无限元方法及其应用

限元是几何上趋于无穷的单元,它是一种特殊的有限元,也是对有限元在求解无界域 问题上的有效补充, 并可实现与有限元间的无缝连接.无限元分为映射无限元和非映射 无限元:映射无限元需要引入几何映射,在局部坐标系中构造插值形状函数,如Bettess 元和Astley元;非映射无限元则直接在整体坐标系中构造插值形状函数,如Burnett元. 本文评述求解无界域问题的无限元方法的研究现状和最新发展.首先介绍无限单元的概念 和无限元方法的特点;围绕求解以Helmholtz方程控制的波动问题,评述几种常规无限单 元的优劣,这些单元包括Bettess元、Astley元和Burnett元.然后介绍新近提出的广义 无限元方法,以及与常规无限元方法的区别与联系.最后对无限元方法在各种问题中的 应用做了总结.     

Plane infinite analytical element and hamiltonian system

IntroductionManyinfiniteproblemscanbefoundincivilengineering ,suchastunnelconstruction ,structurefoundation ,etc ..Forotherengineeringproblems,whenthephysicaldimensionsofanobjectaresmallandthesurroundingmediaorstructuresaremuchbiggerthantheobject,thenumericalcalculatingmodelcanbetreatedasoneinaninfinitefield .Sofar,onlyafewanalyticalsolutionsforinfinitefieldproblemscanbefound[1- 3].ManyprojectsrelatedtoinfinitefieldproblemsaresolvedbytheFEM ,whereinfiniteelementmethodsareused[4 ,5 ].Sometime…     

声辐射问题的二级分形有限元方法

利用分形有限元和常规有限元相结合的方法对中低频段声辐射问题进行了分析.由于引用了分形比α和能够自动满足无限远辐射边界条件的全域插值函数,大大降低了未知量的个数,从而可以在较短的计算时间和较低的内存消耗的条件下高效地解决问题.计算实例表明这种方法对于求解无界域声场问题是有效的.     

动态断裂力学的无限相似边界元法

对弹性动力学的相似边界元法进行了进一步研究,推导了相应的计算公式,并在此基础上提出了动态断裂力学的无限相似边界元法.与传统的边界元法相比,相似边界元法由于只需在少数单元上进行数值积分,大大减少了计算量.对动态断裂力学问题,无限相似边界元法由于在裂纹尖端的边界上设置了逼近于裂纹尖端的无限个相似边界单元,可直接得到裂纹尖端具有奇异性的应力,而不需要设置奇异单元,从而突破了奇异单元对应力奇异性阶次的局限.另外,还讨论了无限相似边界元法得到的无限阶的线性代数方程组的求解方法.     

二维水下声辐射问题的改进径向基点插值法研究

径向基点插值法是一种典型的无网格数值计算方法,在分析声学问题时,相比于传统有限元法能更好地抑制频散误差,且在相同的节点分布下通常可以得到更精确的数值解。本文提出一种改进的节点选取方案用于构造插值形函数,即改进径向基点插值法。该方案采取一个简单而直接的格式,可确保在进行数值积分时同一背景积分单元中的被积函数是连续可微的,从而减小数值积分误差,得到比原始径向基点插值法更精确的数值解。同时,为了处理外声场问题,本文采用DtN映射技术将无限域截断为有界计算域,满足索默菲尔德辐射条件。数值试验表明,相比于传统有限元法和原始径向基点插值法,本文改进方法具有更高的计算精度和计算效率,在研究水下声辐射问题时具有良好的应用前景。     

多边形有限元研究进展

有限元法是数值求解偏微分方程边值问题的重要方法,采用不规则多边形单元网格, 可以方便有效地模拟材料的力学性能, 又使得区域网格剖分变得灵活方便. 特别是对于复杂的几何形状, 多边形单元网格具有更大的优势. 本文对国内外有关多边形有限元法的最新进展作了初步的总结和评述, 主要以基于位移法的多边形有限元为主.论述了多边形有限元的发展历史, 给出了多边形单元上的Wachspress插值、Laplace插值和重心坐标的一些最新研究成果. 与经典有限元法形函数为多项式形式不同, 多边形单元的形函数为有理函数或者无理函数形式. 多边形单元插值形函数满足线性完备性, 可以再现线性位移场, 像经典有限元法一样直接施加本质边界条件; 插值函数在多边形的边界上是线性的,确保不同单元间的自动协调. 不同单元的插值形函数表达公式形式统一, 方便混合单元网格计算的程序编写. 提出了多边形有限元法今后需要研究的问题.      

Acoustic simulation using a novel approach for reducing dispersion error

It is well‐known that the traditional finite element method (FEM) fails to provide accurate results to the Helmholtz equation with the increase of wave number because of the ‘pollution error’ caused by numerical dispersion. In order to overcome this deficiency, a gradient‐weighted finite element method (GW‐FEM) that combines Shepard interpolation and linear shape functions is proposed in this work. Three‐node triangular and four‐node tetrahedral elements that can be generated automatically are first used to discretize the problem domain in 2D and 3D spaces, respectively. For each independent element, a compacted support domain is then formed based on the element itself and its adjacent elements sharing common edges (or faces). With the aid of Shepard interpolation, a weighted acoustic gradient field is then formulated, which will be further used to construct the discretized system equations through the generalized Galerkin weak form. Numerical examples demonstrate that the present algorithm can significantly reduces the dispersion error in computational acoustics. Copyright © 2016 John Wiley & Sons, Ltd.     

