一类新概念题的解法综述

新信息题成为试题改革的一个新的亮点 ,此类试题目的是为了考查学生独立获取信息、加工信息的学习能力 .“新概念题”就是其中一类 .而解决此类问题的关键是仔细阅读、抓住信息、透彻理解 .下面举几例说明 .例 1　若对n个向量a1,a2 ,… ,an 存在n个不全为零的实数k1,k2 ,… ,kn,使得k1a1+k2 a2 +… +knan=0成立 ,则称向量a1,a2 ,… ,an 为线性相关 .依此规定 ,请给出一组实数 ,能判断a1=( 1 ,0 ) ,a2 =( 1 ,- 1 ) ,a3 =( 2 ,2 )线性相关 .分析　本题给出了“线性相关”的新概念 .若能正确理解这一概念 ,并结合向量的相关知识 ,则问题可解 .…     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

柯西不等式的解题魅力

平凡无奇的柯西不等式,应用广泛,充满着迷人的解题魅力．定理设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn∈R, 则(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2．当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时等号成立. 证明构造“数字式”:1 1=2简证之．设k1=a12 a22 … an2,k2=b12 b22 … bn2, 则1=1/k1(a12 a22 … an2),1=1/k2(b12 b22     

关于D.H.Lehmer问题与超级Kloosterman和

设整数q>2,c与q互素．对于1到q之间与q互素的任意整数a,在1到q之间存在唯一的整数b满足ab≡c mod q．对任意整数k≥2,定义M(q,k,c)为满足1≤ai≤q, (ai,q)=1,i=1,2,…,k,a1a2…ak≡c mod q且2 a1 a2 … ak的正整数组(a1,a2,…,ak)的数目,并设E(q,k,c)=M(q,k,c)-(φk-1(q))/2．本文的主要目的是利用Gauss和与原特征的性质,以及Dirichlet L-函数的均值定理,来研究E(q,k,c)与超级Kloosterman和K(h,k,q)的混合均值,并给出一个均值公式．     

一个不等式的另一简证

定理 设a1，a2,…，an∈R^＋且a1＋a2＋…＋an=S，k≤0，则有a1^k/S-a1＋a2^k/S-a2＋…an^k/S-an≥Sn^k-1/（n-1）n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号．     

也谈一组数学问题的统一解法

文［1］中用分母整体换元法证明了一类分式不等式，但较繁．本文介绍另一种解此类问题的通法，以飨读者．首先介绍不等式（1）和（2）．当且仅当bi=kai（b为常数，i=1，2，…，n）时取“=”号（以下略）它的证明见［2］下面就用（1）或（2）证明[1]中所提到的一组数学问题．例1设证明很简单，无需任何技巧注：如[1]所述，若采用分母整体换元法，需令S-a1=k1，S－a2=k2，…，S－an=kn得a1=S-k1，a2=S-k2，…，an=S-kn，经代换化简整理变后，还要再用（1）或均值不等式方能使问题获得解决．类似的例子不一一枚举．对于［1］中一些貌现繁难…     

一道国家集训题的导数证明

2005年国家集训题:从任意n(n≥2)个给定的正数a1,a2,…,an中,每项取k个数作乘积,所有这种乘积的算术平均值的k次方根,称为这n个数的k次对称平均,记为Bk.即Bk=a1a2…ak a1a3…ak 1 … an 1-k…an-1anCkn1k求证:若1≤k1相似文献   

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明:定理设a1,a2,…,an∈R ,且a1 a2 … an=s,k∈N,k≥2,则有a1ks-a1 a2ks-a2 … anks-an≥sk-1(n-1)nk-2.其中当且仅当a1=a2=…=an时,不等式的等号成立.文[2]指出了定理在k∈R且k>1时是成立的,并且给出了证明.笔者认为在k≥1或k≤0时,定理是成立的,下     

一个伪素数猜想的证明

文［1］中提出一个猜想：“对于每一个伪素数k而言，至少存在一组正整数（a，b），使得本文证明此猜想是成立的如果允许a＝k—1，则此猜想的正确性显而易见，本文限定a＜k一回引理1（欧拉定理）设k是大于l的奇数，NO2，（。）。1（n。edk）其中中（k）是欧拉函数，表示0，1，Z，··，k－1中与是互质的数的个数［2］这一引理表明，对任何大于1的奇数k都存在正整数l’，使得2”。1（inedk）（1）引理2设k为大于1的奇数，。为正整数，且有（1）式成立占是使（1）式成立的最小正整数（在数论中称之为2对模k的指数【川，则有8卜（巨）、（2）…     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明： 定理 设a1,a2,…,an∈R^＋,且a1＋a2＋…＋an=s,k∈N,k≥2，则有     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

