在高一代数教学中提高学生計算能力的一些体会

有些高一学生在計算方面存在的問题是不能令人滿意的,他們在解題中既不善于运用基本运算公式、法則,进行全理运算,也不善于选择简捷的計算方法迅速得出正确的答案。如有的学生在計算17~2-8~2~(1/2)时,不会利用两数的平方差公式。在解方程組时却不加思索的用代入法(x=6/y)去解。諸如此类多不胜举。这些情况的存在,一則影响到課堂教学的順利进行,使教师在讲解新課和演算例題时,不得不在这方面参费时间,二則也影响到學生的課外作业及演算物理化学等計算問題的速度,使解决实际問題的能力受到一定的限制。所以提高学生的計算能力就成为提高数学教学质量的一个重要环节和数学教学中一个值得重視和研究的问题。     

求抽象多元复合函数二阶偏导的方法

学生在计算抽象的多元复合函数二阶偏导时,往往容易出错,请看下例.例 1 设z= f(x+y,xy),f具有二阶连续偏导数,求α~2z/αx~2 解 设u=x十y,v=xy.     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

应用倒数关系解题

倒数关系反映着一对非零的实数之间的一种相互关系。就是说,如果x是y的倒数。那么,x与y互为倒数。若x、y∈R,xy=1且x y=a,则当|a|≥2时,x y=1/2(a (a~2-4)~(1/2))/(1/2) 1/2(a-(a~2-4)/(1/2))即: (?)显然1/2(a (a~2-4)/(1/2)) 1/2(a-(a~2-4)/(1/2))=a 1/2(a (a~2-4)/(1/2))·1/2(a-(a~2-4)/(1/2))=1 故1/2(a (a~2-4)/(1/2))与1/2(a-(a~2-4)/(1/2))互为倒数,从而公式(*)我们称作倒数关系公式。运用构造倒数     

一类代数式的求值方法新议

题:当 x=2-3~(1/2),求代数式:(7+43~(1/2))x~2+(2+3~(1/2))x+3~(1/2)的值.解等此题一般是直接把 x 的值代入所求式进行计算.而事实上,只要善于将7+43~(1/2)变形为(2+3~(1/2))~2,这题应用代入法也的确是非常简单的.但如果我们设想把各项系数变化一下,比如把二次项系数7+43~(1/2)改变为11+73~(1/2),把一次项系数改成3+     

定和与定积的簡单性貭及其实际应用

最近,我们訪問了几个工厂,在逗留工厂期間,我們曾经不止一次地過到一些工人同志向我們提出有关合理下料和元件的切削問題,經我們研究确定,这些问题中的絕大部分都可用两个量或三个量的定和与定积的简单性质得到解决,而这些性质又可以直接由初中代数里的乘法公式推得,因此容易为大多数工人同志所接受,而对中学生来說也是容易理解的。一、二个正量的定和与定积的性質 設x与y是任意的两个正量,則(x~(1/2)-y~(1/2))~2不会是負的,即 (x~(1/2)-y~(1/2))~2≥0,其中等式仅当x=y。时成立,由此,我們有 x-2xy~(1/2) y≥0,x y≥2xy~(1/2),或x y/2≥cy~(1/2)。(1)如此,假定量x与y变化,但其和x y=A保持定量,則由(1)易知其乘积xy总小于或等于一个定量(A/2)~2,而仅当x=y时,始有xy=(A/2)~2,因此,我們有結論:     

求值问题巧解

一些求值问题设字母替换来解,方法别具一格。今举例给予说明。例1 求(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)的值。解:设x=(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)则 x~2=((2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2))~2=2+3~(1/2)+2(((2+3~(1/2))((2-3~(1/2)))~(1/2)+2-3~(1/2) =4+2(2~2-(3~(1/2))~2)=6 ∴x=±6~(1/2) (-(6~(1/2))不合题意舍去) 因此,原式=6~(1/2)。例2 求 (4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3)…的值。解:设x=(4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3) 则 x~3=4-3((4-3((4-3~(1/3))))~(1/3)…即 x~3=4-3x。∴x=1注:例2应该先证其存在性之后才能设,这     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

方程(A-(A-)~(1/2)…-(A-X)~(1/2))~(1/2)=X与(A-X)~(1/2)=X同解的条件

关于方程(a+(a+…+(a+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a+x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文已圆满地解决了。关于方程(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文只是指出它们一般不同解,至于它们在什么条件下同解,[1]文未讲。如果弄清了在某种条件下(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x同解,那么在这种条件下解前面这个方程就是非常方便的事情了。这就促使我们去探讨(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=与(a-x)~(1/2)=x同解的条     

对课本一道有关最值例题的推广

高中课本第二册P88的例3是有关最值的一个例题,题目为: “己知x,y∈R~ ,x y=S,x·y=P,求证: ①如果P的定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。(2(p)~(1/2)) ②如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。(S~2/4) 事实上,上述结论包含在恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/4(x,y∈R~ ,x≥y)中,如果我们认真分析恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/(4)x、y ∈R~ ,x≥y,便可得到如下的结论。 (1)当积xy为定值时,和x y的值随差x -y的增大而增大。当且仅当差x-y取得最     

