教材中两道例习题的组合探究

将课本例习题进行有效的“组合”及“拓展”,挖掘隐含在问题内部的研究性材料进行探索与开发,既能让学生真正掌握所涉及内容又有利于其探究能力的培养,也是提高教师处理教材能力的有效途径.人教版高中教材第一册(上)(必修)P128例4及P129习题3.5第7题:1)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,a1,a7,a4成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.这样两道看似普通的例习题却蕴涵着丰富的教学功能,笔者在教学中从这两道题出发,引导学生开展了一次数学探究活动.…     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证2S3,S6,S12-S6成等比数列.文[1]给出了如下一个推广:定理1已知数列{an}是公比不为±1的等比数列,Sn是其前n项和,若xam,yam 2k,zam k成等差数列(其中x     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

<正>普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题:已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质:设等比数列{a n}的公比q≠1,其前n项     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题： 已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质：     

一个问题的解决

《中学生数学》2004年第1期《反思——探究——收获》一文当中,作者留下了一个探讨的问题:设Sn是非常数等差数列{an}的前n项和,则数列Sp1,Sp2,…,Spr成等比数列是否等价于ap1,ap2,…,apr成等比数列?     

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

"等差数列的前n项和公式推导"的商榷

1商榷背景普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社A版)《数学》⑤第二章数列“2.2等差数列”中,一开始就明确了一种常用的数学研究方法——从特殊入手研究数学对象的性质,再逐步扩展到一般.在推导等差数列的前n项和公式时,更是体现了这一方法,教科书给出的公式探究过程可以     

等差数列不等差

若一数列佃。}的前”项和公式是:S,,’+l,则此数列是等差数列. 证明:一「(n一l)’S一5._,一(。’+l)+]1=Zn一l a。一l一s。一l一S。一2一Zn一3, ·‘·a。一a。_,=(2”一l)一(Zn一3)二2 …伸。}是等差数列· 然而,’·’al二51,a,+a:=52,a,+aZ+a3一S, ·’·al一12+l,a一+aZ一22+- al+aZ+a3一32+- 解得:a,一2,aZ一3,a,一5 ·’,aZ一a,笋a,一aZ即数列于a。冬不等差数列. 前而证明了扣,}是等差数列,为什么用一些特殊项去验证却不成立呢?本期‘数学诡辩’揭底 2错因.就是用前n项和公式去求通项公式时,未注惫到数列的首项情况.由a。=sn一s…     

一个例题的注记

《中学生数学》2 0 0 2年 9月上期 13页例5 :“在等差数列 {an}中 ,已知a1 =2 5 ,S9=S1 7.求S2 6 的值 .”分析与解　根据等差数列前n项和的函数图像 ,确定S2 6 的大小 .因 {an}是等差数列 ,所以可设Sn=An2 +Bn .二次函数的图像过原点如图 .因S9=S1 7,由图可知S2 6 =0 .”这个方法被称为“借助图像减元” ,把很复杂的问题简化了 .除简化计算方法以外 ,上述解法或许还会启发我们问 :原题“已知a1 =2 5”是否是多给条件 ?(以上解法中没有用到这个条件 )今试用他法解之 :因S9=S1 7,　∴　a1 0 +a1 1 +… +a1 7=0也即 8a1 + 10 0d =0 .将a1…     

发散、联想与类比——等差数列一个性质的探索

这一课的教学特色 ,主要体现在如下的四个“自主”上 :让学生“自主提出问题”——以等比数列类比等差数列 ,类比地提出问题 ;通过特例的观察、比较 ,归纳地提出问题 .“自主探索”——先是模仿讨论等差数列时的思路 ,试图解决等比数列的类似问题 ;遇到什么困难就解决什么困难 .“自主反思”——自己判断解决得正确与否 ;大思路对否 ,细节上有何处须予以补究 .“自主修正”——自己原先提出的问题若解决不了 ,想一想 :怎样修改一下就可以得出新的结论呢 ?这样的探究 ,不就是数学能力的体现么 !     

