Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context

We consider several aspects of the role and evaluation of the four-sexagesimal-place approximation to on the well-known Old Babylonian tablet YBC 7289. By referring to what is known about OB school texts, we show that this text is most probably a school exercise by a trainee scribe who got the approximation from a coefficient list. These coefficient lists are briefly described, with their use in geometrical problems. We consider other texts involving square roots and derive an algorithm for evaluating them, which complies with all known OB examples, from a simple geometrical construction of the type that seems to underlie many other OB procedures.Copyright 1998 Academic Press.Nous considérons plusieurs aspects du rôle et de l'évaluation de l'approximation à quatre places sexagésimales de sur cette tablette paléo-babylonienne. En nous référant à l'état des connaissances quant aux textes scolaires paléo-babyloniens, nous montrons comment ce texte est très probablement un exercice scolaire exécuté par un apprenti scribe qui a obtenu l'approximation à partir d'une liste de coéfficients. Nous décrivons en bref ces listes de coéfficients, ainsi que leur utilisation dans les problèmes de géométrie. Nous considérons d'autres textes traitant de racines carrées , et pour les évaluer nous dérivons un algorithme qui est en accord avec tous les exemples paléo-babyloniens connus; ceci à partir d'une construction géométrique simple du type qui semble être charactéristique de beaucoup d'autres procédures paléo-babyloniennes.Copyright 1998 Academic Press.MSC 1991 subject classifications: 01A17; 11-03     

Les débuts de l'histoire des mathématiques sur les scènes internationales et le cas de l'entreprise encyclopédique de Felix Klein et Jules Molk

At the beginning of the 20th century, the history of mathematics first appeared on different international scenes as a result of different initiatives of mathematicians, historians, and philosophers. By studying the way in which historians of mathematics took advantage of these opportunities, we have sought the contours, the lines of force, and the equilibria of this process of the internationalization of the history of mathematics on an institutional as well as intellectual plane.This search was focused through the study of the German- and French-language editions of the Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, which is one of the most remarkable examples dating from this period of an international collaboration for mathematics and its history. Copyright 1999 Academic Press.Au début du vingtième siècle l'histoire des mathématiques fait ses débuts sur différentes scènes internationales à l'occasion de différentes initiatives de mathématiciens, d'historiens, de philosophes. En étudiant la façon dont les historiens des mathématiques se saisirent de ces opportunités, nous avons cherché à comprendre les contours, les lignes de force, les équilibres de ce processus d'internationalisation de l'histoire des mathématiques, tant sur le plan institutionnel qu'intellectuel.Cette enquête a été précisée par l'étude des éditions en langues allemande et française de l'Encyklopä-die der mathematischen Wissenschaften qui est un des exemples les plus marquant de cette période d'une collaboration internationale, tant pour les mathématiques que leur histoire. Copyright 1999 Academic Press.MSC subject classifications: 01A60, 01A74.     

A Contextualized Historical Analysis of the Kuhn–Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II

When Kuhn and Tucker proved the Kuhn–Tucker theorem in 1950 they launched the theory of nonlinear programming. However, in a sense this theorem had been proven already: In 1939 by W. Karush in a master's thesis, which was unpublished; in 1948 by F. John in a paper that was at first rejected by the Duke Mathematical Journal; and possibly earlier by Ostrogradsky and Farkas. The questions of whether the Kuhn-Tucker theorem can be seen as a multiple discovery and why the different occurences of the theorem were so differently received by the mathematical communities are discussed on the basis of a contextualized historical analysis of these works. The significance of the contexts both mathematically and socially for these questions is discussed, including the role played by the military in the shape of Office of Naval Research (ONR) and operations research (OR). Copyright 2000 Academic Press.En démontrant, en 1950, le théorème qui porte aujourd'hui leur nom, Kuhn et Tucker ont donné naissance à la théorie de la programmation non-linéaire. Cependant, en un sens, ce théorème avait été démontré auparavant, d'abord par W. Karush en 1939 dans un mémoire de maîtrise inédit, par la suite par F. John en 1948 dans un article qui avait d'abord été rejeté par le Duke Mathematical Journal, et peut-être même plus tôt par Ostrogradsky et aussi par Farkas. Le présent article cherche à élucider deux questions: Peut-on considérer le théorème Kuhn–Tucker comme un exemple de découverte multiple? Et pourquoi le théorème a-t-il été reçu si différemment dans les diverses communautés mathématiques? Notre discussion se base sur une analyse historique contextuelle des différents ouvrages. Nous examinons ici l'importance du contexte, tant du point de vue des mathématiques que du point de vue social, y compris le rôle joué par le secteur militaire dans le cadre de l'Office of Naval Research et de la recherche opérationnelle. Copyright 2000 Academic Press.MSC 1991 subject classification: 01A60; 49-03; 52-03; 90-03; 90C30.     

