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一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f(x)~(x),且limf(x)·g(x)存在,则这里,(1)无穷小量f(x)~(x),表示f(x)与(x)是当x→x0或x→∞时的等价无穷小;(2)limf(x)表示limf(x)或limf(x).下同。定理2设无穷小量f(x)~(x),且存在,则由这二个定理可知,一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中,也常利用等价无穷小代换,这有下面二个定理,这里只证后一个定理。定理3设八x)>0,无穷小量g(x)~~(x),且tim八x)”“’存在,则定… 相似文献
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1.等价无穷小代换问题在求0/0型不定式的极限过程中,有时为了方便运算,而进行等价无穷小代换,但当0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量相加减时,应如何代换?我们分4种情况来归纳这个问题.1.0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量a_1、a_2相加,并且当lim(a_1/a_2)≠-1时,可分别用各自的等价无穷小代换,特别是相加的两项中一项比另一项高阶时,可以删去高阶项(其结果都相当于把分子(或分母)作为整体进行了等价无穷小代换). 相似文献
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等价无穷小代换在求极限过程中的应用 总被引:9,自引:2,他引:7
等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1 在自变量同一变化过程中 ,设 α~ α′,β~ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1 求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解 原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2 求 limx→ 0tanx-sinxx3解 原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin… 相似文献
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关于无穷多个无穷小的乘积的注记 总被引:2,自引:1,他引:1
在高等数学教学中经常会遇到学生问无穷个无穷小的乘积是什么 ,下面我们通过几个例子来说明这个问题。首先给出无穷乘积的概念 [1] 。设 { x1n} ,{ x2n} ,… ,{ xmn} ,…是可列个数列 ,对任意固定的 n,令 Pmn= x1nx2n… xmn,如果 limm→∞ Pmn 存在 ,则称 Pn=limm→∞ Pmn,n=1 ,2 ,…为 { x1n} ,{ x2n} ,… ,{ xmn} ,…的无穷乘积。例 1 .设 xmn =1 , n n时 ,Pmn =3 . 1n .3 . 2n .3 . 3n .… .3 . nn . 1 .… . 1 =3 nn!nn ,所以 Pn =3 nn!nn … 相似文献
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主要讨论了一类扰动系统的指数稳定性问题 .若扰动项的控制函数满足无穷可积、 L2 可积或者 Lp可积时 ,x =0是常系统的指数稳定点 ,则也是扰动系统的指数稳定点 .推广和丰富了 Khalil[1] 的结果 相似文献
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探讨无穷积分收敛时被积函数极限为零的条件.对于[a, ∞)上的连续函数,若 ∫∞af(x)dx收敛,则limx→ ∞f(x)=0的充分必要条件是f(x)在[a, ∞)上一致连续. 相似文献
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证明了当Δx→0时,ΔS-2πf(x)dx不是比Δx高阶的无穷小,而ΔS-2πf(x)√1+(f′(x))2dx是比Δx高阶的无穷小. 相似文献
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根据无穷限反常积分∫a^+∞f(x)dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f(x)当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^+∞f(x)dx收敛且f(x)在[a,+∞)上连续,或者无穷限反常积分∫a^+∞f(x)dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,+∞]且xn→+∞(n→∞),使limn→∞xnf(xn)=0. 相似文献
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利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论:设当x→x0时f(x)与g(x)为无穷小,g(x)~(x-x0)β,取k为正实数,使得fk(x)=A(x-x0)α+o[(x-x0)α],其中A0,α≥2,β0为实数,则有limx→x0f(x)g(x)=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f(x)g(x)很复杂时,使用该方法可简化计算. 相似文献
