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人教版<数学>(必修)第一册(下)P115面介绍了一个定理:向量b与非零向量a共线<=>有且仅有一个实数λ,使b=λa .谓之"向量共线定理".以它为基础,可以衍生出一系列的推论,而这些推论在解决一些几何问题(诸如"三点共线""三线共点"等)时有着广泛的应用.以下通过例题来加以说明.…… 相似文献
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巴卜斯定理的向量证法与六点共线问题 总被引:5,自引:1,他引:4
1 引言和预备知识向量是非常有用的一个数学工具 .它把许多几何学问题的研究从定性深入到定量 ,能够充分体现数学教学中的数形结合思想 .向量解决共线问题相当方便直接 ,它是解决共线问题的一种新途径 ,让人耳目一新 .本文用向量代数的方法证明了喻为古希腊几何的天鹅之歌的巴卜斯定理和给出了六点共线的一个充要条件 .引理 1 (三点共线的充要条件 )设a =OA ,b =OB ,c =OC ,则A ,B ,C三点共线的充分必要条件是存在不全为零的实数α,β,γ ,满足方程组 :αa+βb+γc=0 ,α +β+γ=0图 1引理 2 如图 (1 )所示 ,a=OA ,b… 相似文献
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向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介,也是近几年高考命题的一个热点问题.运用向量解题策略是:将非向量语言翻译成向量语言,然后利用向量运算得到向量特征的结论,再将其翻译回来就得到我们要求(证)的结论.解题步骤通常为“翻译———运算(推理)———翻译”三步曲,在这个过程中,正确掌握向量语言与其它数学语言的互换是必要的.1常见问题的向量表述(或求法)常见问题向量表述(或求法)共线A,B,C三点共线AB与BC(或AC与BC等)为共线向量设OA=a,OB=b,OC=c,证a=λb mc,且λ m… 相似文献
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为适应高中数学教材改革的新情况 ,需要研究用向量方法求解立体几何的各种问题 .本文举例说明如何用向量方法解决立几中点、线、面的位置关系问题 .以此强化“向量”的应用价值 ,激发学生学习向量的兴趣 ,从而达到提高探索和创新能力之目的 .现举例说明如下 .1 根据共线向量定理证点共线欲证点共线 ,通常先构造共始点的向量 ,再根据共线向量定理证明 .图 1 例 1图例 1 已知 ,如图 1,长方体AC1中 ,M为DD1的中点 ,N在AC上 ,且AN :NC =2 :1,E为BM的中点 .求证 :A1,E ,N三点共线 .证 AB =a ,AD =b ,AA1=c,则A1… 相似文献
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求证三点共线的方法很多,其中向量证法简明流畅,令人耳目一新. 例题已知A(1,-1),B(3,3),C(4,5)三点,求证:A,B,C三点共线. 证法一利用非零向量共线的充要条件 相似文献
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人教版《数学》(必修)第一册(下)P_(115)面介绍了一个定理:向量b与非零向量a共线(?)有且仅有一个实数λ,使b=λa。谓之向量共线定理。以它为基础,可以衍生出一系列的推论,而这些推论在解决一些几何问题(诸如三点共线三线共点等)时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。 相似文献
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如何充分发挥向量这一重要数学工具的功能已是一线教师非常关注的课题.本文仅就如何利用向量来处理轨迹问题中的共线点举两例说明.例1如图1,已知△OBC的顶点O(0,0),B(2,0),点C在抛物线y=x2 2x 3上运动,M、N分别在OB、OC上且满足OM∶M B=1∶2,ON∶N C=1∶3,BN与CM交于点P.图1(1) 相似文献
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《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1 三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2 结论 1图结论 1 设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证 不妨设A在BC之间 ,若A ,… 相似文献
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向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1 图 2例 1 已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB… 相似文献
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平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1 有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是 x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是 x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2 … 相似文献
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<正>向量兼具代数与几何的性质,在求解向量的相关问题时,常用的解题思路有两类:一是利用向量基本定理,选择恰当的基底表示出所研究的向量,结合向量的运算(线性运算以及数量积)进行求解;二是通过坐标化,利用坐标运算进行求解.在高中阶段,我们也接触过部分与向量相关的恒等式,例如三点共线,四点共面等条件对应的系数和为1等[1],灵活地运用相关的恒等式,能有效地提升解题的效率,发掘问题的本质. 相似文献