探究案例一则

又到了第二课堂活动时间 ,笔者给出了下面这道题让同学们解答、探究 .题目　给定双曲线x2 - y22 =1,过点P( 1,1)能否作直线l ,使l与此双曲线交于Q1,Q2 两点 ,且点P是线段Q1Q2 的中点 ?不一会儿 ,S1同学给出了这样的解答 :假设存在符合题意的直线l,设Q1(x1,y1) ,Q2 (x2 ,y2 ) ,则有x21- y212 =1( 1)x22 - y222 =1( 2 )( 1) - ( 2 )得 :(x1+x2 ) (x1-x2 ) =12 ( y1+ y2 ) ( y1- y2 ) ,显然x1-x2 ≠ 0 ,y1+ y2 ≠ 0 ,∴有 y1- y2x1-x2=2 (x1+x2 )y1+y2,由P( 1,1)为线段Q1Q2 中点 ,有x1+x2 =2 ,y1+ y2 =2 ,则k =2 ,所求直线方程 :y =2x - 1…     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…     

巧用公共弦方程解题

众所周知 ,若相交两圆的方程分别为x2 y2 D1x E1y F1=0 ,x2 y2 D2 x E2 y F2 =0 ,则它们的公共弦所在直线的方程为( D1- D2 ) x ( E1- E2 ) y ( F1- F2 ) =0 .这个方程应用很广 ,它不仅使解有关两圆相交问题简捷方便 ,而且还有利于解有关圆锥曲线的弦的方程问题 .例 1　在椭圆 x21 6 y24 =1内有一定点A( 1 ,1 ) ,过点 A作一直线与椭圆相交于 B,C两点 ,且使得点 A恰好是弦 BC的中点 ,求此直线的方程 .解　设 B,C两点的坐标分别为 B( x,y) ,C( x1,y1) ,则由中点坐标公式得x1=2 - x,　 y1=2 - y,因为 B,C两点…     

考点27 圆锥曲线系、参数方程及最值问题

1.(天津卷,5)设双曲线以椭圆2x52+y92=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为().(A)±2(B)±34(C)±21(D)±432.(湖北卷,5)双曲线xm2-yn2=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为().(A)136(B)83(C)136(D)383.(重庆卷,9)若动点(x,y)在曲线x42+y2b2=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为().(A)b24+42b(0相似文献   

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷)数学(理工类)

一、选择题:共10个小题,满分50分.1.i是虚数单位,12-i3i=()A.1 iB.-1 iC.1-iD.-1-i2.设变量x,y满足约束条件x-y≥-1,x y≥1,3x-y≤3,则目标函数z=4x y的最大值为()A.4B.11C.12D.143.“θ=23π”是“tanθ=2cos2π θ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的离心率为3,且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线的方程为()A.1x22-2y42=1B.4x82-9y62=1C.x32-23y2=1D.x32-y62=15.函数y=log2x 4 2(x>0)的反函数是()A.y=4x-2x 1(x>2)B.y=4x-2x 1(x>1)C…     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…     

用“设而不求”法解题两例

例1 双曲线2x2-3y2-6=0的一条弦 AB被直线Y=kx平分,求弦AB的斜率． 解 设双曲线上两点A(x1,y1),B(x2, y2)．     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

新题征展(11)

A.题组新编1.( 1)过定点 A( 2 ,1)且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 2 )过定点 B( - 2 ,- 2 )且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 3)以双曲线 x2 - y2 =4的两支为间隔把平面划分成左、中、右三个区域 ,其中过中域 (不含边界 )任一     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义如图1,设l是过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)上的一点P(x0,y0)的切线,l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,与x轴交于点Q,则称△OMN为双曲线的渐近三角形.2渐近三角形的性质图1性质1|OM|·|ON|=a2 b2证明切线l的方程为b2x0x-a2y0y=a2b2.与方程y=abx联立,解得M点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可得N点的坐标为(bx0a 2bay0,bx-0 aba2y0).从而|OM|·|ON|=(bx0a-2bay0)2 (bx0a-b2ay0)2·(bx0a 2bay0)2 (bx-0 aba2y0)2=|abbx0a-2a y0b|2·|abbx0a 2a y0b|2=a2b2(a2 b2)a2b2=a2 b2.由中点坐标公式可知,P是线段MN的…     