解方程(2+(2+(2+X)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的

探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2殊解法时,联想到方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与力程x=(a±x)~(1/2)是否等价的问题。如果结论成立,则x=1/2((4a+1)~(1/2))±1)就是方程 (a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x的根,这样不仅可使这种形式的方程有了较为简捷的求解公式,而且也为形如(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=b的方程提供了一种极为简便的解法。事实上,若a>0,x>0,则     

倍边公式的簡化形式

学生在求边数倍增的圓內接正多边形的边长时,宁可采取別的方法,却很少运用現成的倍边公式。高中平面几何課本中关于圓的內接正多边形的倍边公式是这样給出的: a_(2n)=(2R~2-R(4R~2-a_n~2)~(1/2))~(1/2) (1)如果将(1)式根据代数上所讲的公式(a-b~(1/2))~(1/2)== ((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)-((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)进行变换,可变成a_(2n)=R((1 ((a_n)/2R))~(1/2)-(1-((a_n)/2R))~(1/2)) (2) (2)式和(1)式比較起来,不但形式簡单,便于記忆;而且由于(2)式比(1)式少了一层开方运算,也容     

分式运算中的非常规解题

1.巧施约分。实现通分[例1]计算x2 2xy y2/x2y xy2-x2-2xy y2/x2y-xy2. 分析将算式中的两个分式的分子、分母分别分解因式,约去公因式就可使两个分式的分母相同.解原式=(x y)2/xy(x y)-(x-y)2/xy(x-y) =x y/xy-x-y/xy=(x y)-(x-y)/xy     

浅谈解题中辅助方程的制作

有些练习题所要求解决的问题,表面上看并非属于某类方程。但是,如果在解题过程中,适当地制作辅助方程,可能使问题解决得更为方便一些。例如在实数范围内将二次多项式3x~2-5x-11分解为两个一次因式的乘积。我们引进一个辅助方程3x~2-5x-10=0,应用公式解得 X=5±(157~(1/2)),于是得到 3x~2-5x-11=3(x-(5+157~(1/2))/6 x-(5-(157~(1/2))/6 又如,解方程组x+y=a,xy=b.时,可制作一种方程u~2-au+b=0,求得u_1、u_2,从而方便地得到方程组的二解为x=u_1,y=u_2;及x=u_2,y=u_1。再如求函数y=ax~2+bx+c的极值时,我们     

用“判别式法”求极值辨析

求二次函数型的极值常可运用“判别式法”(以下简称“△法”)。但运用“△法”求极值可能产生增解或失解,学生在解题时常常忽略这个问题而出现一些错误,下面略举几例说明: 例1 求函数y=2-(4/x)-3x的极值(x>0) 错解函数可变形为3x~2+(y-2)x+4=0 (1) ∵x∈R ∴△=(y-2)~2-4·3·4≥0 解之得 y≤2-(4(3)~(1/2))或y≥2+4(4)3~(1/2)。简析:y极小=2+4(3)~(1/2)了就是用“△法”产生不符合题意的答案,事实上,当y=2+4(3)~(1/2)时,方程(1)化为3x~2+4(3)~(1/2)x+4=0(3~(1/2)x+2)~2x=-(2(3)~(1/2))/3<0。     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

从条件或结论的特殊性入手

数学习题都包含已知条件和所求结论两部分,有些题目的条件或结论常存在特殊性,在解题时,注意到这一点,常可找到解题捷径。例1 解方程3/(x+4)/(1-x~2)~(1/2)=10 分析此为分式无理方程,若去分母化为有理方程来解,不仅计算很繁,而且还会出现高次方程。如能抓住已知条件中的两个分母和它们之间关系的特殊性,即(1-x~2)~(1/2)有意义,故|x|≤1,且x~2+((1-x)~(1/2))~2=1,自然会想到|sinα|≤1     

一个式子等于两个值

题目2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=? 解设2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=x,则(2~(1/2))~x=x(*) 由观察法易知x=2或x=4。∴2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=2或4。一个数式等于两个值是不可能的,上面解得的两个答案中肯定有一个值应舍去,但把x=2和x=4代入方程(*)都适合,那么究竟应舍去哪一个值     

剖析一道习题解法错误

在我们平时教学中,学生做错练习题是常见的,但主动寻找错误原因的同学还很不多。在解题过程中,对错误解法进行分析,找出病因,对巩固基础知识,提高解题能力是非常必要的。下面仅就一道习题几种常见错误解法进行剖析,并提出正确的解法,供参考。题目设x、y为正变数,a、b为正常数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值。错解一∵a、b、x,y为正数,∴a/x及b/y均为正数,∴a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)),而a/x+b/y=1.∴(ab/xy)~(1/2)≤1/2.∴(xy/ab)~(1/2)≥2∴xy~(1/2)≥2((ab)~(1/2)),又∵x+y≥2((xy)~(1/2))∴x+y≥4((ab)~(1/2)),∴x+y的最小值为4(ab)~(1/2)     

不等式证明技巧拾零

不等式的证明方法繁多,技巧性强。本文介绍几点技巧,化未知为已知以供读者参考。 1.凑配利用拆项把求证的不等式凑配成重要不等式的形式。例1.已知x>y>0,xy=1。求证(x~2+y~2)/(x-y)≥2(2~(1/2))。思考:若把条件化成y=1/x代入会出现高次幂,能否运用重要不等式a+b≥2(ab~(1/2))呢,关键在于考察x~2+y~2与x-y的关系,得x~2+y~2=(x-y)~2+2xy,这样就凑配成重要不等式的形式了。