阿波罗尼斯圆与数学巨匠阿波罗尼斯

1 阿波罗尼斯圆 《平面解析几何》(必修)课本(P68)上,有这样的一个例题: 已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.是:以C(-1,0)为圆心,以 r=2为半径的圆,即(x 1)2 y2=4,如图1. 再看一例: 设复数z=x     

优美的圆——阿波罗尼斯圆

高三数学二轮复习的目标是强化高中数学主干知识,优化解题方法,形成良好的知识网络.二轮复习的目标决定二轮复习与一轮复习有很大的不同,需要通过专题复习对主干知识和主要方法进行突破.笔者所教的是文科班,一段时间复习下来,深切的感觉到二轮复习的选题不在多,而在精,必要时可根据学生掌握的情况进行微专题复习,可能会取得不错的效果.     

再谈阿波罗尼斯圆

<正>阿波罗尼斯圆是近年高考的一个热点,已有老师运用代数方法对该圆作了有关研究.现在我们从几何的角度,对该圆及它的几个要素之间的关系作一探讨,供同学们参考.若一个动点到两个定点的距离之比是一个不等于1的常数,则这个动点的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.几何证明如下:     

阿波罗尼斯圆的研究与思考

<正>人教A版选择性必修一89页的拓广探索部分有这样一个问题:已知动点M (x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为■,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状．本题作为一道课后习题并不是很难,利用求轨迹的一般方法便可顺利解决．     

阿波罗尼斯圆与高考试题

在2013年的高考数学江苏卷中,第17题(解答题的第三题)应该是一个中低档题,涉及参数方程、阿波罗尼斯圆等数学知识,需要运用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.本题满分14分,但是平均分只有6分多.不少考生在第二问中由于不能看清问题的本质,缺乏灵活变通的基本素质导致失分.     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用几何画板探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

“阿波罗尼斯圆”的应用

阅读本文,一定要拿一张纸和笔,仔细的演算,并且要画草图,结合图形,细心体会演算中的细节,才会有所收益.     

巧用阿波罗尼斯圆妙求最值

<正>例(2008年高考江苏卷13)若AB=2,AC=2^(1/2)BC,则S_(△ABC)的最大值是_____.解三角形是高考必考内容,重点为正、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主,难度不大;解答题主要考查与函数结合,实现边角互化,或用以解决实际问题,难度中档,侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.     

从江苏08年高考13题的解法看"阿波罗尼斯圆"的应用

1 提出问题 问题1 2008年高考江苏卷第13题:若AB=2,AC=根号2BC,则S△ABC的最大值是______. 2 教材原理再现及推广 苏教版必修2教材习题2.2(1)题10题:     

以“阿波罗尼斯圆”为背景的考题探究

一、问题引入
　　（人教A版必修2第131页练习B第3题）已知一曲线是与两个定点O（0,0）、A（3,0）的距离的比为12的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。     

由“阿波罗尼斯圆”管见高三变式教学

高三数学复习对师生来说,时间紧、任务重,如何减负增效一直是一线教师孜孜以求的问题.笔者以为,采用变式教学,从不同的角度加深对问题的理解,把握解题规律,提高解题质量,不失为一种有效的尝试.著名数学教育学家张奠宙教授指出:变式教学已为我国各科教学所采用,但以数学教学中运用更     

从两道与阿波罗尼斯圆有关的试题谈起

<正>众所周知,平面内到两定点的距离之比为一个常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,并且称为阿波罗尼斯圆.自然的我们也许会思考:如果给定具体的一个圆,那么能否找到两个定点及相应的常数λ?这是一个有趣的问题.笔者将结合最近教学中碰到的两道与阿波罗尼斯圆有关的试题,尝试对该问题做部分解答.     

利用阿波罗尼斯圆解决“AP+nBP”型最值问题

<正>我们知道,平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0.且λ≠1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知两个定点A,A′,可以先在直线AA′上找到两点M、N,使得MA/MA′=NA/NA′=λ,然后作以MN为直径的圆,即得对应的阿氏圆,如图1,当λ>1时,点A在圆外,点A′在圆内;当0<λ<1时,点A在圆内,点A′在圆内.     

立足课堂培养学生数学核心素养——“阿波罗尼斯圆”教学实录与反思

数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养.《全日制义务教育数学课程标准》(2011)(以下简称《标准》)明确提出10个核心素养,即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.为进一步跟进和落实对数学学科核心素养、教师核心素养、学生核心素养的研究,苏州市教科院于2016年6月15日在苏州实验中学举行“基于核心素养的高中数学教学研究与实践”的研讨活动.笔者有幸在本次活动中开设了一节公开课“阿波罗尼斯圆”,在积极准备这节课的过程中产生了一些教学感悟,也从中体会了如何尝试去为“理解”而教,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.     

阿波罗尼斯圆的“前世今生”——对课本例习题的深度探究与学习

阿波罗尼斯圆在2019年人教A版课本中,是从2009年人教A版课本在信息技术应用和复习参考题的位置移到了课本习题的位置,关注到这一改变,本文从几何代数的角度出发对其进行深度探究与学习,希望能够起到抛砖引玉的作用.     

重视高三复习中基本数学模型的性质探究 ——“阿波罗尼斯圆”教学实录及反思

新课程把探究能力放在了突出的位置.在新课程背景下的高考命题中,探究性问题已成为改革的亮点.如何培养和提升学生的探究能力,是高三复习需要重点关注的.笔者在2016届高三复习中,曾以“阿波罗尼斯圆”为载体,引导学生探究,对此产生一些感悟.本节课的授课时间为80分钟(两节课连上),授课班级为南京市某重点高中高三理科班.学生数学基础好,思维灵活,有较强的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力(在2016年江苏高考中,该班高考数学平均分为160分).     

学会数学思考 学会怎样解题——以“阿波罗尼斯圆的几何性质探究”为例

笔者以“阿波罗尼斯圆的几何性质”教学为例,呈现将“教学生学会思考”的原理应用于数学教学的过程.通过一题多解,从不同的视角研究问题,提升学生的发散性思维能力,体现数学知识之间较强的逻辑性和系统性.在解题过程中培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析素养,最终实现学生解题能力和数学素养的可持续发展.     

1956年高等学校入学考試数学試题第Ⅴ题的研究

1956年高等学校入学考試中,报考理工科学生的数学成績一般說来是不够高的,其中尤以第五題做錯的很多。許多考生都反映說“这題太难,超出教材范圍”?F在就这題的解法,进行分析研究。原題是这样的:“若三角形的三个角成等差級数,則其中一定有一个角是60°。若这样的三角形的三边又成等比級数,则     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.