点坐标的设而不求(连堂讲稿)

[复习说明]在解答某些解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能发挥整体思想在解题中的优势,起到以简驭繁的效果.运用这种策略能够简捷解决1988年上海高考压轴题、1992年全国高考压轴题、1995年全国高考压轴题,因而本专题的复习很有必要.本专题的复习重点是让学生能在整体审题后灵活设出点的坐标,促使解几问题能定向地简便地化归;复习难点是对点坐标所满足的关系式的挖掘寻找与等价变形.[内容提要]实施点坐标设而不求的策略的一般程序是:(1)设立直线与曲线的交点,或曲线与曲线的交点,或其它与解题目标有关的点的坐标;(2)寻找点坐标所满足的等量关系;(3)通过对等量关系整体变形、整体消元实现题设向目标转化.[范例精讲]例1　(1981年全国高考压轴题改编)已知双曲线方程为3x2-y2=3,(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线方程;(2)问以B(1,1)为中点的弦是否存在?分析　(1)求以A为中点的弦所在直线方程只要求出其斜率即可,设该弦与双曲线交点为M(x1,y1)、N(x2,y2).∵　点M、N在双曲线上,∴　　　3x21-y21=3,　　　图13x22-y22=3.相减得　3(x21-x22)-(y...     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线,由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知.方程xy=k(k≠0)表示的曲线是等轴双曲线.可以证明,将等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°,所得等轴双曲线C′的方程为xy=a22.事实上,设等轴双曲线C′的方程为xy=k(k>0),易知C′的两个顶点为A′1(-k,-k)、A′2(k,k),由|A′1A′2|=2 2k=2a,便可得到k=a22.利用上述变换,处理一些等轴双曲线的问题十分简单,请看2006年高考北京卷理科倒数第2题:题已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W…     

椭圆的又一个有趣性质

椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一个.性质1过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点,若C为线段AB的中点且直线OC的斜率为k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 k1k2.证明设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x21a2 y21b2=1,x22a2 y22b2=1.两式相减得x21-x     

新题征展(47)

A　题组新编1 .若 x - 4y≤ - 3,3x + 5y≤ 2 5且 x≥1 ,分别求 x + y、x - y、yx 的取值范围 .2 .( 1 )不共面四点 A、B、C、D到平面α的距离相等 ,则平面α有个 .( 2 )不共面四点 A、B、C、D到平面α的距离之比为 1∶ 1∶ 1∶ 2 ,则平面α有个 .(第 1、2题由琚国起供题并作答 )B　藏题新掘图 13.数列 {an}满足条件 :a1=12 ,　 a2 =12 ,( 1 - n2 ) an+1- an+1. an+n2 an =0 ,求此数列的通项公式 an.4 .若双曲线x2a2 - y2b2 =1　 ( a、b >0 )的两焦点为 F1,F2 (如图 1 ) ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线有四个交点 A、B、C、D,若六边形…     

一题答案引发的思考与探究

<正>在高二解析几何单元测试中,有这样一道题:题目在平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2-y2/9=1的左焦点F1作圆x2+y2=1的一条切线(切点为T)交双曲线右支于P,若M为线段F1P的中点,则|OM|-|MT|= _____.在答卷中有52.3%的人为2,有45.6%的     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

浅议双曲线的“盲区”

在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时,常常用到结论:(1)抛物线y2=2px(p<0)的弦的中点不可能到达抛物线y2=2px(p<0)上和其左边的点;(2)椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部.上述两个区域我们暂且称之为“抛物线的盲区”和“椭圆的盲区”.那么“双曲线的盲区”是什么呢?是双曲线两支之间,还是两支之外?由“特殊化思想”发现“双曲线的盲区”既不是双曲线两支之间,也不是两支之外,那么如何找到双曲线的弦的中点的“盲区”?图1我们先来看下面的问题:已知双曲线的方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),定点M(p,q)在双曲线与其渐近线围成的区域(…     

伴随圆锥曲线的一个统一性质

按照文[1]的定义,我们把双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)称为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的伴随双曲线,同样地,把x2/a2+y2/b2=1(α＞b＞0)称为双曲线x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的伴随椭圆.通过研究笔者发现了它们一个有趣的统一性质.