introduced in which the modal parameters of the substructures are determined in the state space and the coupling process is directly made in the state space. The approach consists of two transformations. The first is made with a real modal matrix and transform the equations into modal coordinates in a real form. The second is with a complex modal matrix and discouples the equations of coupled systems. Then the modal parameters are complex, but they can be directly used for the calculation of the frequency response function and forced response function. An example demonstrates that this method give a relativ good approximation.

     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

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Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

On forced response of polygonal plates

Summary An approximate solution is presented for the linear isothermal response of viscously damped thin homogeneous polygonal plates subjected to uniform dynamic loading. Normal modes of vibration are determined with the aid of a boundary collocation technique and forced solutions are calculated by employing a numerical integration procedure. The solution is applicable to elastically built-in plates having edge conditions ranging from the simply supported to the clamped case. Numerical solutions are given for the normal modes of vibration of some simply supported and clamped plates and theoretical and experimental transverse displacements and stress couples are compared for a plate subjected to blast loading.

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Übersicht Es wird eine Näherungslösung für die Bewegung von homogenen, polygonalen Platten unter gleichförmiger dynamischer Belastung angegeben. Dabei wird Linearität, viskose Dämpfung und isothermes Verhalten vorausgesetzt. Die Eigenschwingungsformen werden mit einer Kollokationsmethode berechnet, während die erzwungenen Schwingungen durch numerische Integration bestimmt werden. Die Lösungen können für elastisch eingespannte Platten verwendet werden, deren Randbedingungen von der einfachen Auflage bis zur festen Einspannung reichen. Für einige aufgelagerte und eingespannte Platten werden numerische Lösungen für die Eigenschwingungsformen angegeben. Für eine Platte mit Stoßbelastung werden theoretische und experimentelle Werte für Verschiebungen und Momente verglichen.

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This work was carried out at the Defence Research Establishment Suffield, Alberta as well as at the University of Alberta, Edmonton, Alberta and permission to publish the results is gratefully acknowledged.     

Der gerade Stab mit geschlossenem dünnwandigen Profil unter näherungsweiser Berücksichtigung der Schub- und Querschnittsdeformationen

Übersicht Für einen geraden prismatischen Stab mit ein- oder mehrzelligem, dünnwandigem Kastenquerschnitt wird unter näherungsweiser Berücksichtigung der Schub- und Querschnittsdeformationen eine Theorie kleiner Verformungen angegeben. Die entwickelten Differentialgleichungen beschreiben das Verhalten des prismatischen Stabes bei beliebiger Belastung unter Einschluß des Knickproblems sowie die freien und erzwungenen Schwingungen dieses Stabes. Für den einzelligen Kastenträger werden die Differential-gleichungen ausgewertet und auf die freie Torsionsschwingung des beidseitig gabelförmig gelagerten Kastenträgers angewendet.

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Summary The beam theory for infinitesimal deformations of a prismatic singular or multicelled box beam is given using approximations for shear-deformations and for deformations of the cross section. The resulting system of differential equations describes the behaviour of a prismatic beam under a general loading. Furthermore they include the case of stability from collapse as well as the equations of free and forced vibrations. The differential equations are applied to the case of a single celled box beam under free torsion vibration supported at both ends.

     

Modale Behandlung linearer periodisch zeitvarianter Bewegungsgleichungen

Übersicht Lineare, periodisch zeitvariante Bewegungsgleichungen treten im Hubschrauber- und Windturbinenbau auf. Der Getriebebau und die Rotordynamik liefern weitere Beispiele. In diesem Bericht wird ein systematischer Weg zu ihrer Lösung dargestellt. Mit dem Ansatz von Hill wird die homogene Lösung über die Lösung eines Eigenwertproblems gewonnen. Nach Anpassung an die Anfangsbedingungen liefert sie die Fundamentalmatrix des Systems.Ähnlich wie bei zeitinvarianten Systemen, existieren auch bei zeitvarianten Systemen Orthogonalitätsbedingungen, die die Eigenvektoren erfüllen. Die Eigenvektoren selbst sind allerdings zeitabhängig. Benutzt man die Eigenvektoren als Ansatzvektor zur Berechnung der erzwungenen Schwingungen (Transformation mit der zeitvarianten Modalmatrix des Systems), so gelingt es, die Bewegungsgleichungen des Systems in entkoppelte, zeitinvariante zu überführen. Sie lassen sich in bekannter Weise lösen. Dieses Vorgehen wird auf eine moderne Windkraftanlage angewandt. Sie wurde zunächst mit 372 Freiheitsgraden modelliert, die aber auf 18 vor der numerischen Weiterbehandlung kondensiert wurden. Das Stabilitätsverhalten und die Antwortspektren auf stochastische Anregung durch den Wind wurden auf dem oben beschriebenen Weg ermittelt.