等差数列一个性质的再推广

文 [1 ]与文 [2 ]相隔近 2 0年先后都证明了下面等差数列的一个有趣性质 :若a1,a2 ,… ,an,an+1成等差数列 ,则当 2 ≤n∈N时 ,C0 na1-C1na2 +C2 na3-… +(-1 ) kCknak+1+…+(-1 ) nCnnan+1=0 (1 )文 [3 ]将这个性质给出如下推广 :设a0 ,a1,… ,an(n≥ 2 )成等差数列 ,则∑ni =0(-1 ) iaiCkk+iCk+ik+n =0 (2 )其中k为任意非负整数 .文 [4]又将上述性质 (1 )式给出另一形式的推广 ,即设 an 是等差数列 ,则当 3 ≤n∈N时 ,∑ni =r(-1 ) i-rCinCriai+1-r =0 (3 )本文将推广后的性质 (2 )与 (3 )式 ,再作出推广 .命题 1　设 an 是等差数列 …     

和同学们谈谈解法是怎样想到的

题目(2010年高考江西卷(理)第22题)证明以下命题:(1)对任一正整数a,都存在整数b,c(b相似文献   

高三年级自测题

一、选择题1.设少一4，3乃一12，3一36，那么数列a，b，。(). (A)是等差数列但不是等比数列(I3)是等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列也是等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.如果数列{a，}满足a，，aZ一al，a3一a:，…，a，一a，一:，…是首项为1公比为2的等比数列     

善思多变,活力无限

一、问题提出 笔者在进行等差数列习题教学中选用了这样一道习题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,则S110=.这是一道让人觉得很简单的问题,然而这个问题确实是一道有深刻思想内涵的数学问题,下面是我和学生的探究过程.     

一道课本习题的错解

高中《数学》(试验修订本 .必修 )第一册(上 )第 1 33页练习第 4题是“已知数列 {an}是等比数列 ,Sn 是其前 n项的和 ,求证 S7,S14 -S7,S2 1- S14 成等比数列 .设 k∈ N ,Sk,S2 k -Sk,S3 k - S2 k 成等比数列吗 ?”.人民教育出版社中学数学室编著的《教师教学用书》给出了此题的解法 :由　　　 S7=a1( 1 - q7)1 - q ,S14 =a1( 1 - q14 )1 - q ,S2 1=a1( 1 - q2 1)1 - q ,可得 S7( S2 1- S14 ) =( S14 - S7) 2 .此结论也可如下证明 :S14 - S7=( a1 a2 … a14 ) -( a1 a2 … a7) =a8 a9 … a14 =a1q7 a2 q7 … a7q7=(…     

数列(选择题五道)

1.既为等差又为等比的数列有() (A)无限个(B)有限个 (C)仅一个(D)一个没有 2.一个等比数列的项数至少有() (A)4项(B)3项 (C)2项(D)1项 3.凸四边形的四个内角的度数成等差数列,则其公差只可能是() (A)500(B)600(C)750(D)900 4.a,b,e成等差数列,则a,(吞 e),bZ(e a),eZ(a b)三数为() (A)等差数列,但不一定成等比 (B)等比数列,但不一定成等差 (C)即为等差且为等比数列 (D)不一定为等差,也不一定为等比 5.一条直线分平面为。;二2部分,两条相交直线分平面为a:~4部分,三条两两相交但不共点的直线分平面为a3=7部分.设。条两两相交,但无三线…     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

巧用等差、等比数列的基本性质解题

等差数列和等比数列具有以下基本性质:1)在等差数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am an=as at;2)在等比数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am·an=as·at.注这两个命题的逆命题都不正确.例如,通项为an=2的等差数列满足a1 a3=4=a5 a8,但:1 3≠5 8.在解决数列问题时,如能灵活运用性质1),2),往往能为解题带来事半功倍的效果.例1 1)在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=;2)若等差数列{an}的各项都是负数,且a32 a82 2a3·a8=9,则其前10项的和S10=;3)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a3·a5=8,则log2a2 log2a3 log2a5 log2a…     

名校基础知识自测

★高一年级 北京市第八中学(100032) 白 芸一、选择题1.数列{a。}中,a1=1,a2—1,a。 2一n。 l a。(n∈N), 则a8=( ). (A)19 (B)20 (C)21 (D)222.数列(1g3”)是( ). (A)等差数列又是等比数列 (B)等差数列但不是等比数列 (C)等比数列但不是等差数列 (D)非等差数列也非等比数列3.在等差数列{n。}中,公差d一2,a。一11,S。一35,则 口】为( ). (A)5或7(B)3或5(c)7或一1(D)3或一14.已知数列{“。}满足口。 。=a。 2且n,=1,则数列的 通项公式“。为( ). (A)2n l (B)2n 2 (C)2n一2 (D)2n一15.在数列{口。)中,nt一3,Ⅱ抖t=一÷n。,则数列的前六…     

三角形中的数列问题

三角形与数列看似风马牛不相及,但细心研究会发现二者有着美妙的结合点,并体现了数学之对称美与和谐美. 三角形ABC的边角六个元素中,若A,B,C三角成等差数列,则B=60°,继续联想可提出下列问题: 1)在三角形ABC中,若三边a,b,c成等差数列,则角B的范围如何?