Problèmes linéaires dans le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans et Mathieu Préhoude (1471): Une approche nouvelle basée sur des sources proches du Liber abbaci de Léonard de Pise

The Compendy de la praticque des nombres (1471) is one of a number of commercial arithmetics produced in southern France during the medieval period. Its interest and originality rest in its treatment of problem-solving. The author of the text limited his treatment to an in-depth analysis of only a few types of problems, not treating particular cases but rather emphasizing general methods. The sources from which he drew were very close to the Liber abbaci of Leonardo Fibonacci and many of them were new to the southern French arithmetic tradition. Thus, the Compendy sheds new light on the transmission of arithmetic thought into Europe. Copyright 2000 Academic Press.Le Compendy de la praticque des nombres (1471) est un traité qui appartient au groupe des arithmétiques commerciales du Sud de la France. L'intérêt et l'originalité du texte résident dans la partie consacrée à la résolution de problèmes. L'auteur sélectionne quelques types de problèmes seulement, auxquels il consacre une longue étude, délaissant les cas particuliers pour privilégier les méthodes. Ce faisant, il utilise de nouvelles sources, proches du “Liber abbaci” de Léonard de Pise, étrangères aux autres arithmétiques françaises de la même famille. Le Compendy nous apporte ainsi un éclairage nouveau sur la transmission de l'algorisme. Copyright 2000 Academic Press.MSC subject classifications: 01A35; 01A40.     

Algebras, Projective Geometry, Mathematical Logic, and Constructing the World: Intersections in the Philosophy of Mathematics of A. N. Whitehead

A. N. Whitehead (1861–1947) contributed notably to the foundations of pure and applied mathematics, especially from the late 1890s to the mid 1920s. An algebraist by mathematical tendency, he surveyed several algebras in his book Universal Algebra (1898). Then in the 1900s he joined Bertrand Russell in an attempt to ground many parts of mathematics in the newly developing mathematical logic. In this connection he published in 1906 a long paper on geometry, space and time, and matter. The main outcome of the collaboration was a three-volume work, Principia Mathematica (1910–1913): he was supposed to write a fourth volume on parts of geometries, but he abandoned it after much of it was done. By then his interests had switched to educational issues, and especially to space and time and relativity theory, where his earlier dependence upon logic was extended to an ontology of events and to a general notion of “process,” especially in human experience. These innovations led to somewhat revised conceptions of logic and of the philosophy of mathematics. © 2002 Elsevier Science (USA).A. N. Whitehead (1861–1947) contribuiu de forma marcante para os Fundamentos da Matemática Pura e Aplicada, especialmente entre o fim da década de 1890 e meados da década de 1920. Sendo um algebrista na sua vertente matemática, fez um levantamento de diversas álgebras no seu livro Universal Algebra (1898). Pouco depois de 1900 juntou-se a Bertrand Russell numa tentativa para basear várias partes da matemática sobre a lógica matemática, que se começava então a desenvolver. Nesse âmbito publicou em 1906 um longo artigo sobre geometria, espaço e tempo, e matéria. O principal resultado da colaboração foi um trabalho em três volumes, Principia Mathematica (1910–1913): estava previsto que Whitehead escrevesse um quarto volume sobre aspectos das geometrias, mas abandonou-o depois de uma boa parte já estar escrita. Por essa altura os seus interesses tinham-se voltado para questões educacionais; especialmente para o espaço e o tempo e para a teoria da relatividade, onde a sua anterior dependência da lógica se estendeu a uma ontologia de acontecimentos e a uma noção geral de “processo” especialmente na experiência humana. Estas inovações levaram a concepções um pouco revistas da lógica e da filosofia da matemática. © 2002 Elsevier Science (USA).MSC 1991 subject classifications: 00A30; 01A60; 03-03; 03A05.     

