Bootstrap – oder die Kunst, sich selbst aus dem Sumpf zu ziehen

Zusammenfassung  Computerbasierte Methoden haben die Anwendungsbreite der Statistik enorm erweitert. Simulationstechniken erlauben neue Zug?nge zu komplexen Fragestellungen, die traditionell nur unter sehr restriktiven Annahmen m?glich waren. Implementierung und Anwendung von rechenintensiven Algorithmen bieten neue M?glichkeiten, das für die Inferenzstatistik zentrale Konzept der Stichprobenverteilung transparenter und besser greifbar zu machen. Der Aufsatz diskutiert didaktischen Nutzen und mathematische Aspekte des Bootstrap-Verfahrens. Wir illustrieren das Verfahren mit einem Beispiel aus der Publikationsgeschichte der Semesterberichte. Mathematics subject classification (2000)  62-01, 62F40     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Compressible laminar boundary layer behavior studied by a finite difference method

Zusammenfassung Die L?sung des Systems der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen der laminaren kompressiblen Grenzschicht bereitet erhebliche mathematische Schwierigkeiten. In dieser Arbeit wird ein Differenzenverfahren benutzt, um die Str?mung entlang einer gekrümmten Wand zu untersuchen. Analytische Bedingungen für seine Stabilit?t sind angegeben, und die Konvergenz der L?sung gegen die L?sung des Differentialgleichungssystems ist durch Vergleichsrechnungen mit verschiedener Schrittweite erprobt. Der Einfluss von beliebigen Druck- und Temperaturverteilungen ist an einer Reihe von Beispielen untersucht. Da das Verfahren Energiedissipation und Ver?nderlichkeit der Dichte und der Z?higkeit vollst?ndig berücksichtigt, sind seine Ergebnisse benutzt, um die Vereinfachungen kritisch zu diskutieren, die so oft angewendet werden, um die analytische L?sung des Problems zu erleichtern.

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This research was supported by the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command under Contract AF 18(600)-1488.     

Remarques sur l'écoulement tourbillonnaire autour des ailes en flèche

Zusammenfassung Der Verfasser behandelt die Wirbelstr?mung um Pfeilflügel. Diese Str?mung ist, bei etwas h?heren Anstellwinkeln, gekennzeichnet durch die Ausbildung einer Singularit?t, die er ?Wickelfl?che? (nappe en cornet) nennt. Die Konfiguration am Rand dieser Wirbelfl?che wird analysiert. Weiter wird das Bild einer konischen Str?mung für einen unendlichen Delta-Flügel untersucht; dabei wird genauer auf den Sinn der Singularit?ten eingegangen, die zu den Wirbeln der ?Wickelfl?che? oder den von der Pseudo-Str?mung in einer Querebene gebildeten Wülsten dieser Fl?che hinzugefügt werden, und die den Charakter von Quellen oder Senken haben. Der Verfasser diskutiert die Bedeutung der Staupunkte, der Trenn- und Abl?sungs-Linien und legt dar, wie man die Ausbildung der Wülste und weiter der ?Wickelfl?che? selbst als das Ergebnis des Zusammenfliessens der beiden Grenzschichten von Ober- und Unterseite auffassen kann, wobei diese letztere zur Oberseite hinüberstr?mt. Schliesslich wird die Bildung von Gegenwirbeln untersucht. O. N. E. R. A. (Office national d'études et de recherches aéronautiques).     

