数e存在性的一个证明

数列{(1+1/n)~n}的极限就是无理数e=2.7182818284….这个极限存在性的证明归结为证明数列{(1+1/n)~n}递增且有上界。本文利用著名的平均值不等式     

lim(1+1/n)~n from (x→+m)存在的几种证明方法

<正> 证明这个极限存在的方法很多,一般教科书中是通过二项式展开、放大,证明数列{(1+(1/n))~n}单调上升,并估计出上界到3.这种方法麻烦,但直接,并可进一步给出极限值的近似计算式及误差.本文对该极限的存在性给出两种简单的证明方法,其共同特点是通过一些不等式证明{(1+(1/n))~n}单调上升有界.以利扩大初学者的解题思路.     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的另一种证法

证明数列{(1+1/n)~n}的极限存在,只要证明数列{(1+1/n)~n}单调且有界.为此在一般的微积分教材中,是采用按牛顿二项公式将(1+1/n)~n展开的方法,这种方法思路自然且直观易懂,为拓宽思路下面给出另一种证法.     

数“e”存在性的又一证明——兼谈一个不等式的应用

数“e”存在性的证明可归结为证明序列{(1+1/n)~n}递增且上有界,一般的分析教程中大都利用Newton二项式定理充分展开后获证。文[1]和文[2]利用一些不等式给出了数“e”存在性的另几种证明。本文再介绍一个不等式,作为不等式的直接结果,可分别独立地证得{(1+1/n)~n)递增且上有界(相比之     

对数列{(1+1/n)~n}的单调性的再思考

1数列{(1+1/n)n}的单调性新证众所周知,在高等数学《数学分析》的极限论里有以下重要数列:命题1{(1+1/n)n}是N*上的严格递增数列.本文首先给出它的新颖证法:证明利用著名的贝努利(Bernulli)不等式(1     

排序原理在微积分中的一些应用

利用排序原理证明了数列{(1 1/n)~n}收敛性,级数∑(n!e~n)/(n~n p)在p≤3/2时是发散的和几个不等式。     

对数列{（1+（1/n））n+a}的单调完备性定理的修正

文[1]给出数列{(1+(1/n))n}与{(1+1/n)n+1}的单调性的新证,并结合2008年湖南理科压轴题作如下探究:研究数列{(1+1/n)n+a}(其中a为实数)的单调性,得出如下单调完备性定理:     

重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法

利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1 1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1 1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.     

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

关于lim from n→+∞(1+1/n)~n的存在性的又一明证

<正> 一般教科书通常是利用二项式展开定理来证明(1+1/n)~n 的单调有界性.下面只用一个简单不等式.就可以证明.(1+1/n)~n 的单调有界性先证明不等式     

转化为常数列求递推数列通项

类型1 a_(n 1)=pa_n q例1 (2006福建(理))已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*),求数列{a_n}的通项公式．解由已知a_(n 1)=2a_(n 1),两边同除以2~(n 1),得(a_(n 1))/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~(n 1))．变形得(a_(n 1))/(2~(n 1)) 1/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~n),∴数列{(a_n)/(2~n) 1/(2~n)}是常数列,即(a_n)/(2~n) 1/(2~n)=(a_1)/2 1/2,故所求数列通项为a_n=2~n-1．点拨形如a_(n 1)=pa_n q(p、q常数,p≠1,q≠0)的递推关系求通项,通常先两边同除以     

一个有趣数列的单调性

利用不等式(π4(n-1)/2n 4(n+))^(1/2)1<∫_0^(π/2)sin^nxdx<(π(4n+5)/2 (n+1)(4n+3))^(1/2),对有趣数列{(n+c)^(1/2)∫_0^(π/2)sin^nxdx}的单调性再次进行了分析论证,并对已有结论进行了改进.     

关于一类数列的最大项问题

题1 在数列{A_n}={11~n(n 2)/12~n}中第几项的值最大?这个最大项是多少? 题2 求数列中的最大项。题3 求证,数列中的第一项最大,并求出这个最大项。细心的读者不难看出以上三个题中的数列都是由一个正项无穷递缩等比数列{a_n}和一个正项无穷等差数列{b_n}的对应项之乘积组成的一个新数列{a_n·b_n}。对于这一类数列的最大项问题,我们有下面一个很漂亮的结论。定理数列{c_n}={a_n·b_n}。如果数列{a_n}为正项无穷递缩等比数列,{b_n}为正项无穷递增等差数列,那么 (1)当1/1-q≥b_1/d,取n为区间[1 /1-q-b_1/d,1     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的一种证明

本文利用一个不等式证明数开x_n=(1+1/n)~n极限的存在性。     

求等差数列各项k次幂的前n项和的极限方法

本文给出了stolz 定理在求数列{(a+(n-1)b)~k}前n 项和的极限方法,从而说明高等数学课程对初等数学的教学与研究具有指导作用,并且推广了文[1]的结果。     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

浅谈“两式相减”的策略

<正>两式相减是数学中一种重要的转化方法,很多数学问题,可借助于"两式相减"获得解决,应用十分广泛.那么怎样用"两式相减"呢?一、错项相减例1记数列{(2n+3)(1/2)ⁿ}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)n}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)ⁿ,∴有S_n=1/2·5+(1/2)n,∴有S_n=1/2·5+(1/2)²·7+(1/2)2·7+(1/2)³·9+…+(1/2)3·9+…+(1/2)ⁿ(2n+3)1将1式两边乘以公比1/2,得     

从一个案例看问题解决的三条基本途径

案例 数列{an}满足a1+8/7a2+(8/7)2·a3+…+(8/7)n-1·an=n(n+1), (Ⅰ)求数列{an}的通项.     

巧用数列单调性解决不等式问题

<正>数列是一种特殊的函数,一种定义在正整数集（或其子集）上的函数,因此也具有单调性.单调性是数列的一个重要性质.一般地,如果数列{a_n}满足:对任何正整数n,若a_n+1>a_n(或a_n+1n)均成立,则称数列{a_n}是单调递增（单调递减）.很多与正整数有关的不等式问题,均可利用相关数列的单调性获得简单解决.     

lim(1 1/n)~n(n→ ∞)存在性的一种证法

本文通过构造不等式 ,并利用极限存在准则证明重要极限 limn→ ∞ (1 1n) n 存在性 .引理 :单调有界数列必有极限 .下面证明数列 { (1 1n) n}的单调性及有界性 .设 a>b>0 ,则对任一自然数 n有an 1-bn 1=(a -b) (an an- 1b an- 2 b2 … abn- 1 bn) <(a -b) (n 1 ) an整理后得到不等式bn 1>an[(n 1 ) b -na](1 )　　第一步 ,令 b=1 1n 1 ,a=1 1n,则有(n 1 ) b -na =(n 1 ) (1 1n 1 ) -n(1 1n) =1将它们代入 (1 )中可得　 (1 1n 1 ) n 1>(1 1n) n.这说明数列 { (1 1n) n}是递增数列 .第二步 ,令 b=1…