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谷峰 《数学的实践与认识》1987,(4)
<正> 设 f(x) 是定义在 [0,+∞) 上的函数.O.Szasz 研究了 Bernstein 多项式在无穷区间上的推广形式B_n(f;x)=e~(-nx)sum from k=0 to ∞f(k/n)(nx)~k/k!.在一定条件下,对 f(x) 在[0,+∞)上的任一连续点 x_0,有(?)B_n(f;x_0)=f(x_0).O.Szasz 还研究了当 n 充分大时,B_n(f;x) 和 f(x) 的误差.J.Grof 进一步改善了后一结果.后来,吴华英引进 Bernstein 多项式推广到无穷区间上的另一形式 相似文献
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本文通过构造具体的典型例子对高等数学中的几个易错命题进行了阐述和说明.对无限多个无穷小量的和与积的性质进行了探讨,举例说明了无限多个无穷大量的乘积不一定是无穷大量.给出了无限乘积运算时仍然是无穷大量或无穷小量的充分条件.这有助于更好地理解无穷大量和无穷小量两个概念的本质内涵,也有助于认识无限运算和有限运算的根本差异. 相似文献
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《大学数学》1986,(3)
<正> 一、引言学习过数学分析的读者部知道,在常义积分(定积分)中,若函数f(x)可积,则可利用定积分存在的充要条件证明|f(x)|他可积,但反之不然。而在广义积分中情况恰恰相反,即若|f(x)|可积,则可利用广义积分存在的充要条件—柯西收敛准则证明f(x)也可积,反之也不然。关于这两个命题,在一般数学分析参考书中都给予严格证明,这里不再赘述。关于这两个命题之逆不真,只需多举一个例子:在常义积分下, f(x)=1 x为有理数f(x)=-1 x为无理数显然由于ωi≡2知∫_0~1 f(x)dx不可积,但|f(x)|≡1 显然∫_0~1 f(x)dx可积。在广义积分下,∫_1~(+∞) sinx/x dx 由荻利克勒判别法知它是收敛的,但∫_1~(+∞) |sinx/x|dx 相似文献
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《高等数学研究》2007,10(6)
2007年1月一、填空题(每小题4分,共16分)1.函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值是f(x)在[a,b]上连续的条件,函数f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的条件.(充分、必要或充要)2.极限limu→0∫0u(1∫0 usixn2t2-dt1)dxdt=.【21】3.设曲线的方程是y=ln(1 x2),则曲线的拐点是.【±1,ln2】4.曲线y=sinx在点π6,21处的曲率是.【4497】二、选择题(每小题4分,共16分)5.设当x→0时,(1-cosx)arcsinx2是比xln(1 xn)高阶的无穷小,而xln(1 xn)是比ex2-1的高阶无穷小,则正整数n等于【B】A.1B.2C.3D.46.极限limu→∞nn2 1 n2n 22 … n2 nn2等于【A】A… 相似文献
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一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1° lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2° lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶… 相似文献
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奇异非线性$p-$调和方程的一类正整体解 总被引:2,自引:0,他引:2
设p>1,β≥0是常数, n是自然数, 是一个连续函数.本文研究形如的奇异非线性p-调和方程的正整体解,给出了该类方程具有无穷多个其渐近阶刚好为|x|(2n-2)(当|x|→∞时)的径向对称的正整体解的若干充分条件. 相似文献
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吴炯圻 《数学物理学报(A辑)》2003,23(5):627-640
该文主要研究形如Δ((Δ\+nu)\+\{p-1*\}) = f(|x|, u, |u|)u\+\{-β\},\ x∈R\+2的奇异非线性多调和方程在R\+2上的正整体解,此处p>1,β≥0是常数,n是自然数,f: [AKR-]\-+×R\-+×[AKR-]\-+→R\-+是 一个连续函数,ξ\+\{α*\}:=|ξ|\+\{α-1\}ξ,ξ∈R,α>0 . 证明了这种解 u必无界且其渐进阶(当n→∞时u作为无穷大量的阶)不低于|x|\+\{2n\}log|x| ,给 出了该方程具有无穷多个其渐进阶刚好为 |x|\+\{2n\}log|x| 的正整体解的充分与充分必要条件. 这些结论可以推广到更一般的方程中去.
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