Theoretical aspects of the calibration of transonic test sections

Zusammenfassung Es werden einige theoretische Betrachtungen zum Problem der Kalibrierung einer Windkanalme?strecke im Schallgeschwindigkeitsbereich angestellt. Zun?chst wird angenommen, die Ausbildung der W?nde der Me?strecke sollte so vorgenommen werden, dass das gr?sstm?gliche Modell bei Schallgeschwindigkeit darin untergebracht werden kann. Durch Anwendung des ?hnlichkeitsgesetzes für schallnahe Str?mung und der Fl?chenregel auf die Str?mung im Messquerschnitt scheint eine betr?chtliche Verminderung des Arbeitsaufwandes, die eine solche Kalibrierung der Me?strecke für schlanke Modelle erfordern würde, m?glich zu sein. Dies ist besonders zutreffend für Messquerschnitte mit L?ngsschlitzen konstanter Breite, wo die für den Wandeinfluss gleich Null bei Schallgeschwindigkeit erforderliche Anordnung der Schlitze sich auch brauchbar erweist für eine grosse Gruppe von Modellen verschiedener Gr?sse und Form (vorausgesetzt, dass der Einfluss der Wandgrenzschicht vernachl?ssigt werden kann). Die Ableitung ergibt, dass das Verh?ltnis des Modellquerschnittes zum Messquerschnitt kein brauchbares Mass für die Gr?sse des Wandeinflusses darstellt. Vielmehr scheint das gr?sste zul?ssige Fl?chenverh?ltnis, das zu einer vorgegebenen relativen Gr?sse des Wandeinflusses geh?rt, stark vom Dickenverh?ltnis des Modelles abh?ngig zu sein, so dass ein schlankeres Modell auch kürzer sein müsste. Die asymptotische Grundl?sung der Potentialgleichung für achsensymmetrische Schallstr?mung nachGuderley undYoshihara wurde zur Absch?tzung der genauen Spaltbreite für sehr kleine Modelle verwendet, und es ergibt sich, dass in diesem Falle die genaue Einstellung der Spaltbreite nicht besonders kritisch ist. Der Haupteffekt einer Ver?nderung der Spaltbreite besteht in einer ?nderung der Mach-Zahl-Korrektur stromaufw?rts vor der Me?strecke.      

Magneto-gasdynamic channel flow

Zusammenfassung Die Gleichungen für die ?quasi-eindimensionale? Str?mung eines elektrisch leitenden Gases werden im Falle eines Stromfadens mit ver?nderlichem Querschnitt hergeleitet, wobei die Str?mung unter dem Einfluss eines elektrischen und magnetischen Feldes steht. Obwohl kein allgemeines Integral angegeben werden konnte, ergeben sich interessante Folgerungen für die Beschleunigung der Str?mung und für die ?nderung der Mach-Zahl. Zum Beispiel kann in gewissen Geschwindigkeitsbereichen eine überschallstr?mung ?magneto-gasdynamisch? auch bei konstantem Str?mungsquerschnitt beschleunigt werden. Bei variablem Querschnitt sind die Gleichungen für einen besonderen Fall integriert worden; das Ergebnis dieser Integration kann als weiteres Beispiel für die Veranschaulichung der Wirkung einer elektromagnetischen Energiezufuhr dienen. Die auch bei konstantem Querschnitt bestehenden mannigfaltigen M?glichkeiten werden für verschiedene Anfangsbedingungen diskutiert, wobei F?lle sich zeigen, bei denen Beschleunigungen und Verz?gerungen mit Durchg?ngen durch die Schallgeschwindigkeit auftreten sowie auch neue F?lle von ?Blockierungen? sich offenbaren.      

Virtuelle Welt

Zusammenfassung. Die Notwendigkeit, virtuelle Welten zu entwerfen und mit ihnen als Modellen zu operieren, ergibt sich aus der Conditio Humana, der Grundbefindlichkeit des Menschen in der Welt. Der Begriff des Virtuellen hat auch mathematische Aspekte, nicht nur dadurch, da? manche mathematischen Objekte als virtuell bezeichnet werden, sondern in einem umfassenderen Sinn: die Entwicklungen dieses Jahrhunderts haben die Mathematik in den Stand gebracht, vollst?ndige virtuelle Welten selbst entwerfen zu k?nnen. Die virtuelle Welt der Computersysteme ist ein Produkt dieser Entwicklung und kann als Ver wirklichung von Visionen Teilhard de Chardins aufgefa?t werden. Eingegangen am 08.02.1999 / Angenommen am 23.06.1999     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

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This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

Der Satz von Bell und das Konsistenzproblem gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Der Satz von Bell behauptet, da? die Existenz von sogenannten objektiv Einstein-lokalen verborgenen Variablen und die Quantenmechanik unvereinbar sind. Der von Bell gegebene Beweis ist rein mathematischer Natur und schlie?t eine gewisse Klasse von verborgenen Variablen aus. Bells Beweis beruht auf der nun berühmten Bellschen Ungleichung, die eng mit dem Konsistenzproblem von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für drei Paare von Zufallsver?nderlichen verbunden ist. Ziel dieser Arbeit ist es, einen überblick über diesen Gedankenkreis zu geben, sowie eine Reihe von weiteren in der Literatur erschienenen Beweisans?tze zu analysieren und gleichzeitig zu zeigen, da? man mit diesen Beweismethoden nicht alle Einstein-lokalen verborgenen Variablen ausschlie?en kann.     

