一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

一个面积比的巧解

在△ ABC中 ,D、E分别是 BC、CA边上的点 ,AD与 BE相交于 F.若 BD∶ DC =α,CE∶ EA =β,试求比值 S△ ABF∶ S四边形 CDFE.解　由 BD∶ DC=α联想到物理学中线段两端点质点的质量比 ,则线段 BC两端点B、C的质量分别为 1、α,其重心 D的质量为( 1 +α) .同理线段 CA两端点 C、A的质量分别为α,αβ,其重心 E的质量为 (α +αβ) .图 1则　　 AFFD=α + 1αβ ,所以　 AFAD=α + 11 +α +αβ.又　　 DFFA=αβ1 +α,所以　 DFDA=αβ1 +α +αβ.易知　 BDBC=α1 +α,　 CECA=β1 +β.于是　 S△ BDFS△ ABC…     

巧用中线求三角形面积

<正>同学们都知道,三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形.如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积.一、直接运用,紧扣性质例1如图2,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且△ABC面积为4cm2,求阴影部分的面积.     

三角形费马点几何最值问题的变式探究

<正>(2020年重庆a卷26题)如图(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF=AD;(2)如图(2)所示,在点D运动的过程中,当BD=■CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;     

用旋转解与勾股定理有关的几何证明题

<正>将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,当条件或者结论与勾股定理有关时,常可以通过旋转把分散的条件集中起来,构造直角三角形,从而达到化繁为简的效果,现举几例加以说明.例1已知:如图1,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC     

由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点). 具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略. 结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形. 具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形).     

构造A字型 图解中考题

<正>构造是一种创造能力,就平面几何而言主要是作辅助线,本文以2014年几道中考题为例,谈谈如何构造课本基本图形(如图1常称A字型)解(证)题.例1(湖北黄石)AD是△ABC的中线,将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图2,当△ABC为等边三角形且α=30°时,证明:△AMN∽△DMA;     

巧添辅助圆,求解相关最值问题

<正>在动态问题中求解最值是近几年中考的一大热点.本文结合部分与圆相关的最值问题具体谈谈如何巧添辅助圆,顺利求解最值问题.例1如图1(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

一道中考题的“前思后想”

<正>1试题及解析(2014年武汉中考题)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为____.分析问题中要求的边BD和已知边和角度很难直接建立联系,此时我们可以考虑将图形进行变换,把BD放在△ABD中,依托等腰直角三角形ABC,将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACM,此时△ADM也为等腰直角三角形,CM所在△CDM为直角三角形,且     

例说构造辅助图形解平面几何题

初中平面几何中 ,正方形与圆是比较完美的几何图形 ,它们具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形或圆 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文例谈构造正方形与圆帮助解题的思维策略 .一、构造辅助正方形构造辅助正方形一般是以题目中出现的直角为基础 .例 1　如图 1 .在等腰直角△ABC中 ,AB =1 ,∠A =90° ,点E为腰AC的中点 ,点F在底边上 ,且FE⊥BE ,求△CEF的面积 .解 :以等腰直角△ABC为基础 ,作正方形ABGC(如图 1 ) .延长EF交CG于H .因FE⊥BE ,易证Rt△AEB∽Rt…     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

一道竞赛试题的另证与推广

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题第四大题是这样的:如图1,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,其中∠BAC=∠DAE=90°,点M是线段BE的中点,求证:AM⊥DC.     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

巧用中点构图解题

<正>解答几何问题时,若充分利用某线段的中点,巧妙添加辅助线,就能对问题的解决起到画龙点睛的作用,请看例1如图1,△ABC中,D是BC的中点,E为AC上一点,BE交AD于P点,且EA=EP.求证:BP=CA.     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…