正多面体外接球面上点的性质

文[1]、[2]分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质本文就这类问题再行讨论为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文[1]、[2]对下面的性质1、2的证明方法。性质1正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．证明如图1，设正六面体ABCDA＇B＇C＇D＇的棱长为a，外接球心为O，P为外接球面上任意一点。显然，正六面体的对角线B＇D通过球心0，故∠B＇PD＝90°．因此，在△B＇PD中有性质2正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．证明由于在图1中，三…     

正四面体内切球的几个不变量

笔者在文中给出了正四面体外接球面上点的三个性质,得到了三个不变量(定值),最近,笔者在研究正四面体内切球面上点的性质时,同样也得到了三个不变量(定值),现介绍如下,并利用向量给予证明,同时给出两个猜想。     

正四面体外接球的几个不变量

本文给出了正四面体外接球面上点的三个性质，得到了三个不变量(定值)，并利用向量给予证明．     

正方体外接球面上点的两个性质

正方体外接球面上点的两个性质１５７０４１牡丹江农业学校姜卫东，于桂萍定理１正方体棱长为ａ，Ｐ为其外接球面上任意一点，则Ｐ到正方体各顶点距离的平方和为正方体表面积的２倍．证明如图建立空间直角坐标系．则有Ａ（０，ａ，０），Ｂ（ａ，ａ，０），Ｃ（ａ，０，０...     

奇妙的定值

文[1]、文[2]中分别证明了正四面体的同心球(球心为正四面体的中心)上任一点到该正四面体每个顶点、每个面的距离的平方和均为定值.对此,笔者进行了探究和引申,得到了几组关于正多面体的命题.命题1已知O为正多面体B1-B2B3…BV-1-BV的中心(V为正多面体的顶点数),点P为正多面体同心球上的任意一点,若→OP与→OBi(i=1,2,3,…,V)所成的角分别为     

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？４４３０００宜昌师专数学系９３２１班丁评虎以前，我一直认为，外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体．后来，仔细研究这一问题时，我吃惊的发现上述结论竞是错误的．定理四面体外接球、内切球球心重合的充要条件是四...     

一则化学中的数学问题

题目甲烷分子(CH4)中四个碳氢键的键角都是109°28’,如何算出来的呢? 下面笔者运用数学知识予以解答:我们知道甲烷分子(CH4)的分子结构是正四面体,其中碳原子位于正四面体的中心位置,四个氢原子位于正四面体的四个顶点.其分子结构的示意图如上图;设O是正四面体的中心,O’是A在底面BCD的射影,则点O是正四面体的外接球的球心,     

“玩转”正方体和正四面体

首先介绍有关正方体和正四面体的内切、外接球的几个结论.     

四面体的中心在哪里——初中生代高中生抢答

虎年元宵夜,九头鸟数学茶楼彩灯高悬,灯谜醉人. 兄妹俩挤到一盏"同心彩球灯"底下,抬头一看,灯的设计如此巧妙:灯芯是耀眼的球体光源,灯箱是与灯芯球外切的正四面体灯罩,灯冠是正四面体灯罩外接的灯笼球.     

用好正四面体模型

<正>正四面体是一种基本的几何图形,通过学习并掌握正四面体的基本性质,用好正四面体模型,能够有效地帮助同学们提高空间想象能力和直观能力,也有利于帮助同学们解决比较复杂的立体几何问题.我们先研究正四面体的基本性质,再用正四面体模型解决比较复杂的空间几何问题.1认识正四面体     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

椭圆焦半径的性质及应用

设F为椭圆的一个焦点,M是椭圆上任一点,我们把线段MF叫椭圆的焦半径,下面给出椭圆焦半径的性质,并举例说明性质的应用．     

长方体同心球的几条性质

《数学通报》数学问题1813是: 正方体内切球的半径为R,P为球上任一点,P到正方体各面的距离分别为PNi(i=1,2,…,6).证明:∑6i=1PN2i=8R2,∑6i=1PN3i=12R3. 此题凸显了长方体同心球的一些性质. 所谓长方体的同心球,是指球心在长方体中心的球,长方体的外接球是它的特例,当长方体正好是正方体时,其内切球也是它的同心球.     

谈平面曲线的反演图形

本文利用极坐标系推出了反演变换的若干重要性质,对一些重要的平面曲线的反演图形进行了讨论。1 反演公式及若干重要性质平面上的反演变换的一般定义是: 设C为一定圆,O为圆心,R为半径,对于平面上任一点M,若其对应点M′满足:     

参赛应用题选登

题 11　将一个用细铁丝制成的正四面体浸入肥皂水中 ,使铁丝上布满肥皂水的薄膜 ,取出后发现正四面体铁丝上的薄膜的面积是正四面体的中心及六条棱组成的三角形的面积和 .试证明 :正四面体铁图 1　题 11图丝上的薄膜面积最小 .解　建立如下立体几何模型 :正四面体内一点与各棱所构成的三角形的面积和最小当且仅当该点为正四面体的中心 .如图 1,正四面体ＡＢＣＤ内一点Ｐ在三组对棱上的垂足分别是Ｐ1 ,Ｐ2 ,Ｐ3 ,Ｐ4,Ｐ5 ,Ｐ6 .ＡＢ ,ＣＤ ,ＢＣ ,ＡＤ ,ＢＤ ,ＡＣ的中点分别为Ｑ1 ,Ｑ2 ,Ｑ3,Ｑ4,Ｑ5 ,Ｑ6 .易知 ,Ｑ1 Ｑ2 ,Ｑ3Ｑ4,Ｑ5 Ｑ6 分…     

简议焦点三角形

所谓焦点三角形,系指有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上任一点与其两焦点连接构成的三角形．因为焦点三角形是具有特殊意义的三角形,所以它既具有一般三角形的性质,又有其特殊性质．因而解决焦点三角形问题,要紧紧抓住其本质特征（顶点为两焦点和圆锥曲线上的点）,挖掘其内涵、张扬其外延;     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

四面体的欧拉球心的一个美妙性质

定义设四面体A1A2A3A4的外心为O,外接球面的半径为R,若点E满足     

关于正多边形的一个有益性质的发现与证明

笔者用类比和对称的思想方法,发展并证明了正多边形的一个有益的性质。问题起源于等腰三角形一个熟知的性质。引理.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和为定值,它等于腰上的高。显然,对于正三角形有定理1.正三角形的边上任一点到各边距     

探寻四面体外接球球心位置

如何处理多面体的外接球的问题？关键在于确定球心,由球心的位置求出半径,从而解决其他问题．由于空间不共面的四个定点确定唯一的球面,对于任何多面体的外接球面的问题,都可以先选定四个顶点确定其外接球球心,求出半径,再解决与其他顶点相关的问题．