Magnetische Ladungen

Zusammenfassung Es kann in der Praxis sinnvoll sein, für physikalische Vorg?nge mathematische Modelle zu betrachten, die mehr enthalten als die Realit?t. Dies gilt insbesondere dann, wenn das Modell für Computersimulationen verwendet wird. Als Beispiel werden elektromagnetische Wellen gezeigt, deren Simulation tats?chlich besser gelingt, wenn man magnetische Ladungen ins mathematische Modell einführt.     

Magnetische Ladungen oder, warum es manchmal sinnvoll ist, etwas mathematisch zu modellieren, was es gar nicht gibt

Es kann in der Praxis sinnvoll sein, für physikalische Vorg?nge mathematische Modelle zu betrachten, die mehr enthalten als die Realit?t. Dies gilt insbesondere dann, wenn das Modell für Computersimulationen verwendet wird. Als Beispiel werden elektromagnetische Wellen gezeigt, deren Simulation tats?chlich besser gelingt, wenn man magnetische Ladungen ins mathematische Modell einführt.     

Kartenverteilungen bei Skat, Doppelkopf, Rommé und Canasta

Zusammenfassung  Es werden zwei Methoden angegeben, um die Anzahlen der verschiedenen Partitionen von Multimengen zu bestimmen. Dabei werden Anzahl und M?chtigkeiten der Partitionsmengen vorgegeben, und es wird für jede Partitionsmenge festgelegt, ob die Reihenfolge ihrer Elemente berücksichtigt werden soll oder nicht. Damit lassen sich die Anzahlen der Kartenverteilungen zahlreicher Kartenspiele berechnen. Beispielhaft werden die entsprechenden Zahlen für die Spiele Skat, Doppelkopf, Rommé und Canasta angegeben. Mathematics subject classification (2000)  05A15, 05A18     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Herausarbeiten funktionaler und dynamischer Aspekte von Parameterdarstellungen durch die Erstellung von Computeranimationen

Zusammenfassung Die Beschr?nkung des Unterrichts in analytischer Geometrie auf die Behandlung von Geraden und Ebenen führt zu einer Formenarmut des Unterrichts. Vielfach gewinnen Schüler zudem nur „statische“ Vorstellungen von Parameterdarstellungen und erfassen insbesondere die damit verbundenen funktionalen Beziehungen zwischen Parameterwerten und Punkten nicht. Die Einbeziehung von Computervisualisierungen und einfachen Animationen kann dazu beitragen, bei der Behandlung von Parameterdarstellungen oft vernachl?ssigte Gesichtspunkte „mit Leben zu erfüllen“. Zudem lassen sich dadurch Modellbildungen anregen, die zu Parametrisierungen interessanter Kurven führen. Es werden hierfür anhand von Geraden sowie als Bahnkurven aufgefassten Kreisen, Spiralen, Schraubenlinien und Wurfparabeln Vorschl?ge unterbreitet und entsprechende Vorgehensweisen skizziert.     

Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322

Ancient mathematical texts and artefacts, if we are to understand them fully, must be viewed in the light of their mathematico-historical context, and not treated as artificial, self-contained creations in the style of detective stories. I take as a dramatic case study the famous cuneiform tablet Plimpton 322. I show that the popular view of it as some sort of trigonometric table cannot be correct, given what is now known of the concept of angle in the Old Babylonian period. Neither is the equally widespread theory of generating functions likely to be correct. I provide supporting evidence in a strong theoretical framework for an alternative interpretation, first published half a century ago in a different guise. I recast it using regular reciprocal pairs, Høyrup's analysis of contemporaneous “naı̈ve geometry,” and a new reading of the table's headings. In contextualising Plimpton 322 (and perhaps thereby knocking it off its pedestal), I argue that cuneiform culture produced many dozens, if not hundreds, of other mathematical texts which are equally worthy of the modern mathematical community's attention.Wir müssen frühe mathematische Texte und Objekte im Hinblick auf ihre mathematisch-historische Umgebung betrachten und sie nicht als künstliche, vollständige Schöpfungen im Stile von Detektivgeschichten behandeln, wollen wir sie verstehen. Als dramatische Fallstudies dient mir die Keilschrifttafel Plimpton 322. Ich zeige auf, dass die weitverbreitete Ansicht, so etwas wie eine trigonometrische Tabelle vor uns zu haben, nicht richtig sein kann, und zwar aufgrund unseres Wissens über die Vorstellung des Winkels in altbabylonischer Zeit. In gleiche Weise ist die gängige Theorie über erzeugende Funktionen wahrscheinlich falsch. Ich kann meine Neuinterpretation, die in einen stark theoretischen Rahmen eingebettet wird, mit Texten belegen. Hinter meiner Neuinterpretation liegt eine fünfzigjährige Theorie, die auf Bruins zurückgeht. Sie fundiert auf den Gebrauch von regelmassigen, reziproken Paaren, auf Høyrups Analyse der naiven Geometrie und auf eine neue Lesung der Überschriften der Tabelle. Indem ich die Keilschrifttafel Plimpton 322 in ihren historischen Kontext stelle, plädiere ich dafür, dass viele andere mathematische Texte mesopotamischen Ursprungs es ebenso verdienen, von uns beachtet zu werden. Copyright 2001 Academic Press.AMS Subject Classifications: 01A17; 01A85.     