Comparaison des deux composantes d''un subordinateur bivarié, puis étude de l''enveloppe supérieure d''un processus de Lévy

Soit (Y,Z) un subordinateur bivarié. Nous donnons une condition suffisante pour que Y_t/Z_t converge vers zéro quand t tend vers 0 ou +∞. Ceci généralise partiellement des résultats de Bertoin et de Kesten–Erickson.Soit X un processus de Lévy et S_t=sup{X_s: st}. Soit f une fonction sous-additive. En appliquant le résultat précédent au subordinateur bivarié d'échelle, nous donnons des conditions nécéssaires et suffisantes pour que et égalent 0 ou +∞.Let (Y,Z) be a bivariate subordinator. Generalizing theorems of Bertoin and Kesten–Erickson, we give a sufficient condition for Y_t/Z_t to converge to 0 when t tends either to 0 or +∞.Let X be a Lévy process. Denote by S_t=sup{X_s: st} and let f be any sub-additive function. Applying our first result to the bivariate ladder process, we give necessary and sufficient conditions for and to be either 0 or +∞.     

The Influence of Positivism on the Teaching of Mathematics in Brazil: 1870–1930

This article describes the strong influence of positivism on the teaching of mathematics in Brazil. The dissemination of positivism occurred in a very intensive way from 1870 to 1930, due mainly to the strong leadership of teachers at the military and engineering academies. From its firmly entrenched position in these institutions, the positivistic ideology affected the social, political, pedagogical, and ideological life in Brazil. Here, I identify the main representatives of positivism, who focused their research on Auguste Comte's concept of mathematics. They oriented curricula and programs according to Comte's principles as well as produced mathematics with a distinct positivist bent. Although a marked decline occurred after 1930, the positivistic phenomenon was not exhausted as a research topic, and, indeed, it still has not been entirely extinguished in Brazilian life. Copyright 1999 Academic Press.Este trabalho descreve a forte influência do positivismo no ensino da Matemática no Brasil. A difusão do positivismo aconteceu de forma muita intensa entre 1870 e 1930, devido principalmente a atuação dos docentes-militares, que mantinham uma liderança forte nas academias militares e de engenharia. Nestas instituições a ideologia positivista encontrou uma forte sustentação e pode, então, ter efeitos na vida social, polı́tica, pedagógica e ideológica brasileira. Identificamos os principais representantes do positivismo no cı́rculo acadêmico. Detectamos as primeiras manifestações da concepção de Matemática de Auguste Comte em livros-texto. Identificamos a orientação de currı́culos e programas segundo os preceitos de Comte e analisamos principalmente as obras de Matemática de autores positivistas. O declı́nio do positivismos depois de 1930 também é registrado. O fenômeno positivismo não foi esgotado como tema de pesquisa e tudo indica que ainda não se extinguiu completamente da vida brasileira. Copyright 1999 Academic Press.MSC 1991 subject classifications: 01A55, 01A70.     

On Extremal Permutations AvoidingωN = NN − 1 . . . 1

Dedicated to the memory of Marcel–Paul Schützenberger Cet article présente une étude des permutations qui évitent le motif de la permutation maximaleω_N = NN − 1 . . . 1. Après avoir donné les définitions classiques, nous montrons que l’ensemble de ces permutations est un idéal pour l’ordre de Bruhat faible et faisons l’étude de ses éléments maximaux. Nous exhibons alors un algorithme pour calculer ces éléments et nous montrons que ceux-ci peuvent être obtenus à partir d’un automate. Nous terminons en donnant des estimations asymptotiques de leur nombre. This paper presents a study of permutations avoiding the patternω_N = NN − 1 . . . 1. After recalling the basic definitions, we prove that this set of permutations is an ideal for the weak Bruhat order and begin the study of its maximal elements. We then present an algorithm that generates these elements and find out that they can be obtained from an automaton. Finally, we give some asymptotics about their number.     