多边形有限单元形函数的比较研究

多边形有限单元形函数有wachspress插值、Laplace插值和平均值插值三种类型.本文对三种多边形有限单元形函数的性质作了比较研究,给出了三种形函数各自的优点和局限性.Waclaspress和Laplace形函数是有理函数形式,而平均值形函数是无理函数形式.三种形函数均满足单位分解性、线性完备性,且在单元边界上呈线性.在三角形单元上,它们都等价于三角形面积坐标插值.在矩形单元上,Wachspress和Laplace形函数等价于双线性多项式插值形函数.Wachspress和平均值形函数适用于任意凸多边形单元,Laplace形函数更适用于圆内接多边形单元.Wachspress形函数不能推广到含有边节点的单元,平均值形函数可以直接推广到含有边节点的单元.数值试验,验证了本文理论分析的结论.     

An effective boundary element method for analysis of crack problems in a plane elastic plate

A simple and effective boundary element method for stress intensity factor calculation for crack problems in a plane elastic plate is presented. The boundary element method consists of the constant displacement discontinuity element presented by Crouch and Starfield and the crack-tip displacement discontinuity elements proposed by YAN Xiangqiao. In the boundary element implementation the left or the right crack-tip displacement discontinuity element was placed locally at the corresponding left or right each crack tip on top of the constant displacement discontinuity elements that cover the entire crack surface and the other boundaries. Test examples (i. e. , a center crack in an infinite plate under tension, a circular hole and a crack in an infinite plate under tension) are included to illustrate that the numerical approach is very simple and accurate for stress intensity factor calculation of plane elasticity crack problems. In addition, specifically, the stress intensity factors of branching cracks emanating from a square hole in a rectangular plate under biaxial loads were analysed. These numerical results indicate the present numerical approach is very effective for calculating stress intensity factors of complex cracks in a 2-D finite body, and are used to reveal the effect of the biaxial loads and the cracked body geometry on stress intensity factors.     

焊接结构应力场计算中的一类五面体可变节点等参单元

本文应用三维有限元理论，构造了一类五面体６～１５节点等参单元的形函数，提出了在五面体单元内的Ｇａｕｓｓ积分处理方法，建立了相应的单元刚度矩阵。这类单元的节点可以在６～１５之间任意选择。将其与ＳＡＰ５中的六面体８～２１节点等参单元匹配，计算了对接板接头的理论应力集中系数。经与有关文献结果比较表明：这类单元适合于计算焊接结构的应力场，并且具有良好的精度。     

区间B样条小波薄壳截锥单元构造

利用区间B样条小波的尺度函数作为有限元插值函数,从轴对称壳的能量泛函出发,由变分原理导出了单元刚度矩阵和载荷列阵,构造了区间B样条小波薄壳截锥单元.区间B样条小波单元同时具有B样条函数数值逼近精度高和多种用于结构分析的变尺度基函数的特点.数值算例表明:与传统截锥单元相比,本文构造的小波单元具有求解精度高、单元数量和自由度少等优点.     

区间B样条小波平面弹性及Mindlin板单元构造研究

基于二维张量积区间B样条小波及小波有限元理论,构造了一类用于分析弹性力学平面问题和中厚板问题的C0型区间B样条小波板单元。在二维小波单元的构造过程中,传统多项式插值被二维区间B样条小波尺度函数取代,进而构造形状函数和单元。与小波Galerkin方法不同,本文构造的区间B样条小波单元通过转换矩阵将无明确物理意义的小波插值系数转换到物理空间。区间B样条小波单元同时具有传统有限元和B样条函数数值逼近精度高及多种用于结构分析的基函数的优点。数值算例表明:与传统有限元和解析解相比,本文构造的二维小波单元具有求解精度高,单元数量和自由度少等优点。     

功能梯度材料板件三维分析的半解析梯度有限元法

将半解析有限元与梯度有限元相结合,形成一种半解析梯度有限元来求解功能梯度材料板件问题。该方法兼有有限元法的适应性强、程序统一,半解析有限元法的节省单元与计算工作量,梯度有限元法的适应构件内部材料性能任意梯度分布等特点,并实现用一维数值计算给出构件三维分析结果。算例分析表明了方法的精度、功能与上述特点,充分揭示了功能梯度材料板件力学响应的三维形态。半解析梯度有限元法可推广应用到其他功能梯度材料面结构的各类分析中。     

薄板小波有限元理论及其应用

利用样条小波尺度函数构造了常用的三角形和矩形薄板单元的位移函数,得到了利用小波函数表示的形函数。采用合理的局部坐标,对单元进行压缩,使单元在局部坐标区间上有其值,成功地推导出了分域的三角形和矩形薄板小波有限元列式。在此基础上,提出了弹性地基薄板的小波有限元求解方法。通过两个算例对薄板的挠度和弯矩进行了计算,数值结果表明,求解结果具有收敛快、精度高的特点。     