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Nonlinear vibrations of an elastic disk rotating in a viscous fluid

Summary The von Kármán equations are extended to the dynamic case and to manifest the effects of the viscosity of fluid in which the motion takes place. The hydrodynamic aspect of the problem is analyzed and the flow pattern based on the von Kármán solution derived. The system of two nonlinear coupled differential equations is solved for weakened boundary conditions using the Galerkin procedure. A numerical example given for the mode of two nodal diameters and no nodal circles shows that: (a) the period of linear vibrations, T, is markedly increased by the presence of the viscous fluid; (b) the ratio T ^*/T(T ^* = period of nonlinear vibrations) decreases with an increasing amplitude, increases with an increasing speed of rotation, and increases with conversion to vacuum.

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Nichtlineare Schwingungen einer in einer viskosen Flüssigkeit rotierenden, elastischen Scheibe

Übersicht Die von Kármánschen Gleichungen werden auf den dynamischen Fall erweitert, und der Einfluß der Viskosität der Flüssigkeit, in der die Scheibe rotiert, wird in die Untersuchung einbezogen. Dabei werden sowohl der hydrodynamische als auch der elastodynamische Aspekt des Problems behandelt. Das System von zwei nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen wird mit Hilfe des Verfahrens von Galerkin für abgeschwächte Randbedingungen gelöst.Ein numerisches Beispiel für zwei Knotendurchmesser und keine Knotenkreise zeigt: a) die Schwingungsdauer T der linearen Schwingungen wird durch die viskose Flüssigkeit beträchtlich erhöht; b) das Verhältnis T ^*/T (T ^* = Periode der nichtlinearen Schwingungen) nimmt mit wachsender Amplitude ab, wächst mit steigender Drehzahl und wächst beim Übergang zu Vakuum.

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This work was partially supported by the University of Delaware     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

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Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

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Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

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Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

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Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

Freie Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern

Übersicht Bei den Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern treten Eigenformen auf, die mit den Formen dehnungsloser Schwingungen weitgehend übereinstimmen. Die Abweichungen der exakt berechneten Frequenzen verglichen mit denen, die aus der Theorie der dehnungslosen Schwingungen her folgen, sind teilweise beachtlich groß. Deshalb ist es nur für bestimmte Schalenparameter zulässig, das Problem der freien Schwingungen der Halbkugelschale mit freien Rändern auf die einfachen Beziehungen der dehnungslosen Schwingungen zurückzuführen.

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Summary In the case of vibrations of a hemispherical shell with free boundaries eigen-modes are found, whose mode shapes are largely in accordance with those of inextensional vibrations. But comparing the frequencies of these modes with the frequencies of the inextensional vibrations large differences may occur. Therefore the problem of free vibrations of a hemispherical shell with free boundaries can not be sufficiently described for any given parameter by the solution of inextensional vibrations.

     

Über die Bewegung eines drehsymmetrischen Kreisels mit beliebig vielen Flüssigkeitsbehältern

Übersicht Für einen drehsymmetrischen Kreisel mit beliebig vielen rotationssymmetrischeu Flüssigkeitsbehältern wird das Problem der gekoppelten Nutationsschwingungen des Kreisels und der Eigenschwingungen der rotierenden Flüssigkeiten untersucht. Die zugrunde gelegte linearisierte Theorie wird numerisch mit Hilfe des Verfahrens von Bubnow-Galerkin behandelt. Stabilitätsuntersuchungen werden nach der Residuenmethode und dem Einhüllenden-Verfahren durchgeführt.