Ein inverses Randwertproblem für elektrische Netzwerke

Zusammenfassung. Das inverse Randwertproblem ist die Frage, ob die Leitf?higkeit eines elektrisch leitenden inhomogenen K?rpers durch Messung von Str?men und Spannungen an der Oberfl?che allein schon bestimmt werden kann. Im vorliegenden Aufsatz wird das analoge diskrete Problem für elektrische Netzwerke im Anschlu? an Ideen von Curtis und Morrow behandelt und auf elementare Weise gel?st. Eingegangen 5.6. 1996 / Angenommen: 18.10.1996     

Kommunikative Rationalität, Logik und Mathematik

Zusammenfassung. In dieser Arbeit wird folgende These erl?utert und begründet: Sinn und Bedeutung von Mathematik liegen letztlich darin, da{?} Mathematik die rationale Kommunikation von Menschen wirksam zu unterstützen vermag. Dazu werden die Begriffe der kommunikativen Rationalit?t (im Sinne von Jürgen Habermas), der kommunikativen Logik (im Sinne der Peirceschen Sp?tphilosophie) und der kommunikativen Mathematik (im Sinne Allgemeiner Wissenschaft) ausführlich expliziert. Mit diesen Begriffen wird argumentiert, da? die Mathematik über ihre enge Verbindung zur Logik kommunikative Rationalit?t aktivieren und damit die rationale Kommunikation von Menschen wirksam unterstützen kann. Eingegangen: 13. Februar 2002 / Angenommen: 16. August 2002     

The generalized plane strain of an elasto-plastic material

Zusammenfassung Unter der Voraussetzung, dass der hydrostatische Druck nicht gross ist, tritt die Hauptspannung normal zur Ebene des verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustandes in der Fliessbedingung vonTresca nicht auf. Man kann zeigen, dass die Spannungs- und Geschwindigkeitsgleichungen für ein elastisch-ideal-plastisches Material hyperbolisch sind, wobei die beiden Charakteristikenscharen paarweise koinzident sind. Die auf die Charakteristiken bezogenen Gleichungen unterscheiden sich von denjenigen des starr-plastischen Materials nur durch die Gegenwart von vier Zusatztermen in jeder der Geiringer-Gleichungen.Für ein Material mit Verfestigung werden nur kleine Spannungen berücksichtigt, und es wird angenommen, dass die Gleichungen zwischen den Spannungen und den Gesamtdehnungen verwendet werden können. Unter diesen Voraussetzungen werden die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen elliptisch. Da alle Ableitungen stetig sind, existiert im plastischen Bereich eine Airysche Spannungsfunktion samt speziellen Ableitungen aller Ordnungen, und es kann gezeigt werden, dass sie einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Für einige einfache Probleme, bei denen die abhängigen Veränderlichen nur Funktionen einer der beiden unabhängigen Variablen sind, werden die Lösungen angegeben.Der Einfluss von Temperaturschwankungen kann sowohl bei idealplastischen Materialien wie auch bei solchen mit Verfestigung mitberücksichtigt werden.     

Numerische Schwingungssimulation: Modellierung und Algorithmen

Zusammenfassung. Diese Arbeit stellt die allgemeine Vorgehensweise der Numerischen Modellierung exemplarisch vor und führt bei (relativ) elementaren Voraussetzungen an den Leser in die numerische Simulation linearer und nichtlinearer Schwingungen ein. Im Zentrum steht eine direkte diskrete Modellierung und deren algorithmische Realisierung; in der Umgebung werden aber auch mathematische Fragestellungen aus der h?heren Analysis motiviert. Die Darstellung wird als Kern interdisziplin?rer Projekte zur Angewandten Mathematik und Physik in der gymnasialen Oberstufe vorgeschlagen. Lernziele sind dabei die Modellierung und Algorithmik von nichtlinearen Schwingungen elastischer Medien. Eingegangen am 21. M?rz 2001 / Angenommen am 30. Mai 2001