圆锥曲线中的一个面积关系——2009年高考理科数学(湖北卷)20题(Ⅱ)问的推广

在2009年高考数学试题中,出现一点延展性较强的好题,不但让人耳目一新,也让人苦苦追寻,这些好题给研究者提供了很多素材.这里,我们研究其中的一个. 题目(2009年湖北卷理科第20题) 过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上一点A(a,0)(a＞0)的直线与抛物线交于M、N两点,自M、N向直线:x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1.     

“无用之用”与“高效生成”

问题的提出 案例1 我在讲解圆锥曲线抛物线的提高课上,向学生展示过这样一道题目:抛物线y2=4x上有两点A,B分别在第一和第四象限,F是抛物线的焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线A0B部分上求一点P,使△ABP的面积最大,并求出最大值.     

一道高考试题的探究

2007年高考江苏卷第19题是一道有关抛物线的解析几何题:图1如图1,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q.(1)若OA·OB=2,求c的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.此题主要是考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系以及向量的数量积等知识,是一道容易上手却值得探究的好题.探究1 c=2是巧合吗?根据OA·OB=2,我们可以求出c=2.那么c=2是巧合吗?不妨设OA·OB=t,于是我们…     

海南省2008年中考数学科第24题质量分析报告

【题目】24.(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.     

一道高考题的推广

1 问题的提出 2009年湖北省高考理科第20题是这样一道题:过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1.     

一道抛物线定直线问题的推广

题目已知点A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限,直线l1,l2分别过点A、B且与抛物线C相切,点P为直线l1,l2的交点.（1）若直线AB过抛物线C的焦点F,求证：动点P在一条定直线上,并求此直线的方程;（2）设C、D分别为直线l1,l2与直线x=4的交点,求△PCD面积的最小值.这道题是2014年《福建高考“集结号”最后冲刺模拟卷》·数学（文史类）第三卷中的第22题,     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

几种解法 多种思考

<正>下面是一道题的几种解法,供同学们学习时参考.题目如图1,抛物线y=ax³/2-x-2的2图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.解法一构造函数法     

从一道高考题看抛物线的一条性质及应用

题目(2012年山东理第21题)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为34.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C     

在探究活动中感受数学美

一、背景分析2010年江苏数学高考18题第(3)问:在平面直角坐标系中,已知椭圆9/x~2+5/y~2=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,经过点T(9,m)的直线TA,TB与椭圆交于M,N两点,求证:直线MN必过.x轴上的一定点(其坐标与m无关).看到这道题,不由得联想起教材"选修2-1"第63页"思考与应用"中这样一题.设抛物线y~2=2px(p>0)的右焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//X轴,证明:直线AC经过原点O.两题都是研究直线恒过定点问题,这两题之间有什么本质联系吗?题目的背景是不是有什么相似之处呢?     

由一道全国高考题引起的思考与探究

(2006全国理2)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且(→AF)=λ(→FB)(λ＞0).过A、B两点允别作抛物线的切线,设其交点为M.证明(→FM)·(→AB)为定值. 一、初步探究 本题的M点坐标为(x1+x2/2,-1),说明M点都在直线y=-1上,而抛物线的准线恰好为直线y=-1,这是巧合还是必然?     

考点25 抛物线

1.(江苏卷,6)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是().(A)1176(B)1165(C)78(D)02.(全国卷,6)已知双曲线xa22-y2=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合,则该双曲线的离心率为().(A)23(B)23(C)26(D)2333.(重庆卷,16)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号).1菱形2有3条边相等的四边形3梯形4平行四边形5有一组对角相等的四边形第4题图4.(广东卷,17)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).()求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的…     

抛物线(有公共点的)两垂直弦的性质

主持人按　目前中学数学课堂上流行的教法是 :借助于现代化手段 ,题目一个接一个 ,一节课要讲1 0多乃至 2 0来个题目 ,所谓的高密度大容量 ,学生的头脑始终处在高速运转之中 ,应接不暇的自大有人在 .一些人相信这就是“高效率”;许多人则认为非如此训练不足以应付未来的大题量的考试 .本课的设计只环绕着一个中心来进行 ,步步诱导 ,层层深入 ,多角度多侧面地启发学生来进行探索 .由于问题集中 ,方法相近 ,一个问题的深入探讨 ,相当于一种强化巩固 ,也是教学的反馈 ,许多老师还是愿意经常上一点这样的课 .北京 2 2中的孙维刚老师就明确主张 :“题不在多而在精”;教学中“让学生真正做课堂的主人”;“正确对待做题 ,一题多解 ,多解归一 ,多题归一 .”(见香港李嘉诚先生创意推出的《知识改变命运》一书中对孙老师的推介 ) .孙老师的方向 ,是很值得学习与研究的 .这一课 ,我们来探讨如下一个例题 :“过抛物线 y2 =x的顶点 O作互相垂直的两弦 OA⊥ OB.求证 :直线 AB恒过一定点 .”教师提出的第一个问题 :关于这一定点的位置特征 ,你发现了什么没有 ?S1 :抛物线 y2 =x关于 x轴是对称的 ....     

一道高中数学联赛试题的一般性结论

2008年全国高中数学联赛第一试第15题[1]是: 　　题目如图1,P是抛物线y2=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值. 　　本文首先给出一个更为一般的结论,并对试题作出推广.……     

课本为基础 变式是灵魂——一道课本例题的变式应用

<正>对于教材基本题目的探索和应用对提高学生应用知识解决问题起到重要作用.下面就从一道课本问题的灵活应用谈谈它的探索过程.1.题目如图1,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF,BE与DF之间有怎样的关系?请     

例析求二次曲线弦长的方法

2005年全国高中数学联赛第一试第11题:若正方形ABCD的一条边在直线y=2x -17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为_____．该问题的关键是求解正方形的边长,因此,问题的实质是求解抛物线(二次曲线)的弦长．这样的问题是数学竞赛和高考的热点,本     

从一道高考题引出圆锥曲线的一个性质

题目（2010年高考大纲全国卷Ⅰ第21题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点K（-1,0）的直线l与C交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.（1）证明：点F在直线BD上;（2）设→FA·→FB=8/9,求△BDK的内切圆M的方程.看出点K恰是抛物线准线与x轴的交点,于是对第（1）问作一些探究.先将问题一般化,并给出有别于标准解答的几何证法.     

一道高考题引发的探究性学习

在高三复习过程中,笔者与学生完成了下题的证明:(2006年重庆卷文科第22题)如图,对每个正整数,n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(Sn,tn).     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

完善一道征展题的结论

中学数学2010年第5期新题征展栏目中,甘老师给出了这样一道开放题. 题目 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l,与抛物线交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,问你能发现那些结论? 此题是抛物线焦点弦问题,湖北、山东等数学高考题中均出现过以此为背景的解答题,事实上此问题在选择题和填空题上也频繁出现,所以我们很有必要将此问题加以完善,经过笔者研究推证得出另外几组结论,现将其汇总与老师和同学们共同分享.