二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性;不少中数专著或杂志至今还频繁讨论;本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系,并给出统一而简明的证明,指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式;引理：设两条不同的二次曲线Ｓ：Ｆ（ｘ,ｙ）＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０（１）Ｓ１：φ（ｘ,ｙ）＝ｂ１１ｘ２＋２ｂ１２ｘｙ＋ｂ２２ｙ２＋２ｂ１３ｘ＋２ｂ２３ｙ＋ｂ３３＝０（２）有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个公共点,其中无三点共线,则过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的任…     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

线段的定比分点（课堂实录）

1　教材分析　本节课是在有向线段数量和两点距离公式基础上研究 ,是进一步学习直线的方程的基础 ,起着承上启下的作用 ,是进行素质教育和创新教育的好素材 ;线段的定比分点坐标公式 (包括中点公式 )是一个重要的基本公式 ,在数学解题中得到广泛的应用 ,因此地位重要 ,务必使学生弄懂学扎实 .但由于学生第一次接触这个新的概念 ,对它们的含义理解不清 ,因而不会正确运用 ,导致本节课是全章难点之一 .通过对本节课的教学和研究 ,可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 ,渗透数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想 ,培养学生的内在联…     

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题陈文立（西南师范大学数学系，重庆北碚６３０７１５）《数学通报》在近十年内，曾经多次载文讨论关于非退化二次曲线的中点弦以及弦的中点的轨迹问题，说明了人们对个伺题的重视，最近，在［１］，［２］两文中讨论了双曲线的中...     

巧用线段的定比分点公式解题

线段的定比分点是指 :Ｐ1Ｐ2 是直线ｌ上的有向线段 ,点Ｐ是直线ｌ上除Ｐ1,Ｐ2 外的任意一点 ,点Ｐ把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成两条有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 ,且两线段的比为 Ｐ1ＰＰＰ2=λ ;若Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ的坐标分别为(ｘ1,ｙ1) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ ,ｙ) ,则λ =ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ或λ =ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ,从而有分点的坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λｙ =ｙ1 λｙ21 λ(λ≠ - 1) .其中当λ >0时 ,Ｐ为内分点 ,特别当λ =1时 ,Ｐ为中点 ;当λ <0时 ,Ｐ为外分点 .巧用线段的定比和分点公式解一些代数题 ,简捷方便 ,快速准确 .请看下面例子 .例 1　如果式子中…     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知，向量法是解决平面几何问题的重要方法，而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式．本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用，供大家参考。     

巧用定比分点公式证明不等式

对于形如ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果 .具体方法如下 :把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的分点 ,由定比分点公式 :λ= Ｐ1 ＰＰＰ2=ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ.如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1 <ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1 ;当λ不存在时有ｘ =ｘ2 .因此当λ≥ 0时 ,即可证明ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 .下面通过举例加以阐述 .例 1　已知 |ａ| <1,|ｂ| <1.证明 :- 1<ａ ｂ1 ａｂ<1.证　设 - 1,ａ ｂ1 ａｂ,1分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1 …     

双曲线的中点弦的存在定理

从几何直观可知,双曲线与其渐近线分别将平面分为两部分,其中含有焦点的区域分别叫内域与内角域,不含焦点的区域分别叫外域与外角域,显而易见,内域是内角域的其子集,外角域是外域的其子集。     

一道“中点弦”问题引发的思考

从一道“中点弦”问题的解法出发,探讨对于非坐标轴上的定点是弦的一般的定比分点时,如何用定比比值及定点坐标来表示弦所在的直线方程,并将曲线是三种圆锥曲线的情况逐一给出,最后对定点为坐标轴上的点的情况加以补充说明,给出完备的结论.     

定比分点向量式的推广

1问题提出如图1,若AC=λCB,则OC=OA+λOB/1λ.这个结论便是线段的定比分点的向量表达式笔者在研究向量的线性表示问题时,产生了将此结论推广到平面及空间的想法.于是提出了以下两个问题.问题1如图2,已知点M是不在△ABC三     

定比分点坐标公式教学一得

在解析几何里,有一个定比分点坐标公式,不难发现,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,以及立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题具有很明显的相似之处,在此我们不妨将它们分别定义为定比分点截线问题、定比分线截面问题和定比分面截体问题．     

用点差法解决直线被二次曲线所截弦问题的研究

圆锥曲线问题是历届高考的重头戏．其中，设点作差法(简称为“点差法”)在解决直线被二次曲线所截弦的问题中有着广泛运用．在初学点差法时，我由于没有吃透它的实质，做起题来思路很乱．经过反复思考，我终于对点差法有了比较清晰的认识，并与另一重要方法——利用韦达定理求解作了一番比较，得出一些规律，在此想与大家交流一下．     

定比分点向量公式、向量基本定理的理解

<正>一、定比分点向量公式如图1,设P₁（x1.y1）、P₂（x2,y2）为直线l上的两点,点P是l上不同于P₁、P₂的任一点,则存在一个实数λ,使■=λ■,λ叫做点P分有向线段■所成的比,则■=