巧用四面体的外接平行六面体解一类题

四面体是最简单的多面体,有关四面体的性质和计算也是我们经常要遇到的。本文主要是举例说明如何用四面体的外接平行六面体来研究四面体的性质和解决它的有关计算。因为四面体的每两条对棱都不共面,因此可以作两个平行平面使其各通过其中一棱。通过三双对棱所作的三组平行平面围成一个平行六面体,叫做四面体的外接平行六面体。四面体的六条棱就分别是六面体六个面上     

四面体的一种补形方法及其应用

如图1,从长方体中砍下一个角,可以得到直角四面体PABC.反之,对于直角四面体,我们可以将它补成长方体用以解题,这是立体几何中已经司空见惯的一种补形解法.本文介绍对于一般四面体都适用的另一种补形解法.如图2,从平行六面体中砍下四个角,可以得到四面体ABCD.反之,我们可以将四面体补成图2所示的平行六面体来解决一些问题.下举数例,予以说明.图1长方体图2平行六面体例1(2003年全国高中数学联赛题)在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为3π,则四面体ABCD的体积等于()(A)23.(B)21.(C)31.(D)33.图3例1图图4例1图解…     

也谈“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体?”

对于命题“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体”，文［１］通过给出两个有公共对角线ＢＤ的全等矩形ＡＢＣＤ，ＣＢＡＤ，构造出一个平行六面体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ，证明了该平行六面体不是直平行六面体，从而得出结论：该命题是一个假...     

四面体中一个问题的探讨

四面体中一个问题的探讨福建省泰宁一中吴享平杨路先生１９８７年，在文［１］中提出了四面体的十个著名问题，其中问题１０的内容是“已知四面体某三面角的三个面角的值，试决定它所对的三角形面的形状”．为了回答这一问题，本文给出如下的一些定义和定理．定义从一个公...     

四面体的两个体积公式

四面体的两个体积公式韩绍文席学勤（河南项城市高中４６６２００）本文给出四面体的两个体积公式．定理１如果一个四面体的两条相对棱的长分别是ａ，ｂ，它们的距离是ｄ，所成的角为θ，那么它的体积是Ｖ＝１６ａｂｄｓｉｎθ证明如图，四面体ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ａ，ＣＤ...     

关于平行六面体对角面问题

《立几》教材中给平行六面体的定义:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体。没有定义平行六面体的对角面,通常对棱柱对角面的理解是:过不相邻的两条侧棱的截面。     

关于四面体的一个问题的解答

关于四面体的一个问题的解答刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）１９８７年，杨路教授在文山中提出了关于四面体的十个问题，其中问题１０：“已知四面体某三面角的三个面角的值，试确定它所对的三角形面的形状”尚未获解决，并被收在［２］中列为ｗｅｂ５１．本文拟以...     

巧用割补法

在立体几何的求积问题中，割补法是一种常用的方法．我们常常把不熟悉或者难以体现直观性的几何体通过割补法，转化为比较熟悉、直观性更好的几何体．例如，把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体(特别是三棱锥)、把不规则的几何体割补成规则的几何体…从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的．     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

解等腰四面体的简易方法

等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体．竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题。通过把等腰四面体补全为立（长）方体．我们就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体。它是三角形在空间的直接推广．四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．如：连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分；连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G．且这点将所在线段分成的比为3：1。这个点G称为四面体的重心；四面体都有外接球和内切球；等等．等腰四面体（对棱均相等的四面体）、直角四面体（有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体）和正四面体是三种特殊的四面体．在竞赛中经常涉及到．较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决，常用的数学思想方法有变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等．     

四面体中的“类正弦定理”

文给出了直角四面体类似于直角三角形的一些性质，文给出了四面体中的余弦定理．受此启发，经过研究，本文得到四面体中的“类正弦定理”．     

四面体的一种补形方法及其应用

如图1，从长方体中砍下一个角，可以得到直角四面体PABC．反之，对于直角四面体，我们可以将它补成长方体用以解题，这是立体几何中已经司空见惯的一种补形解法．本文介绍对于一般四面体都适用的另一种补形解法．     

关联四面体的宽和高的一个等式

杨路教授在“来自四面体的挑战”(见《中学生数学》1987年第1期)一文的问题9中提出: 将四面体的每一双对棱之间的距离(即公垂线的长度)叫做四面体的一个“宽度”。一个四面体的三个     

第十章 多面体和旋转体

§1 多面体的表面积和体积要点常见的多面体的概念和性质,多面体的表面积和体积的计算。例1 在一个平行六面体中,一个顶点上三条棱长分别是a、b、C,这三条棱中每两条所成角是60°,求平行六面体体积。     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道，每个四面体都有外接球，球心就是各条棱的中垂面的交点，这个点到各个顶点的距离都相等．给出一个四面体求它的外接球半径，是一类常见的问题。下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法．     

四面体体积的一个不等式

四面体体积的一个不等式孔令恩（山东枣庄三十中２７７１００）《数学通报》１９８４，１２载文（见［１］），提到杨路先生早些时候研究的不等式“，其中Ｐ为四面体的六棱之积，Ｒ为外接球半径，Ｖ是体积，”本文将给出此不等式的一个下限．定理设四面体的体积为Ｖ，外接...     

再论线段组构成四面体的条件

再论线段组构成四面体的条件续铁权（青岛教育学院数学系２６６０７１）六条线段ａ，ａ１，ｂ，ｂ１，ｃ，ｃ１，每两条是一对，如ａ，ａ１是一对等等，称为一个线段组．如果存在四面体，它的三组对棱恰是这三对线段，就说这一线段组具有性质Ｐ，或对于线段组这一四面体具...     

极端性原理

一、极端性原理所谓极端性原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法。例1 证明:任何四面体中,一定有一个顶点,由它出发的3条棱可以构成一个三角形。证明组成四面体的六条棱中总存在最长棱,不     

飞火流星体的体积公式

20 0 2年世界杯足球赛所用的足球名叫飞火流星 ,在不充气时它是一个由 1 2个正五边形和2 0个正六边形围成的 32面体 ,不妨称它为飞火流星体 ,简称“飞体” (图1 ) .新编高中《数学》中有C6 0 分子的结构图 ,其形状应是一个很小的“飞体” .本文将用两种方法探求“飞体”体积的计算公式 .1　直接求积法“飞体”有 90条棱 ,它们的长都相等 ,设为a .“飞体”中有一个中心记为O ,“飞体”有 6 0个顶点 ,它们与中心O距离相等 ,因此“飞体”有一个外接球 ,1 2个正五边形与中心O距离相等 ,记为h1,2 0个正方形与中心O距离也相等 ,记为h2 ,把中心O…