等差数列中一定包含等比子数列吗

最近在一本《高考数学模拟题》中见到这样一道题：题1当a、d∈N时，等差数列｛a＋（n－1）d｝（n∈N）中，是否含有无穷的等比数列？试加以证明．原书的解答是这样的：设｛bm｝为等比数列，今b1＝a1＝a，b2＝a＋ad＝a（1＋d），…，bn＝a（1＋d）(m－1)．令an＝a＋（n－1）d，利用数学归纳法，只需证明bm∈｛an｝．当m＝1时b1＝a∈｛an｝，设m＝k时命题成立，即bk∈E｛an｝，则h一a（1＋d）‘－‘一a十id（tEN），当m—k－I－1时，h＋l一a（1十的‘一。（1十N‘－‘（1十山一（a＋id）（1＋d）一a＋（a－f－－l＋id）d一a＋pd．其中P—a…     

探究两道同源试题

题1（2002年上海交大保送生试题）设数列{an}满足关系an＋1=2an^2-1（n=1，2，…），若N满足aN=1（N=2，3，…）， 证明：（1）｜a1｜≤1； （2）a1=coskπ/2^N-2（k为整数）．     

2004年第五期初中数学问题参考解答

一、求证 :f(n) =an + 2 +(a +1 ) 2n + 1被a2 +a +1整除 ,其中a是整数 ,n是自然数 .证明 :( 1 )当n =0时 ,f( 0 ) =a2 +(a +1 ) =a2 +a+1能被a2 +a +1整除 .( 2 )假设当n =k时 ,f(k) =ak+ 2 +(a +1 ) 2k+ 1能被a2 +a +1整除 .当n =k +1时 ,有f(k +1 ) =ak+ 3 +(a +1 ) 2 (k + 1) + 1=a·ak + 2 +(a+1 ) 2k+ 1·(a+1 ) 2=a·ak+ 2 +a2 ·(a +1 ) 2k + 1+2a·(a +1 ) 2k+ 1+(a+1 ) 2k + 1=[a·ak+ 2 +a·(a +1 ) 2k+ 1]+[a2 (a +1 ) 2k+ 1+a·(a +1 ) 2k + 1+(a+1 ) 2k+ 1]=a[ak + 2 +(a+1 ) 2k + 1]+(a +1 ) 2k + 1·(a2 +a +1 ) .∵a是整数…     

对一错误结论的修正

文[1]的实质是探究满足A1∪A2∪…∪Am={a1，a2，a3，…，an}（m，n∈N＋）的有序集合组（A1，A2，A3，…，Am）共有多少个？解决本题的关键是确定平面上的m个圆最多可确定多少个互不重叠的区域，臧老师是通过建立a（k＋1）与ak间的递推关系来解决的：设前k个确定am个区域，     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

我为高考设计题目

题93在数列{an}中,a1=1,且对任意的k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1成等比数列,其公比为qk.(1)若qk=2(k∈N*),求a1+a3+a5+…+a2k-1.(2)若对任意的k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2成等差数列,其公差为dk,设bk=1/qk-1.①求证:{bn}成等差数列,并指出其公差;②若d1=2,试求数列{dk}的前k项和Dk.     

具有递推关系的一类计算对象的解法

1.定理　设 Dn 是一个与自然数 n有关的计算对象 ,具有递推关系 Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +…+ak Dn- k,其中 a1,a2 ,… ,ak 是 k个已知常数。如果矩阵A =a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1… 0 0……………0 0… 1 0可对角化 ,即存在可逆矩阵 P,P- 1AP=Λ,Λ=λ1λ2 λk;并且 PΛn- 1P- 1Dk廌2D2=b1廱k- 1bk,则Dn=bk。证明　∵ Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +… +ak Dn- k,∴ Dn+k- 1=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1,从而Hn =Dn+k- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1…     

计算星期几的一个公式

本文依据同分理论和容斤原理，建立起计算星期几的一个公式1预备知识（1）年份为4的倍数但非100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年为闰年（2）平年一年的总天数为365天，闰年二月29天（3）1至n中a的倍数的数有个，a∈N，[x]为x的整数部分（4）365≡1（mod7），29≡1（mod7）2计算公式Si．j．k≡（i－1）（r为整数，0≤r≤6）式中Si．j．k表示从公元元年1日至所求之日的总天数，i、J、k分别表示所求之日对应的年、月、日，Ni．j．k表示i年元月1日至k日的总天数3公式推导因为100的倍数的数包含在4的倍数的数之中，而400的倍数的数…     

2011年北京高考理科数学20题第三问探析

题目 若数列An：a1,a2,…,an（n≥2）满足{ak＋1-ak}=1（k=1,2,…,n-1）,则称An为E数列．记S（An）=a1＋a2＋…＋an。