Mathematics for Independence: From Spanish Liberal Exile to the Young American Republics

This paper studies one period in the history of mathematical relationships between Spain and Latin America, when right after the first liberating movements at the beginning of the 19th century, the Spanish-exiled liberals in London produced a peculiar kind of mathematical textbook for the new republics, the catechisms. Copyright 1999 Academic Press.Este trabajo estudia un periodo de la historia de los intercambios matemáticos entre España y Latinoamérica inmediatamente posterior a los movimientos liberadores de principios del siglo XIX, cuando los liberales españoles exiliados en Londres produjeron un tipo muy peculiar de textos matemáticos para las nuevas repúblicas americanas, los catecismos. Copyright 1999 Academic Press.AMS 1991 subject classifications: 00A05, 01A55, 01A80.     

Leibniz et le problème des partis. Quelques papiers inédits

Depuis son voyage à Paris, en 1672, Leibniz se montre intéressé à l'aspect mathématique de la théorie de la probabilité. En automme 1672, il fait la connaissance de Huygens, qui va l'initier en Mathématiques, rencontre Malebranche et Arnauld, et peut examiner, en 1673, quelques-uns des manuscrits de Pascal. De retour à Hanovre, il essaye de faire ses propres calculs. Sont connus déià les manuscrits “Sur le calcul des partis” du 5 janvier 1676 et “De incerti æstimatione,” de septembre 1678, commentés entre autres par K.-R. Biermann. Ici on va commenter un nouveau manuscrit, de 1686, qui résout le fameux problème de Bernoulli sur le sort de deux joueurs et qui est resté inédit jusqu'ici.     

Blue Sky and Hot Piles: The Evolution of Radiative Transfer Theory from Atmospheres to Nuclear Reactors

Radiative transfer theory has mirrored many of the trends in the development of applied mathematics during the past century. It began with the development of the phenomenological equation of transfer at the start of the century, designed to treat the passage of light through foggy opaque atmospheres. By the mid-1940s, the theory provided detailed modeling of stellar and planetary atmospheres and subsequently transformed into the remote sensing problem of remote diagnoses of physical conditions and abundances in such environments. During the late 1940s, the need to treat neutron transfer in complex geometries led to an interest in applying these methods to nuclear reactors, using methods of invariant imbedding. Monte Carlo simulations, and integral equations, all areas of continuing study. The formative period, mainly analytic in thrust, ended by the mid-1960s with the comprehensive treatises by Chandrasekhar, Ambartsumian, Kourganoff, Busbridge, Sobolev, and Davison and the 11th AMS Applied Mathematics Symposium on nuclear reactors. Invariant imbedding and doubling methods have been widely developed for scattering problems, mainly in planetary atmospheres and nebular transfer, while improvements in computational methods over the past 30 years have introduced advances in multidimensional, multigroup transfer codes for neutron physics (Boltzmann equation solvers), neutrinos, and significant advances in radiative transfer and the growth of the field of radiation hydrodynamics. © 2002 Elsevier Science (USA).Die Theorie des Strahlungstransport reflektiert viele der Strömungen der angewandten Mathematik des letzten Jahrhunderts wieder. Es begann am Anfang des 20sten Jahrhunderts mit der Entwicklung der phänomenologischen Transportgleichung, die darauf abzielte den Durchgang von Licht duch eine nebelig undurchlässige Atmosphäre zu beschreiben. Mitte der 1940er Jahre erlaubte die Theorie detailliertes modellieren sowohl von Sternatmosphären als auch von planetaren Atmosphären, und entwickelte sich in der Folge in ein diagnostisches Werkzeug das es ermöglichte physikalische Bedingungen und Elementeverteilungen in solchen Situationen zu analysieren. Gegen Ende der 1940er erweckte die Notwendigkeit Neutronentransport in komplizierten Geometrien zu behandeln Interesse an der Anwendung dieser Methoden in Kernreaktoren, insbesondere mittels der Techniken der invarianten Einbettung. Monte Carlo Simulationen und Integralgleichungen, allesamt Gebiete denen fortwährende Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Die formgebende Periode, die hauptsächlich analytischer Natur war, ging Mitte der 1960er zu Ende, einerseits mit den umfassenden Monographien von Chandrasekar, Ambartsumian, Kourganoff, Busbridge, Sobolev, und Davison, und andererseits mit dem 11ten AMS Symposium über Angewandte Mathematik im Kontext von Kernreaktoren. Sowohl Methoden der invarianten Einbettung als auch Verdopplungsmethoden wurden weiter entwickelt, insbesondere für Streuprobleme hauptsächlich in Planetenatmosphären und Transport in Nebeln, während Verbesserungen in numerischen Methoden in den letzten 30 Jahren nicht nur zu Fortschritten in höherdimensionalen, multigruppen Transportprogrammen für Neutronenphysik (Boltzmann Gleichung) und Neutrinos geführt haben, sondern auch zu entscheidendem Fortschritt beim Strahlungstransportproblem und zur Entwicklung des Feldes der Strahlungshydrodynamik. © 2002 Elsevier Science (USA).MSC 1991 subject classifications: 01A60; 80A20; 85-03; 85A25.     

