Blow-up of solutions of semilinear parabolic differential equations

For a semilinear parabolic initial boundary value problem we establish criterions on blow-up of the solution in finite time and give bounds for the blow-up time. We treat several applications in both finite and infinite domains. For comparison, sufficient conditions are also given for the existence of global solutions.

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Zusammenfassung Für ein semilineares parabolisches Rand- und Anfangswertproblem stellen wir Kriterien für die Explosion der Lösung in endlicher Zeit auf und geben Schranken für die Explosionszeit an. Einige Anwendungen in beschränkten und unbeschränkten Gebieten werden untersucht, wobei wir als Gegenüberstellung auch hinreichende Bedingungen für die Existenz globaler Lösungen angeben.

     

Some Phragmén-Lindelöf type results for the biharmonic equation

We derive estimates for weighted and unweighted energy expressions for the solution of a biharmonic boundary value problem in the plane by means of a second order differential inequality. We consider three kinds of unbounded domains with boundary conditions of Dirichlet type. For each domain we develop exponential estimates that either grow or decay. In the case of decay we also present a method for obtaining explicit bounds for the total energy.

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Zusammenfassung Wir leiten Abschätzungen für gewichtete und ungewichtete Energieausdrücke für die Lösung einer biharmonischen Randwertaufgabe in der Ebene mittels einer zweite Ordnung Differentialungleichung ab. Wir betrachten drei Arten von unbeschränkten Gebieten mit Randbedingungen des Dirichletschen Typs. Für jedes Gebiet entwickeln wir exponential Abschätzungen mit entweder positivem oder negativem Wachstum. Im Falle des negativem Wachstums geben wir auch eine Methode an, um explizite Abschätzungen für die totale Energie zu erhalten.

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L. E. Payne was supported in part by the Tennessee Science Alliance while the author held a visiting position at the University of Tennessee.     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

Circle and sphere theorems for the biharmonic equation (interior and exterior problems)

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden Kreis- und Kugelsätze hergeleitet, von denen der erste im Zusammenhang mit den Verschiebungsfeldern einer eingespannten Platte unter reiner Biegung interessiert. Mit Hilfe des biharmonischen Feldes im unbeschränkten Bereich werden Lösungen angegeben, wobei das Endergebnis für den beschränkten Bereich innerhalb des Kreises bzw. der Kugel die gleichen Singularitäten aufweist wie dasjenige für den unbeschränkten Bereich.     

Sloshing frequencies for a half-space with circular or strip-like aperture

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden Näherungswerte (mit stengen Fehlerschranken) hergeleitet für die Eigenfrequenzen der Schlingerbewegungen einer einen Halbraum mit kreis- oder streifenförmiger Öffnung ausfüllenden idealen Flüssigkeit. Das mathematische Modell kann als Grenzfall des klassischen Modells für endliche Behälter betrachtet werden. Wegen der bekannten Gebietsmonotonie der Eigenwerte sind die Werte für den Halbraum universelle obere Schranken für die entsprechenden Eigenwerte beliebiger beschränkter oder unbeschränkter Behälter mit gleichartigen Öffnungen.Die Anlage der Arbeit ist wie folgt:Die Formulierung des mathematischen Modells erfolgt in § 2, wobei insbesondere auf die Randbedingung im Unendlichen eingegangen wird. In § 3 wird die Aufgabe auf die Eigenwert-aufgabe für einen gewissen selbstadjungierten, kompakten Operator in einem Hilbertraum zurückgeführt, wodurch der Weg zur Anwendung klassischer numerischer Verfahren der Eigenwertbestimmung (Ritz, Krylow-Bogoljubow, Temple) freigelegt wird. In § 4 werden geeignete Koordinatenfunktionen für das Ritzsche Verfahren eingeführt und die erforderlichen Skalarprodukte analytisch berechnet. Einige dabei auftretende Integrale mit Gegenbauerpolynomen sind im Anhang ausgewertet. Das Ritzsche Verfahren führt in der hier benützten Form auf die algebraische Aufgabe der Bestimmung der stationären Werte einer quadratischen Form unter einer linearen und einer quadratischen Nebenbedingung. Die numerische Lösung dieser Aufgabe wird in § 5 besprochen. Die sich daraus ergebenden, recht genauen Eigenwertschranken sind in § 6 tabelliert.