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Summary The problem of coupling between the nutational oscillation of a gyro containing liquid and the natural oscillation of the rotating liquid itself is investigated for a rotationally symmetric gyro with arbitrarily many rotationally symmetric liquid containers. The linearized equations are treated numerically using the method of Bubnow-Galerkin. The stability of the motion is investigated using the method of residues and the envelopemethod.

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Die Arbeit wurde mit Unterstützung des Bundesministers für Bildung und Wissenschaft im Rahmen des Projektes Symphonie durchgeführt.     

Ein einfaches Rechenmodell zur Berechnung winderregter Schwingungen an Hochspannungsleitungen mit Dämpfern

Übersicht Bei der Berechnung winderregter Schwingungen von Leiterseilen wird häufig das Ritz-Verfahren angewendet oder auch mit finiten Elementen gerechnet, wobei wegen der hohen Frequenzen der beobachteten Schwingungen mehrere hundert oder tausend Terme zu berücksichtigen sind. Hier wird ein anderer Weg eingeschlagen: Dämpfungs- und Windleistung werden für das halbunendlich bzw. unendlich lange Seil berechnet, was infolge des sehr dichten Spektrums der Eigenfrequenzcn des endlichen Seiles zu guten Ergebnissen führt. Die Schwingungsamplituden folgen dann aus einer Energiebilanz. Mit Hilfe der Methode der singulären Störungen werden sehr einfache Formeln für die Biegewechseldehnungen im Seil angegeben.

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Summary Wind-excited vibrations of overhead transmission lines are frequently computed with the aid of the Ritz-method or of finite elements. Several hundred or thousand terms have to be considered in this case, due to the high frequency of the vibrations. In this paper a different approach is used: damping and wind power are calculated for the semi-infinite and for the infinite cable respectively, which gives good results due to the dense spectrum of eigenfrequencies of the finite cable. The vibration amplitudes then follow from an energy ballance. Simple formulas for the bending strain in the cable are obtained by applying singular perturbations.

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Herrn Professor Dr. E. Mettler gewidmet zum 70. Geburtstag

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Der Verfasser dankt der Fa. R. Bergner, Elektroarmaturen, für die Unterstützung der Arbeit.     

Pulsierende Strömung in visko-elastischen Leitungssystemen

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird aus den linearisierten Grundgleichungen für die instationäre Strömung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit im visko-elastischen Schlauch das Übertragungsverhalten von Schlauchleitungssystemen für harmonisch pulsierende Zustandsgrößen berechnet und in Form von Ortskurven dargestellt. Die berechneten Ortskurven stimmen gut mit experimentell ermittelten Ortskurven für Latexschläuche überein.

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Summary In this paper the frequency response of tube flow systems is calculated from the linearized dynamic equations of viscous incompressible fluid flow in visco-elastic tubes. The transfer gain curves are discussed and compared with measured curves for Latex tubes. The calculations agree well with experiments.

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Auszug aus der an der Technischen Hochschule Stuttgart durchgeführten Dissertation des Verfassers; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Hutarew und Prof. Dr. rer. nat. K. Zoller.     

Strukturmodifikation mit dem Modal-Korrektur-Verfahren für das System mit nicht proportionaler Dämpfung

Übersicht Es wird eine Methode für die dynamische Strukturmodifikation mit dem Modal-Korrektur-Verfahren für das System mit nicht proportionaler Dämpfung gezeigt. Die Modifikation erfolgt direkt im Zustandsraum. Die Modalparameter des modifizierten Systems sind dann komplex, aber sie können direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktionen oder erzwungener Schwingungen verwendet werden.

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Structural modification by means of modal correction for a non proportional damped system

Summary A method is introduced for the structural dynamics modification by means of modal correction for a non proportional damped system. The modification is made directly in the state space. Then the modal parameters of the modified system are complex, but they can be directly used for calculating the frequency response function or forced response function.

