关于贝努利不等式的探究拓展与应用

不等关系是最基本的数学关系,在数学研究和数学应用中起着重要的作用.《湖北省普通高中新课程数学教学实施指导意见》将《标准》中选修系列4第5专题不等式选讲作为指定学生修习ΧΟ的专题,而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式.《标准》对于贝努利不等式的教学提出了明确要求:     

《数学通报》2508号问题的加细与另证

《数学通报》2019年第10期数学问题2508是: 在锐角△ABC中,有1/cosA+1/cosB+1/cosC≥√3(1/sinA+1/sinB+1/sinC). 此问题黄兆麟老师把它转化为两个相关不等式,利用三角函数关系和熟知的三角恒等式以及均值不等式和切比雪夫不等式巧妙地给出了证明.     

应用排序不等式证题须注意的一个问题

排序不等式与柯西不等式是两个著名的不等式,普通高中课程标准已把它们列为选修内容,在普通高中课程标准实验教科书·《数学》·选修4-5·《不等式选讲》(人民教育出版社等编著·A版,下简称人教A版)中专门作了介绍,虽然这两个不等式以前属高中数学竞赛内容,但我们在教学中发现,一般学生对这两个不等式本身接受起来并不感到有什么困难,然而在应用它们证题时,却常常显得束手无策,特别是在应用排序不等式证题时出现了不容忽视的一个问题,先看下面的例题:     

关于三个未解决的不等式问题

通过求二阶导数或列举反例的方法可解决《常用不等式（第四版）》末尾提出的问题3、问题13和问题62,另外,利用Lyapunov不等式及Moran不等式可给出其问题190中一个不等式的下界.     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

平均不等式及其应用

不等式是中学数学的重要内容之一 ,而平均不等式是不等式中的重要不等式 ,这“重中之重”决定了它是永不衰退的高考热点 .事实也正是如此 ,近三年高考题中 ,1997年全国文、理第 2 2题 ,1998年全国文、理第 2 2题 ,1999年全国文、理第 2 0题都涉及到平均不等式 .因此正确理解、灵活运用平均不等式 ,掌握平均不等式求最值的技巧 ,将会使复杂的问题变得简单 ,收到事半功倍的效果 .1　正确理解平均不等式高中《代数》(必修 )下册Ｐ15第 11,12题所示两不等式稍作变形并结合起来是ａ2 ｂ22 ≥ ａ ｂ2 ≥ ａｂ≥ 21ａ 1ｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ ) .其推广…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

对《关于等差数列的一组不等式》一文中主要结果的意见

《关于等差数列的一组不等式》(作者续铁权 )发表在《数学通报》2 0 0 1年第 8期上 .该文的主要结果是一个定理 ,即文中的不等式 (6 ) ,不等式(7) ,和两个推论 ,即不等式链 (8) ,(9) ,还有 (8)的一个应用 ,即不等式链 (1 0 ) .经笔者验算后得知 ,(1 0 )对ｎ =1 ,2构不成不等式链 ,加之 (1 0 )中还有……表示蕴含更多的链 ,这就表明 ,链越多 ,对ｎ的限制越大、没有ｎ∈Ｎ普适意义 .(1 0 )中出现的问题在 (8) (也包括(9) )也类似地存在 .这样 ,此文的价值就受到很大的削减 .下面是笔者验算的主要结果 ,请编辑与作者细查 .当ｎ=1时 ,(1 0 )变成…     

应用柯西不等式的变换策略

柯西不等式是选修4-5《不等式选讲》模块考查的热点内容,近几年,浙江省高考对柯西不等式进行了深入考查.在学习和备考过程中,同学们普遍感到,柯西不等式形式优美、结构巧妙,是研究有关最值问题的一个强有力的工具,但最感困难的是怎样变换来沟通待解决问题与柯西不等式之间的联系,     

两个优美不等式的推广

本刊文[1]介绍了一组俄罗斯杂志《中学数学》刊登的不等式题，其中有下面的瓦西列夫不等式和彼得罗夫不等式：     

联系投影不等式Petty猜想的Lp-形式的不等式

在凸体理论中,投影不等式的Petty猜想是一个著名的公开问题.首先通过利用Lp-混合体积和Lp-对偶混合体积的概念、Lp-投影体和几何体Γ_pK的关系、Bourgain-Milman不等式和Lp-Busemann-Petty不等式,建立了一个联系投影不等式Petty猜想的Lp-形式的不等式.继而对于每一个关于原点对称的凸体,应用Jensen不等式和几何体Γ_pK的单调性,分别给出了投影不等式Petty猜想的Lp-形式的一个逆向不等式和Lp-Petty投影不等式的一个逆向不等式.     