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Dedicated to Professor L. Collatz on his 60th birthday

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The contribution of P. Henrici to the preparation of this paper was supported, in part, by the Office of Naval Research under contract NONR 233 (76) at the University of California, Los Angeles.The research of B. A. Troesch was supported, in part, by the National Science Foundation under Grant GP-7522.L. Wuytack performed his share of the work while he was a Bundesstipendiat at the Eidgenössische Technische Hochschule.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

Das Problem der begrenzten Geleisekapazitäten in Rangierbahnhöfen

Zusammenfassung Die Schweizerischen Bundesbahnen haben sich entschieden, künftig für die Bildung der Nahgüterzüge in den dafür geeigneten Anlagen die Simultanformation mit dem Triangulärschema anzuwenden und die Bauprojekte für neue Rangierbahnhöfe auf dieser Basis zu planen. Dieses Rangierverfahren besitzt große Vorzüge, da man mit verhältnismäßig wenig Geleiseanlagen und Einzelmanövern auskommt. Allerdings ist der Bedarf an Geleisekapazität und die Zahl der Abläufe bei einem gegebenen Wagenaufkommen je nach Ablaufplan verschieden. Das hier beschriebene Verfahren erzeugt einen Ablaufplan, der die verfügbare Geleisekapazität nicht überbeansprucht und gleichzeitig die Anzahl der Abläufe möglichst klein hält. Es handelt sich um ein heuristisches Verfahren, das im allgemeinen nur eine suboptimale Lösung liefert, sich aber in der Praxis bereits gut bewährt hat.

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Summary The Swiss Federal Railways have decided to adopt the simultaneous formation with triangular schema for the composition of short distance goods trains wherever installations are suitable. Moreover the new conception will be used as a basis for planning building projects for new marshalling yards. This shunting procedure embodies considerable advantages as relatively few tracks and individual shunting manoeuvres are required. The necessary track capacity, however, and the number of runs required with a given number of waggons differs according to the sequencing of runs. The procedure described here produces a sequence which does not over-tax track capacity and at the same time keeps the number of runs to a minimum. This is an heuristic procedure which generally constitutes a sub-optimum solution but which has already proved its worth in practice.

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Vortrag gehalten an der AKOR-Tagung vom 24.–26.4.1971 in Mainz.     

Magnetohydrodynamic shock propagation in non-uniform ducts

Zusammenfassung Es wird die Störung bestimmt, die ein gleichförmiger magnetohydrodynamischer Stoss beliebiger Stärke durch eine Querschnittsveränderung der Strömung erleidet. Beim Durchgang durch die Querschnittsveränderung ändert sich die Stärke des Stosses, und die Strömung bleibt nicht länger isentropisch. Es ergeben sich zwei verschiedene Störungsanteile, nämlich ein stationärer, der unmittelbar durch die Querschnittsveränderung hervorgerufen wird, und ein zeitlich veränderlicher Anteil, der von der Reflektion des ersten Anteils an dem Stoss herrührt.Die Untersuchungen, die auf ein einatomiges Gas beschränkt sind, enthalten gewisse bekannte gasdynamische Ergebnisse als Spezialfälle.

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Sponsored by the United States Army under Contract no. DA-11-022-ORD-2059.     

A theory of hail growth based on studies of alberta storms

Zusammenfassung Radarstudien von Hagelstürmen in Alberta gestatten wichtige Hinweise zu einer Theorie des Hagels. Schwere Stürme sind oft von langer Dauer und ergeben oftmals Hagelfälle, die stundenweise ohne Unterbrechung andauern. Wir schliessen daraus, dass auch der Bildungsmechanismus anhaltender Natur sein muss. In manchen Fällen bildet sich Hagel innerhalb von 20 Minuten vom Zeitpunkt des ersten Erscheinens eines Radarechos; das zeigt ein sehr schnelles Wachstum an, das unserer Meinung nach eine sehr wasserreiche Umgebung erfordert, die wir auf im Aufwind gespeicherten Regen zurückführen.Im vorliegenden Aufsatz beschreiben wir das Wachstum von Hagelteilchen auf Grund dieser Gedanken. Andere Gesichtspunkte, die wir hierbei mit einbeziehen, basieren auf Messungen in europäischen Windkanälen und auf Studien der stochastischen Natur des Gefrierens unterkühlter Wassertropfen. Es ergibt sich, dass alles Hagelwachstum in Alberta zwischen 3 und 7 km Höhe stattfindet, dass es einen Aufwind in der Stärke von ungefähr 15 m sec^–1 erfordert und dass der Gesamtwassergehalt zwischen 10 und 30 gm^–3 liegen muss. Unter solchen Umständen können sich Hagelkörner zu einem Durchmesser von 5 cm innerhalb von 20 Minuten in einer einzigen Auf- und Abwärtstrajektorie entwickeln.