     

Torsional waves and free vibrations of drive systems with stepped shafts

Summary In the paper the continuous model of a multi-mass drive system is considered. The method of dynamical analysis is based on the theory of propagation of one dimensional torsional elastic waves. Discussion is presented for the system consisting of N stepped shafts and N+1 rigid bodies. Numerical results are presented for two different systems.

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Torsionswellen und freie Schwingungen bei Antriebssystemen mit Stufenspindeln

übersicht In dieser Arbeit wird das kontinuierliche Modell eines Mehrmassen-Antriebssystems betrachtet. Die Methode der dynamischen Analyse beruht auf der Theorie der eindimensionalen Ausbreitung von elastischen Torsionswellen. Es wird ein System diskutiert, das aus N Stufenspindeln und N+1 Starrkörpern besteht. Numerische Ergebnisse werden für zwei verschiedene Systeme gegeben.

     

Kombinationsresonanz und Instabilitätsbereiche zweiter Art bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer Dämpfung

Übersicht Bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer (kubischer) Dämpfung wird der Resonanzfall untersucht, in dem die Erregerfrequenz gleich der Summe zweier Eigenfrequenzen der ungedämpften freien Schwingungen ist. Dazu wird die erste Näherung der asymptotischen Methode nach Bogoljubow und Mitropolski benützt. Bei der Stabilitätsuntersuchung der trivialen Lösung ergibt sich ein kritischer Fall, in dem das Stabilitätsverhalten mittels eines von Salvadori angegebenen Verfahrens nach der zweiten Methode von Ljapunow untersucht wird. Es zeigt sich dabei im besonderen, daß die nichtlineare Dämpfung eine Erweiterung der Instabilitätsbereiche zur Folge hat, ähnlich der, die im Falle linearer Dämpfung eintritt, wie Schmidt und Weidenhammer nachgewiesen haben.

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Summary In this paper, parametrically excited vibrations with nonlinear (cubic) damping are examined for that case of resonance in which the exciting frequency is equal to the sum of two of the natural frequencies of free undamped vibration. Here, the first approximation according to the asymptotic method of Bogoliubov and Mitropolski is used. The stability investigation indicates a critical case, which is solved by Liapunov's second method by use of a procedure given by Salvadori. It is particularly shown that nonlinear damping causes widening of the instability regions similar to that shown by Schmidt and Weidenhammer for the case of linear damping.

     

On the rheology of concentrated dispersions

Summary The viscosity or shear modulus as well as the compression modulus of concentrated dispersions of sperical particles is calculated according to a method first developed byH. Fröhlich andR. Sack in 1945. The method accounts for the pure mechanical-geometrical effect of the presence of the particles only. Results are compared with those found experimentally for mixtures of mineral aggregate particles and bitumen and a few other systems.Though the original theory was meant to be used for dilute dispersions only, a fair agreement with experimental results up to volume concentrations of 60% was found to exist.

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Zusammenfassung Die Viskosität bzw. der Schubmodul sowie der Kompressionsmoduly von konzentrierten Dispersionen kugelförmiger Teilchen werden nach einer Methode berechnet, die zum ersten Mal vonH. Fröhlich undR. Sack im Jahre 1945 entwickelt wurde. Die Berechnung gilt nur für den rein mechanisch-geometrischen Effekt, der durch das Vorhandensein der dispersen Teilchen hervorgerufen wird. Die so gefundenen Werte werden mit den Ergebnissen von Versuchen mit Mineralaggregat-Bitumen-Mischungen sowie mit einigen anderen Systemen verglichen. Obgleich die ursprüngliche Theorie nur für die Anwendung auf verdünnte Dispersionen zugeschnitten war, ergab sich eine ziemlich gute Übereinstimmung mit Versuchsergebnissen bis zu Volumenkonzentrationen von 60%.

     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

Vibration of stiffened annular sector plates using the spline element method

Summary Vibrations of a stiffened annular sector plate with arbitrary boundary conditions are analysed using the spline element method. The plate is idealized as a system of an annular sector plate and curved beams rigidly connected to each other. To demonstrate the accuracy of the present method several examples are solved, and the results are compared with those obtained analytically and by other numerical methods. Good accuracy is obtained. The effect of stiffening beams on the frequencies of stiffened annular sector plates is also investigated.

