有趣的“勾股数”

“勾三股四弦五”,每位学过几何的同学都知道.这三个数都是正整数,并且以它们的长可做为直角三角形的三条边(即3~2+4~2=5~2),因此人们称这三个数为勾股数,可记为(3,4,5). 我们知道的勾股数还有很多,如(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17)等.细心的同学会发现,在构成勾股数的三个数中,是三个连续自然数的似乎只有(3,4,5);还有没有其它连续的勾股数呢?每个自然数都可以找到其余的两个自然数和它构成勾股数吗?勾股数到底有哪些奇妙的性质呢?     

勾股数探秘

<正>一次回家作业中,需要使用勾股数.做完作业后,我就思考:勾股数有什么规律?它的公式是什么?于是我开始探索勾股数.勾股数,又名毕氏三元数,即能够构成直角三角形三条边的三个正整数.常见的勾股数有:3,4,5;     

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

怎样迅速找出勾股数

早在公元前一世纪前,我国就有一部古书——《周髀算经》。书中说,西周初年商高讲过“勾三股四弦五”,这说明我国很早就知道了勾股定理。勾股定理用式子表示即a~2 b~2=c~2。通常把a、b、c叫做一组勾股数。古希腊数学家刁番都曾以m 2mn~(1/2)、n 2mn~(1/2)、m n 2mn~(1/2)来找勾股数(其中m、n为正整数,2mn是一个完全平方数)。我国清代数学家罗士琳也提出m~2-n~2、2mn、m~2 n~2是一组勾股数(m、n为正整数,且m>n)。我对一些勾股数组观察后,初步归纳出以正整数a(a≥3)来寻找b、c的方法:     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

勾股数组的单参数表示

我们都知道,勾股数组{a,b,c}的双参数表示是本文给出勾股数组的单参数表示也是求勾股数的一个具体方法。定理设{a,b,c}是个勾股数组,即     

一个奇妙的勾股数组构成规律

<正>1勾股定理的来历和常见的勾股数组构成规律勾股定理被称作"几何学的基石",在几何学乃至整个科学领域都有着重要意义.关于勾股定理的最早记载出现在中国古代的数学著作?周髀算经?中,里面提到了勾三股四弦五的说法.此外,在?九章算术?中也有勾股定理公式化的论述,但没有证明过程.三国时期,数学家赵爽作?周髀算经注?,列出了?勾股圆方图?和?勾股圆方图注?,对勾股定理给出了严格而又巧妙的证明.在西方,最早对勾股定理给出证明的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和,为了纪念他的贡献,勾股定理又被称作"毕达哥拉斯定理".     

勾股三角形的内(傍)切圆半径的性质(待续)

边可以用然数表示的直角三角形叫做勾股三角形。边为x、y、z的勾股三角形记作(x,y,z)。其中x、y是直角边,较短的称为勾,较长的称为股;z是斜边,称为弦。今后亦可将符号(x,y,z)叫做勾股数组。x,y,z分别叫做勾数,股数,弦数。三角形(x,y,z)的边满足方程 x~2 y~2=z~2 (1)相反地,如果自然数x,y、z满足方程(1),那末从几何学中知道,边为x、y、Z的三角形是直角三角形。因此,研究勾股三角形可以归结为研究方程(1)的自然数解。故称方程(1)为勾股方程。 1.存在无数多个勾股三角形。如果把给定的勾股三角形的各边同乘以一个自然数,可得到与已知三角形相似的另一个     

求一类勾股数组的公式

定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2=     

我发现了勾股数的规律

一、问题的提出勾股定理我很早就知道,不过只是很肤浅的,只能利用它求直角三角形的边而已．有一天上课,老师提到勾股数,我不清楚这是什么?老师说:符合勾股方程的一组整数解,称     

用勾股定理切拼正方形

切拼正方形是中考的一种题型,同学们在做这种题时,常常感到无从下手.为了帮助同学们做好这种题,下面介绍一种方法——勾股法来解这种题.勾股法就是利用勾股定理解题.勾股定理同学们都比较熟悉.在一个Rt△ABC中,a,b     

有趣的“勾股弦数”

“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2=     

以勾股图为模型的中考试题及其变式探究

勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理,它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值.验证勾股定理的方法非常多,最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图.在近几年的中考中,以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜.笔者从近几年的中考试题中选取     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

直角三角形中的整数问题

古老的勾股定理与传统的整数结合在一起,会产生许多有趣的问题,现举几例加以说明.为方便起见,我们记直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c. 一、勾股三角形的问题三边长都是整数的直角三角形叫做勾股三角形. 例1 求证:勾股三角形中必有一条直     

含两个相邻整数的勾股数

给出含两个相邻正整数的一组勾股数的生成数对的分类,给出了生成数对数列的通项公式.     

第一次数学危机

一个正方形的边长是 1,对角线长就是2 .大家都明白 2是一个无理数 ,可在历史上古希腊著名数学家毕达哥拉斯却否认无理数的存在 ,从而引发了数学的第一次危机 .公元前 6世纪 ,古希腊有个毕达哥拉斯学派 ,为首的就是毕达哥拉斯 .他们认为世界上只存在着整数或整数之比 ,除此之外不会有别的数了 .后来毕老在铺地的花砖上发现了毕达哥拉斯定理 (勾股定理 ) ,为了摸清勾股弦数的底子 ,毕老把筛选三元数 (勾股弦数组 )的任务交给了他的学生希帕萨斯 .希帕萨斯先研究了正五边形 ,(发现其对角线l和边a之比是不能用整数之比来表示的 )接着他又研究了…     

找勾股数的一种简单方法

作为《中学生数学》的读者,我们觉得她对我们学习数学有很大的帮助,有很多内容值得一读. 读了《中学生数学》2001年1月下第37页中的“构成勾股数的简单方法”,写得很好,但我们发现还有比这种更简单的方法.     

巧找勾股数

《中学生数学》2002年12月下期第31页登载的《找勾股数的一种简单方法》,读后受益匪浅.里面谈到了找勾股数的简单方法.当然文中只给了一条直角边为奇数,找出另外两条边的方法.其实,一条直角边为偶数,找出它的勾股数也是有规律可循的.     

勾股数组知多少？

勾股数组知多少？李建章（陕西华阴黄河工程机械集团中学７１４２０２）我们知道，满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２的自然数ａ，ｂ，ｃ称为匈股弦数组．那么，以２１为匈数或股数的勾股弦数组共有多少组呢？本文就给出解决这类问题的一般方法．定理若ｘ２可分解为（其中＝１，２，…...