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This work and the field program whose data it utilizes were supported directly or indirectly by the following agencies: The Canadian Meteorological Service, The Research Council of Alberta, The Canadian National Research Council and The Geophysical Research Directorate of the U.S. Air Force Cambridge Research Center.     

The Diffraction of an obliquely incident surface wave by a submerged plane barrier

Zusammenfassung Das Problem der Beugung einer Oberflächenwelle, die schief auf ein völlig versenktes, ebenes Hindernis stösst, wobei das ebene Hindernis senkrecht zur ruhenden Oberfläche steht, wird auf die Lösung der Helmholtz-Gleichung reduziert. Die Lösung wird nach dem Wiener-Hopf-Verfahren durchgeführt und ergibt die Reflexionsbeiwerte.     

The role of coordinate systems in boundary-layer theory

Zusammenfassung Die Grenzschichtnäherung zu einem gegebenen Strömungsproblem ist nicht invariant, das heisst, sie hängt von dem Koordinatensystem ab, in dem der Näherungsprozess durchgeführt wird. Zwar ist die von der Flüssigkeit ausgeübte Reibungskraft von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, aber das Strömungsfeld selbst hängt im allgemeinen vom Koordinatensystem ab. Theorem 1 besagt, dass die Grenzschichtlösung eines Koordinatensystems durch eine einfache Substitution in die Lösung irgendeines anderen Systems übergeführt werden kann. Nur wenn die zwei Koordinatensysteme durch eine ganz spezielle Beziehung verbunden sind, bleibt das entsprechende Strömungsfeld dabei unverändert. Diese Abhängigkeit des Strömungsfeldes von der Wahl des Koordinatensystems wird benutzt, um Theorem 2 zu beweisen, das besagt, dass Koordinatensysteme gefunden werden können, die in dem folgenden Sinne optimal sind: Die entsprechende Grenzschichtlösung ist im ganzen Raum, auch ausserhalb der eigentlichen Grenzschicht, als Näherung gültig. Sie enthält die äussere Potentialströmung und auch die Strömung, die von der Verdrängungswirkung der Grenzschicht herrührt. Durch dieses Theorem wird das Problem hinfällig, wie man die äussere Potentiallösung und die innere Grenzschichtlösung an irgendeinem Rande der Grenzschicht zusammenfügt. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich auf Strömungen ohne Ablösung, weil die Grenzschichttheorie im Ablösungsfalle mit prinzipiellen Schwierigkeiten behaftet ist. Es wird ausserdem vorausgesetzt, dass die Strömung zweidimensional, stationär und inkompressibel ist. Die letzteren Beschränkungen sind weniger wesentlich und werden in einer demnächst erscheinenden Arbeit diskutiert.

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Research prepared under Office of Naval Research Contract N 6 ONR-244, Task Order VIII, Project NR 061-036.     

Steady state thermal stresses in an elastic solid bounded by two cones

Zusammenfassung Es wird für das Problem der Wärmespannungen in einem kegelförmig begrenzten elastischen Körper eine Ähnlichkeitstransformation entwickelt. Ist die Temperatur an der freien Oberfläche als Potenz des Abstandes von der Spitze vorgeschrieben, so lässt sich ein Satz von Ähnlichkeitsvariablen angeben, welcher die thermoelastischen Beziehungen auf Legendre-Gleichungen reduziert und damit der Lösung leicht zugänglich macht. Die Rechnung ist für den Sonderfall konstant gehaltener Oberflächentemperatur im einzelnen durchgeführt.

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This work has been done at the Mathematics Research Center, University of Wisconsin, under the U.S. Army Contract DA-11-022-ORD-2059.     

Optimal control of processes governed by partial differential equations part II: Vibrations

This paper is concerned with damping of vibrations of one-dimensional media by distributed or boundary control. Given an initial state of vibration at the timet=0, the problem is considered to find a control along the medium or on its boundary by which the initial state is transferred to the position of rest at some given timeT>0. At first the problem of null-controllability is studied where the control functions are taken fromL ₂ [0,T]. Then the problem of timeminimal null-controllability is investigated where null-controllability is tried to be achieved by norm-bounded controls inL ₂ [0,T] forT being as small as possible. The main result here is that time-minimal norm-bounded controls are controls with least norm on the minimum time interval which in addition equals the prescribed bound on the norm.The main tool for the treatment of these control problems is the theory of trigonometric moment problems.