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Bestimmung der Schwingungen versteifter Kreisringsegment-Platten mit Hilfe der Spline-Element-Methode

Übersicht Die Schwingungen versteifter Sektorplatten werden mittels der Spline-Element-Methode untersucht. Die Platte wird als ein System von Sektorplatte und gebogenen Trägern idealisiert. An Zahlenbeispielen wird gezeigt, daß bezüglich der üblichen analytischen Methode und numerischen Methoden die genaue Lösung erhalten wird. Der Effekt versteifender, gebogener Träger auf die Frequenzen wird untersucht.

     

Bifurcating self-excited vibrations of a horizontally rotating viscoelastic shaft

Summary Self-excited postcritical vibrations of a rotating geometrically non-linear shaft caused by internal friction are analysed in this paper using the Hopf bifurcation theory. Stable periodic vibrations bifurcate from the non-trivial equilibrium which becomes unstable itself. Ordinary differential equations of motion are obtained by means of Galerkin's method. Bifurcating periodic solution is constructed in a parametric form due to Iooss and Joseph.

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Verzweigende selbsterregte Schwingungen eines horizontal gelagerten viskoelastischen Rotors

Übersicht Die von der inneren Reibung abhängigen selbsterregten Schwingungen einer drehenden geometrisch nichtlinearen Welle werden in dieser Arbeit mit Hilfe der Hopfschen Bifurkationstheorie analysiert. Die stabilen periodischen Schwingungen verzweigen sich ausgehend von der Gleichgewichtslage, die selbst instabil wird. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe der Galerkinschen Methode ausgewertet. Verzweigungslösungen werden in parametrischer Form nach Iooss und Joseph konstruiert.

     

Zur Berechnung von Fahrleitungsschwingungen mit Hilfe frequenzabhängiger finiter Elemente

Übersicht Bei der Untersuchung des dynamischen Zusammenwirkens von Fahrdraht-Kettenwerk und Stromabnehmer im Hochgeschwindigkeitsbereich ist es erforderlich, die hochfrequenten Schwingungsformen der Fahrleitung zu berücksichtigen. Diese Forderung behindert den wirtschaftlichen Einsatz der in der Praxis gebräuchlichen Finite-Elemente-Programme, da zur Modellierung einer aus mehreren Mastfeldern bestehenden Abspannlänge sehr viele Freilieitsgrade zur Darstellung der hochfrequenten Eigenformen benötigt werden.In dem Beitrag wird die analytische Lösung der Seilgleichung zur Herleitung frequenzabhängiger Elementmatrizen verwendet. Damit kann die Flexibilität der Finite-Elemente-Modellierung mit der Genauigkeit und Kürze der analytischen Lösung kombiniert werden. Die Elementteilung der Fahrleitung erfolgt nur noch nach Maßgabe geometrischer und physikalischer Erfordernisse.Den Abschluß des Beitrages bildet eine Nachrechnung der von den British Railways durchgeführten Versuche, bei denen ein mehrfeldriges Kettenwerk durch Freigabe eines angehängten Gewichts zu Schwingungen angeregt wurde.

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Summary The coupled analysis of the dynamic behavior of an overhead catenary with a pantograph moving at high speed requires the representation of the catenary natural modes up to very high frequencies. This requirement hampers the economic use of commercial finite-element-programmes, because too many degrees of freedom are necessary in the finite-element-model of a multi-span catenary to represent the highest natural frequencies with the required accuracy.The analytical solution of the string differential equation is used in the paper to derive frequency dependent element matrices, in order to combine the finite-element modeling technique with the accuracy of the analytical solution. Thus clement partitioning is only governed by geometrical and physical requirements.The paper ends with a comparative analysis of a two-span catenary which was tested by British Railways.

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Prof. Dr.-Ing. Sigurd Falk zum 60. Geburtstag gewidmet.

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Die Arbeit entstand zum Teil im Rahmen eines Forschungsauftrages der Deutschen Bundesbahn mit Förderung des Bundesministers für Forschung und Technologie