基于径向基函数配点法的梁板弯曲问题分析

采用径向基函数配点法分析考虑剪切效应的梁板弯曲问题,该方法利用径向基函数作为近似函数,基于配点法离散方程,通过最小二乘法求解.径向基函数配点法在离散和计算过程中不需要划分任何形式的网格,是一种真正的无网格法;径向基函数可以用一元函数来描述多元函数,存在明显的储存和运算简单的特点;而基于配点法求解不需要积分,提高了计算效率.分析考虑剪切效应的薄梁板问题时,传统的有限元法或无网格法求解均会存在剪切锁闭问题,而径向基函数在全域内存在无限连续性,能够准确地满足Kirchhoff约束条件,因此径向基函数配点法能够消除剪切锁闭现象,而且不会出现应力波动.该方法的优势在于,其不仅易于离散、精度高,而且具有指数收敛率,计算效率高.数值算例验证了上述结论和该方法的稳定性.     

MODE III 2-D FRACTURE ANALYSIS BY THE SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT METHOD

The scaled boundary finite element method （SBFEM） is a novel semi-analytical technique that combines the advantages of the finite element method and the boundary element method with unique properties of its own. This method has proven very efficient and accurate for determining the stress intensity factors （SIFs） for mode I and mode II two-dimensional crack problems. One main reason is that the SBFEM has a unique capacity of analytically representing the stress singularities at the crack tip. In this paper the SBFEM is developed for mode III （out of plane deformation） two-dimensional fracture anMysis. In addition, cubic B-spline functions are employed in this paper for constructing the shape functions in the circumferential direction so that higher continuity between elements is obtained. Numerical examples are presented at the end to demonstrate the simplicity and accuracy of the present approach for mode Ⅲ two-dimensional fracture analysis.     

Structural–acoustic sensitivity analysis of radiated sound power using a finite element/ discontinuous fast multipole boundary element scheme

The complete interaction between the structural domain and the acoustic domain needs to be considered in many engineering problems, especially for the acoustic analysis concerning thin structures immersed in water. This study employs the finite element method to model the structural parts and the fast multipole boundary element method to model the exterior acoustic domain. Discontinuous higher‐order boundary elements are developed for the acoustic domain to achieve higher accuracy in the coupling analysis. Structural–acoustic design sensitivity analysis can provide insights into the effects of design variables on radiated acoustic performance and thus is important to the structural–acoustic design and optimization processes. This study is the first to formulate equations for sound power sensitivity on structural surfaces based on an adjoint operator approach and equations for sound power sensitivity on arbitrary closed surfaces around the radiator based on the direct differentiation approach. The design variables include fluid density, structural density, Poisson's ratio, Young's modulus, and structural shape/size. A numerical example is presented to demonstrate the accuracy and validity of the proposed algorithm. Different types of coupled continuous and discontinuous boundary elements with finite elements are used for the numerical solution, and the performances of the different types of finite element/continuous and discontinuous boundary element coupling are presented and compared in detail. Copyright © 2016 John Wiley & Sons, Ltd.     

受热载荷两相材料界面端应力场的新型有限元分析

基于一种特殊有限元特征分析方法获得两相材料界面端奇异性应力和位移场数值特征解,据此开发了一种新型超级单元模型,用于分析热机耦合载荷作用下两相材料界面端的应力场.与机械载荷作用下超级单元模型的区别在于,该模型在能量泛函中考虑了热机耦合的影响,将应力场分为奇异项和非奇异项,而奇异性项又可分解为热致部分和力致部分.模型的有效性通过了经验解和传统有限元方法的验证;模型可以避免在界面端邻域网格高度加密,提高了计算速度,对于分析多奇异性点应力干涉问题有重要意义.     

框架结构屈曲的精确有限元求解

基于屈曲微分控制方程的一般解,构造了Euler梁在轴力作用下的精确形函数,建立了用于框架结构屈曲分析的精确有限单元,得到了单元刚度矩阵和几何刚度矩阵的显式表达,并提出了基于常规特征值计算的迭代算法以确定屈曲载荷及相应失稳模态的精确解. 研究表明, 对于线性稳定性分析而言,常规框架有限单元可视为精确有限单元的一种近似. 若采用精确单元,无需进行网格细分就可以获得精确的屈曲载荷和失稳模态. 数值算例证明了新单元和算法的效率和精度.      

平面广义四节点等参元GQ4及其性能探讨

广义节点有限元是将传统有限元方法中的节点广义化,在不增加节点个数的前提下,仅通过提高广义节点的插值函数的阶次,从而达到提高有限元解精度的目的.与现有的p型和hp型有限元不同,在这种新的有限元中,节点自由度全部定义在节点处,在理论与程序实现上与传统有限元方法具有很好的相容性,传统有限元方法是这种新方法的广义节点退化为0阶时的特殊情形.文中主要讨论了这一新方法的四节点等参元（记为GQ4）的形式.对GQ4进行的各种数值试验表明,所发展的广义四节点等参单元具有精度高且无剪切自锁与体积自锁等的特点.