The Missing Problems of Gersonides—A Critical Edition, II

Gersonides' Maaseh Hoshev (The Art of Calculation) is a major work known for its early use of rigorous combinatorial proofs and mathematical induction. There is a large section of problems at the end of the book, with the theme of proportions, which until now remained unpublished. I present a critical edition of this material. I also uncover a previously unknown second edition of Maaseh Hoshev. The material is appropriate for creative pedagogy and provides economic details of the author's culture and environs. A previous article presented the first, 15 problems and this article presents the rest. Copyright 2000 Academic Press.Le Maase Hoshev (L'Art du Calcul) de Gersonide est un ouvrage majeur connu pour son usage précoce de preuves combinatoires rigoreuses et de l'induction mathématique. La fin de l'ouvrage comporte une section importante consacrée a une série de trente problèmes sur le thème des proportions qui était restée inédite jusqu'à ce jour et dont je présente pour la première fois une édition critique. Je révèle également l'éxistence d'une séconde édition de Maase Hoshev. Le matériau peut servir de base à des projets de pédagogie créative et offre des détails sur la culture et l'environnement de l'auteur. Cet article fait suite a une première étude qui présentait les quinze premiers problèmes de Maase Hoshev et en présente les quinze autres.     

The “Error” in the Indian “Taylor Series Approximation” to the Sine

It has been repeatedly noted, but not discussed in detail, that certain so-called “third-order Taylor series approximations” found in the school of the medieval Keralese mathematician M dhava are inaccurate. That is, these formulas, unlike the other series expansions brilliantly developed by M dhava and his followers, do not correspond exactly to the terms of the power series subsequently discovered in Europe, by whose name they are generally known. We discuss a Sanskrit commentary on these rules that suggests a possible derivation explaining this discrepancy, and in the process re-emphasize that the Keralese work on such series was rooted in geometric approximation rather than in analysis per se. © 2001 Elsevier Science (USA).Es ist mehrfach festgestellt bisher aber nicht ausführlich diskutiert worden, daß einige sogenannte Taylor-reihennäherungswerte dritter Ordnung, die in der mittelalterlichen Schule keralesischen M dhava gefunden werden, ungenau sind. Das heißt, diesc Formeln sind den Termen der Potenzreihe, die später in Europa entwickelt wurde und unter dem Namen Taylorreihe bekannt ist, nicht äquivalent, im Gegensatz zu den anderen Entwicklungen von Reihen, die glänzend von M dhava und seinen Nachfolgern entwickelt werden. Wir behandeln einen Sanskritkommentar zu den Regeln, der eine mögliche Herleitung suggeriert, die diese Diskrepanz erklärt. Dabei betonen wir nochmals, daß die keralesische Arbeit über solche Reihen eher in geometrischen Näherungen als in der Analysis an sich ihre Wurzeln hat. © 2001 Elsevier Science (USA).MSC subject classification: 01A32.     