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Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Dämpfung eindimensionaler Media durch verteilte Steuerung oder Randsteuerung. Zu vorgegebenem Anfangszustand der Schwingung zum Zeitpunktt=0 wird das Problem betrachtet, eine Steuerung entlang dem Medium oder auf seinem Rande zu finden, die den Anfangszustand in die Ruhelage zu irgendeiner gegebenen ZeitT>0 überführt. Zunächst wird das Problem der Null-Steuerbarkeit behandelt, bei dem die Steuerungsfunktionen demL ₂ [0,T] entnommen werden. Sodann wird das Problem der zeit-minimalen Nullsteuerbarkeit untersucht, bei dem versucht wird, Nullsteuerbarkeit mit norm-beschränkten Steuerungen inL ₂ [0,T] für möglichst kleinesT zu erzielen. Das Hauptresultat besteht hier in der Aussage, daß zeit-minimale norm-beschränkte Steuerungen zugleich Steuerungen mit minimaler Norm auf dem minimalen Zeitintervall sind, die überdies mit der vorgegebenen Normschranke übereinstimmt.Das Haupthilfsmittel zur Behandlung dieser Steuerungsprobleme ist die Theorie der trigonometrischen Momentenprobleme.

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Invited Survey.     

Ermittlung kürzester Durchlaufzeiten auf Fertigungsstraßen

Zusammenfassung Für eine Folge von Produkttypen verschiedener Stückzahlen, die auf derselben Fertigungsstraße hergestellt werden, wird unter gegebenen Voraussetzungen die kürzeste Durchlaufzeit ermittelt unter Berücksichtigung der Überlappung der Durchlaufzeiten der einzelnen Produkttypen auf der Straße. Dies führt auf ein Reihenfolgeproblem der Typen, das sich theoretisch durch Permutieren lösen läßt. Unter den gegebenen Voraussetzungen kann die Ordnung der Permutationen um eine Stufe erniedrigt werden. Ein weiterer gleichartiger Reduktionsversuch wird auf Grund elementarer gruppentheoretischer Eigenschaften als aussichtslos aufgezeigt. Die Lösung wird durch ein dafür entwickeltes, geeignetes Verfahren zur Erzeugung von Permutationen gewonnen. Besonderer Wert ist auf eine mathematische Einkleidung des Problems gelegt worden.

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Summary The shortest duration of passage is determined, over one production line, for a given sequence of (different) types of product of differing batch numbers. This calculation is to be valid under certain operating conditions, and allows for the overlap of individual batch passages. The problem is one of type sequence and can thus be expressed in terms of permutation. Under the prevailing conditions, the order of permutation may be lowered by one degree. It is shown that another, similar attempt at a reduction would prove pointless because of the elementary properties of group theory.The solution is gained by working out for this purpose an appropriate procedure for generating permutations. Great pains were taken with the mathematical transference of the problem.

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Vorgel. v.:J. Nitsche     

On thermal effects in viscoplasticity

Zusammenfassung Das Ziel der Arbeit bildet die Beschreibung der elasto-viskoplastischen Materialien im Rahmen der Thermodynamik von Materialien mit inneren Parametern. Als die thermodynamischen Variablen wurden der Deformationstensor und die Temperatur, als die inneren Parameter die Komponenten des Tensors der inelastischen Deformation eingeführt.Von den konstitutiven Voraussetzungen für elasto-viskoplastische Materialien ausgehend, wurden die Beschränkungen, die das zweite Prinzip der Thermodynamik einführt, untersucht. Der Tensor der inelastischen Deformation wird durch eine linearisierte gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben. Es wurde weiterhin der Relaxationsprozess für ein elasto-viskoplastisches Material diskutiert.

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To ProfessorHerny Görtler on his sixtieth birthday     

Görtler vortices and boundary-layer transition

Zusammenfassung Auf Grund unserer Versuchsergebnisse sind wir zur Ansicht gekommen, dass der Einfluss der Görtler-Wirbel auf den Umschlag der Grenzschicht an konkaven Wänden mehrindirekt ist, da die Wirbel eine Veränderung der Grenzschichtdicke in der Spannweitenrichtung induzieren und die Entwicklung der instabilen Schwingungen (Tollmien-Schlichting-Wellen) modifizieren. Die Zerstörung der instabilen Schwingungen, die schliesslich zur Turbulenz führt, tritt zuerst an der Stelle auf, wo die Grenzschicht in der Querrichtung die grösste Dicke hat, und in etwas verschiedener Weise als bei den zweidimensionalen Grenzschichten an einer ebenen Platte.