一个特定型积分不等式若干推广的注记

《一个特定型积分不等式的若干推广》(《大学数学》29卷第1期)对一个积分不等式问题进行了若干推广.本文对相关结论的证明进行了简化,并对文中的部分结果给出了统一的、更精确的描述.     

关于某些不等式的极限形式

关于某些不等式的极限形式高军（安徽阜阳教育学院２３６０１６）《数学通报》１９８９年第７期发表的《某些不等式的极限形式》一文（以下简称文［１］），研究了从有穷不等式通过极限运算可得相应的积分不等式的条件，读后颇受教益和启发．笔者在教学中发现该文所给的定...     

不等式的解法

考点评析不等式的解法仍是高考命题的热点之一 ,不等式的有关内容仍将在函数、数列、几何、实际应用等有关的综合题中考查 .1.1　知识点剖析在熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式的解法基础上初步掌握其他一些简单的不等式的解法 ,如高次不等式、分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式的求解 ,一般是将它们进行同解变换 (即等价变换 )化为一元一次不等式 (组 )或一元二次不等式 (组 )后而得其解 .要注意对含字母系数的不等式须经讨论求解的问题 .1.2　思想方法化 (无理 )为有理 ,化 (分式 )为整式…     

三元均值不等式的几何解释

针对选修4-5《不等式选讲》这一专题,《标准》指出:本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景,以加深学生对这些不等式的本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.均值不等式是该专题中介绍的几个     

《问题征解》栏目中几个优美不等式的简解与拓展

《数学通讯》上半月学生刊作为国内最优秀,最权威的期刊,其中《问题征解》栏目每期都有有趣、新颖、灵巧的问题,这些问题有很好的研究价值.其中不等式问题每期都有,笔者对最近几期的不等式问题进行了研究,例1,例2,例4的证法不同于原证法,比原证法简洁;例3,例5是对第11,12期问题提供的解法,并得到一些副产品.现整理成文,以飨读者.     

减少放缩次数 优化放缩工具——不等式加强的两条可行之路

一般地,对于两个不等式A和B,如果有AB,但B/A,我们就说不等式A比B强(或B比A弱).如果有AB并且BA,就说A与B是等价的不等式(简称A与B等价),记作AB.弄清一些现有不等式的强弱、等价关系,或者寻求比现有不等式更强的不等式,这些都是很有意义的工作.本文将结合具体的例子谈谈不等式的加强.证明不等式的关键在于放缩,要想加强已有的不等式,还得从放缩说起.     

推介一组优美的国外代数不等式竞赛题

不等式证明是各级各类数学竞赛的热门话题,在2012年国外的数学竞赛里,出现了许多优美的不等式证明题,笔者收集整理了当中的一部分,作为新颖的竞赛辅导资料必是有益的.对于这些不等式的证明,其关键是恰当的代数变形,以及适时利用均值不等式、柯西不等式.     

在阅读与思考中学习数学

安振平老师在文[1]中,谈了如何从△ABC中的常见不等式sinA＋sinB＋sinC≤3／3/2演绎深化,编拟出《数学通报》数学问题1753的经过,说明一些新的代数不等式问题,其生成的根源可能是某些常见的三角形不等式．读后很受启发,笔者通过类比,发现下面的许多不等式问题虽然形态各异,却有着内在的联系,     

一个不等式及其推广和变式研究

首先介绍一个不等式,它能把一类不易求和的分式放缩为容易求和的分式,用它简捷地证明了《数学通报》问题2587及其推广,并探究给出这个不等式的一个变式及其推广.