变换命题结论形式证题

有一类平几证题的部分隐含条件存在于命题的目标中,这类问题待证结论往往较复杂,难度较大,不妨结合已知图形特征,设法将命题待证结论变换为便于探求其本质的另一形式,使命题的目标明朗化和简化,从而化难为易地解决问题。这是一个重要的思考方法与证题技巧。如何进行变换?这要根据不同特征作不同的分析,常用的方法有如下几种: 一、迁移变换即根据已知图形特点,恰当调整待证结论形式的结构,使之变为便于推证或熟知的特定模式。例1 如图1,△ABC中CA=CB,以AB     

一道例题,一个结论,一类赛题

课本中有不少例题实际上是具有一般性结论的命题,在解得问题答案后,再将问题进行抽象、概括、归纳、推广、总结成定理或规律性的结论,并加以灵活应用,是一件非常有益的事情.下面拟就北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级下册129页的例题为例加以说明,供参考赏析.     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

解一赛题 得一结论

2001年全国初中数学联合竞赛试题中有一题: 若a·b≠1,且有5a2+2001a+9=0 ①及9b2+2001b+5=0 ②则a/b的值是( ).     

一题三百六十变

在数学解题教学中,引导学生一题多解,一题多变、一题多思,是培养学生思维能力、发展智力的有效途径之一。因此,教师有必要研究习题的编造,进行一题多变的探讨。笔者曾对一个常见习题进行一题多变的研究,构造出四百多个数学题,这些题涉及中学代数、几何、三角等方面的基础知识和解题的技能技巧。现将其多变的主要过程简述如下。命题一设一元二次方程 (b-c)x~2+(c-a)x+(a-b)=0 (1)有等根,求证a、b、c成等差数列。证明:因为方程(1)的系数和为零,即 (b-c)+(c-a)+(a-b)=0 ∴方程(1)的等根是1     

一题九变,变变不离其宗

这是《平面几何》第一册P135的第10题: 如图:点C为线段AB上一点,ΔACM,ΔBCN是等边三角形。求证:AN=BM。证明ΔNCA和ΔBCM中,     

K变换和它的几个结论

Ｋ变换和它的几个结论深圳市葵涌中学周之夫［美］米歇尔·埃克在《数学黑洞》一文中说：“取任何一个四位数（４位数字均为同一个数的除外），将组成该数的４个数字重新组合，形成可能的最大数和最小数，再将两者之间的差值求出来；对此差值重复同样的过程……最后总是到...     

倡导“一题多变”,实现“一题多得”

数学解题与研究一直是数学教学与学习过程中的一个重要研究课题,也是提升能力与开拓思维的基本场所.基于一道解三角形问题实例,合理分析与研究,从不同层面加以巧妙探究,合理变式拓展,实现问题的“一题多变”,达到问题的“一题多得”,引领并指导数学教学与解题研究.     

挖掘已知条件,实现一题多解

<正>一题多解对拓展中学生的思维,培养学生的发散思维能力和创新能力具有重要作用.下面就从一道习题的多种解法来说说一题多解的数学思维过程.例如图1,△ABC中,AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于D,交BC于E,过点D作DF⊥BC,垂足为F,连BD、OE交于点G.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若tan∠A=2,求EG/GO的值.第一问只需要连接OD,证明OD⊥DF     

“一题四多” 变式推进 培养素养

新课标背景下,如何呼应“双减”政策,提升课堂教学的有效性,培养学生的数学核心素养,值得思考与探究.基于课标,基于教材,理解学生,理解数学,真正做到减负提质是教师永恒的追求.     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

变式,探究题目变化的内在规律

<正>每年各地的中考题都会出现许多新的题型,令许多同学无从下手,其实,许多新题目绝不是无源之水,无本之木.它们的根在课本和课堂上,这就要求我们要掌握题目的变化规律,提高对题目的识别能力.一般题目的变形有:一题多问、一题多解、一题多变等等.现以一题多变为例,从一道试题入手,试着从三个不同的方面变化出一些新题目,供读者同学们参考.     

一题多变求“心”题

在数学教学中,若能经常把一道题的条件或问题进行合理改变,不但能激发学生的学习兴趣,调动其主观能动性,积极思考,而且还能培养学生的思维能力.设计有关三角形四心(重心、垂心、内心、外心)的向量变式训练题,能使我们对向量     

引申例题 一题十变

人教版普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）中,有这样一道例题：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．     

一题多变求“心”题

在数学教学中,若能经常把一道题的条件或问题进行合理改变,不但能激发学生的学习兴趣,调动其主观能动性,积极思考,而且还能培养学生的思维能力．设计有关三角形四“心”（重心、垂心、内心、外心）的向量变式训练题,能使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更深刻的认识．     

善析条件结论，实现一题多解——以一道几何证明题为例

几何证明在中学数学教学中有着重要的作用,同时也是考卷中的重点考查部分.学生面对几何证明题一筹莫展的重要原因之一是缺乏分析能力,不善于运用数学思维分析题目条件和结论,从而失去提升数学解题能力的机会.在教学中,教师应引导学生用所学知识分析思考,实现知识间的融会贯通,同时引导学生在不同视角下对题目进行多角度分析思考,实现一题多解.     

对一题的变式探究

题目 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=l（a〉0,b〉0）的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且OA·OB=0,e是双曲线的离心率,直线z的倾斜角为θ（θ∈（0,π））,试探究θ与e之间的关系．     

一题多证——一道简单题目的思路拓展

初三复习刚刚开始,老师给我们出了一道很简单的证明题,并说明会证明这道题不是目的目的是要我们开动脑筋,多考虑几种方法,并能进行知识疏理,进而分类、归纳,提高复习效果.题目呈现已知:(如图)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.     

对一题的变式探究

题目设直线l经过双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且(?)·(?)=0,e是双曲线的离心率,直线l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),试探究θ与e之间的关系.