Mathematics in the Metropolis: A Survey of Victorian London

This paper surveys the teaching of university-level mathematics in various London institutions during the reign of Queen Victoria. It highlights some of the famous mathematicians who were involved for many years as teachers of this mathematics, including Augustus De Morgan, James Joseph Sylvester, and Karl Pearson. The paper also investigates the wide variety of teaching establishments, including mainly academic institutions (University College, King's College), the military colleges (Royal Military Academy, Woolwich and Royal Naval College, Greenwich), the women's colleges (Bedford and Queen's), and the technical colleges and polytechnics (e.g., Central Technical Institute) which began to appear during the latter part of this period. A comparison of teaching styles and courses offered is a fruitful way of exploring the rich development of university-level mathematics in London between 1837 and 1901.Cet ouvrage examine dans son ensemble l'enseignement mathématique au niveau universitaire dans diverses institutions à Londres pendant la règne de la Reine Victoria. Nous soulignons quelques mathématiciens célèbres qui participèrent dans ce milieu, par exemple, Augustus De Morgan, James Joseph Sylvester, et Karl Pearson. En plus, nous analysons les diverses grandes écoles d'enseignement, y compris surtout des institutions académiques (University College, King's College), des écoles militaires (Royal Military Academy, Woolwich et Royal Naval College, Greenwich), des écoles de femmes (Bedford et Queen's), et des écoles techniques et polytechniques (par exemple, Central Technical Institute) qui commençaient à apparaître durant la dernière partie de cette période. Une comparaison des cours enseignés et des différents styles pédagogiques utilisés nous fournit un moyen pour étudier le développement riche des mathématiques au niveau universitaire à Londres entre 1837 et 1901.In dieser Arbeit wird die mathematische Lehre auf Universitätsniveau an verschiedenen Institutionen Londons während der Herrschaft von Queen Victoria untersucht. Einige der berühmten Mathematiker, einschließlich Augustus De Morgan, James Joseph Sylvester und Karl Pearson, die lange Jahre Mathematik lehrten, werden hervorgehoben. In der Arbeit wird auch die große Vielfalt an Lehrinstitutionen untersucht, darunter akademische Institutionen (University College, King's College), Militär-Colleges (Royal Military Academy, Wool_wich und Royal Naval College, Greenwich), Frauen-Colleges (Bedford und Queen's) sowie technische und polytechnische Hochschulen (z.B. Central Technical Institute), die während der zweiten Hälfte dieses Zeitabschnittes entstanden. Ein Vergleich der Lehrtechniken und der angebotenen Kurse bietet eine fruchtbare Methode, die reiche Entwicklung der Mathematik auf Universitätsniveau in London zwischen 1837 und 1901 zu erforschen.     

Unemployment insurance and mortgages

We consider mortgages including the possibility of an unemployment insurance. The insurance company pays the cash flows of the credit as soon as the borrower becomes unemployed, for a maximal number of payments fixed in the contract. We develop a probabilistic model for describing the cash flows paid by the insurance company. We jointly take into account unemployment, job search and prepayment phenomena. With such a model it is possible to study the probabilistic properties of the cash flow pattern as a function of the age of the credit. Finally, we discuss the estimation of the parameters of such a model and its use for pricing the insurance contract.Nous considérons des crédits immobiliers, où, à la signature du contrat, le demandeur de crédit a la possibilité de prendre une assurance couvrant le risque de chômage. Cette assurance prend en cas de chômage le relais du débiteur pendant une période de temps maximale fixée par contrat. Nous présentons un modèle probabiliste décrivant les flux, qu'est susceptible de verser la compagnie d'assurance. Ce modèle prend en compte à la fois les phénomènes de chômage, de recherche d'emploi et de remboursement anticipé et il permet d'analyser les propriétés probabilistes de ces flux en fonction de l'âge du crédit. Finalement nous discutons l'estimation des paramètres d'un tel modèle et son utilisation pour valoriser le contrat d'assurance.     

Noyaux potentiels associés à une filtration

We study from the point of view of potential theory some operators V which are “integrals of martingales” and noteworthy the formula (I + V)⁻¹ = I − N where N is a submarkovian kernel. We give an explicit expression of N when the filtration is finite and get the general case with an usual approximation procedure. Some links are made with the matrix theory (ultrametric and Stieltjes matrices) and the graph theory (flows and capacities) when the space is finite.

Résumé

On étudie, du point de vue de la théorie du potentiel, des opérateurs V du type “intégrales de martingale”, et notamment la formule (I + V)⁻¹ = I − N où N est un noyau sous-markovien. On donne une expression explicite de N dans le cas d'une filtration finie, et on traite le cas général par un procédé d'approximation usuel. On fait le lien avec la théorie des matrices (matrices ultramétriques et de Stieltjes) et la théorie des graphes (flots et capacités) quand l'espace est fini.     

On the pullback equation

We discuss the existence of a diffeomorphism such that

φ^*(g)=f