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Paper prepared for dedication to ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday     

Numerical solution of a class of nonlinear boundary value problems for analytic functions

Summary We analyse a numerical method for solving a nonlinear parameter-dependent boundary value problem for an analytic function on an annulus. The analytic function to be determined is expanded into its Laurent series. For the expansion coefficients we obtain an operator equation exhibiting bifurcation from a simple eigenvalue. We introduce a Galerkin approximation and analyse its convergence. A prominent problem falling into the class treated here is the computation of gravity waves of permanent type in a fluid. We present numerical examples for this case.

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Zusammenfassung Wir betrachten ein numerisches Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen, parameterabhängigen Randwertproblems für analytische Funktionen auf einem Kreisring. Durch Laurent-Entwicklung erhalten wir für die Koeffizienten eine Operatorgleichung, die Verzweigung aufweist. Wir beweisen Konvergenz für das Galerkin-Verfahren. Als numerisches Beispiel untersuchen wir das Problem permanenter Wasserwellen unter dem Einfluß der Schwerkraft.

     

Analysis of turbulent boundary layers with zero pressure gradient

Zusammenfassung Das hier entwickelte, formale, mathematische System beschreibt turbulente Grenzschichten an glatten und rauhen Platten und vermittelt eine zusammenhängende und folgerichtige Behandlung von solch groben Schichteigenschaften wie Durchschnittsgeschwindigkeitsprofil, Schubspannung, Wirbelviskosität und Grenzschichtdicke. Die erhaltenen Lösungen zeigen gute Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen. Die gegebene Formulierung kann in gewisser Hinsicht als eine neuartige Mischungsweghypothese betrachtet werden.Die Arbeit beschränkt sich auf Grenzschichten mit Nulldruckgradienten. Eine Verallgemeinerung auf von Null abweichende Druckgradienten ist einer späteren Mitteilung vorbehalten, in welcher gezeigt werden soll, dass die benutzte Methode zu mit dem Experiment übereinstimmenden Ergebnisse führt und keiner weiteren Hilfshypothesen bedarf.Die physikalische Bedeutung der Arbeit kann darin gesehen werden, dass ein allerdings nicht ganz genaues Mischungswegmodell dennoch auftretende Mischungsvorgänge näherungsweise beschreiben kann, was somit die Aufstellung einer Mischungsweghypothese ermöglicht, die mit genügender Genauigkeit ein grobes Bild verschiedener Aspekte der beobachteten Vorgänge gibt. Es ist somit möglich, zu einer handlichen und folgerichtigen mathematischen Formulierung zu gelangen, mit deren Hilfe allgemeine Eigenschaften von turbulenten Grenzschichten an festen Oberflächen untersucht werden können.

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Address for 1958: California Institute of Technology.

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Supported in part by a grant from the Rockefeller Foundation RF 56160.     

Indefinite cubic programming with standard errors in objective function

Summary This paper concerns with the problem of indefinite cubic programming in which the objective function is the product of two factors, one of which is quadratic and contains the terms with standard errors, the other being a linear factor and the constraints being linear. It has been shown that the solution of such a programming problem can be obtained by solving a convex programming problem. The problem has been extended to the case where both the factors in the objective function are quadratic factors containing terms with standard errors. Some already known results have also been deduced as particular cases of the problem discussed.

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Zusammenfassung Die Arbeit behandelt ein indefinites kubisches Programmierungsproblem unter linearen Nebenbedingungen. Hierbei ist die Zielfunktion das Produkt eines quadratischen und eines linearen Faktors. Es wird gezeigt, daß das Problem auf ein konvexes Programm zurückgeführt werden kann. Ferner wird der Fall betrachtet, daß beide Faktoren der Zielfunktion quadratische Ausdrücke mit Fehlertermen sind. Als Sonderfälle der betrachteten Probleme werden einige bekannte Resultate abgeleitet.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

On a mixed boundary value problem for an infinite elastic cone

Zusammenfassung Die Verfasser haben ein gemischtes Randwertproblem für einen unendlichen elastischen Kegel mit Spitzenwinkel2 auf die Lösung einer endlichen Wiener-Hopf-Gleichung zurückgeführt. Der wesentliche Schritt besteht darin, eine FunktionK(s), die in einem Streifen regulär ist, als ein Produkt von Faktoren darzustellen, die auf übereinanderliegenden Halbebenen regulär sind. In dem hier behandelten Fall für willkürliches ist diese Methode besonders schwierig. In dem Sonderfalle des elastischen Halbraumes =/2 können jedoch bekannte Resultate erlangt werden. Das deutet darauf hin, dass die Methode auf das Kegelproblem anwendbar ist, vorausgesetzt dass die erforderliche Faktorzerlegung durchgeführt werden kann.

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This work was supported in part by the Office of Ordnance Research under contract No. DA-11-022-ORD-2195.