一个复数命题的证明与应用

命题设z∈C，a∈R，且az≠0，则为纯虚数．1证明思路1利用纯虚数的定义证法1设z=x yi，x、y∈R，因z≠0，故x、y不同时为零．于是，思路2利用共轭复数模的性质：思路3利用复数的几何意义证法4在复平面内，设复数z、a、-a所对应的点分别为P、A、B，如图1．因Z≠0，故P不可能是坐标原点即线段AB的中点．于是动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线且除去AB的中点的轨迹为虚轴为纯虚数．证法5在复平面内，设复数z、a所对应的点分别为P、H，以OA、OP为邻边作回O从P，如图2，则OC-OA＋AC-a十z，AP--OP--OA一z一a，于是，z-a一fi十。lpAP…     

复数的自白

我的英文名字叫complex number,我的形象a bi与众不同,是由实部a与虚数bi合成的;当b≠0时,人们特别地叫我《虚数》;当a=0时,又叫我《纯虚数》. 在数学王国,我的诞生是不易的,我走过的道路是曲折的:     

2006年高考模拟试卷(理科)

(时间:120分钟,满分150分)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.已知复数z满足(1-i)z=i,则|z|=2.已知集合S={x|y=lg(1-x)},T={x||2x-1≤3|}则S∩T=.3.在等差数列{an}中,已知a7=13,a15=29,则通项公式an=.4.若P是圆x2 y2-4x 2y 1=0上的动点,则P到直线4x-3y 24=0的最小距离是.5.若(sin2θ-cosθ) icosθ是纯虚数(i是虚数单位,θ∈(0,2π)),则θ的值为.6.函数y=sinxsinx 3π的最大值是.7.已知等比数列{an},如果a1 a2=12,a2 a3=-6,则li mn→∞Sn=.8.在△ABC中,a、b、c分别为∠…     

考点42 复数及其运算

1.(全国卷,1)复数2-i31-2i=().(A)i(B)-i(C)22-i(D)-22+i2.(湖南卷,1)复数z=i+i2+i3+i4的值是().(A)-1(B)0(C)1(D)i3.(山东卷,1)(11+-ii)2+(11-+ii)2=().(A)i(B)-i(C)1(D)-14.(福建卷,1)复数z=1-1i的共轭复数是().(A)21+12i(B)12-21i(C)1-i(D)1+i5.(天津卷,2)若复数a1++32ii(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为().(A)-2(B)4(C)-6(D)66.(江西卷,2)设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1z2为实数,则x=().(A)-2(B)-1(C)1(D)27.(广东卷,2)若(a-2i)i=b-i,其中a、b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=().(A)0(B)2(C)25(D)58.(重庆卷,2)(11+-ii…     

亚纯函数及其差分的唯一性

本文证明了:对具有两个Borel例外值a(∈C)和b(∈C∪{∞})的有限级超越亚纯函数,如果f(z+η)-f(z)和f(z)CM分担a,b,其中η(∈C)满足f(z+η)■f(z),那么b=∞,a=0且f(z)=ce~(c_1z),其中c,c_1为非零常数.     

与分担值相关的正规族

设F是一族平面区域D内的亚纯函数,a和b是两个满足a／b岳N＼{1}的有穷非零复数．如果每个函数f∈F都满足f（z）=a→f′（z）=a和f′（z）=b→f″（z）=b,那么函数族F在D内正规．构造了一个在单位圆内不正规的亚纯函数族,族中每个函数f在单位圆内满足f（z）=m＋1→←f′（z）=m＋1和f′（z）=1→←f″（z）=1,这里m是一个给定的正整数．     

武汉市2010届高中毕业生四月调研测试理科数学

一、选择题 1.如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为 A.1 B.2 C.-2 D.1或-2     

纯虚数的充要条件及应用

纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1　纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1　复数ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数的充要条件为ａ =0且ｂ≠ 0 .结论 2　复数ｚ是纯虚数的充要条件为ｚ ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) .证　 (充分性 )设ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ) .∵ｚ ｚ =0 ,∴ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ,∴ａ =0 .而ｚ为非零复数 ,则ｂ≠ 0 ,∴ｚ为纯虚数 .(必要性 )ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数 ,则ａ= 0且ｂ≠ 0 .∴ｚ =ｂｉ,则ｚ ｚ =ｂｉ …     

关于亚纯函数的Hayman方向

设f(z)为开平面上的亚纯函数,如果射线B:arg z=θ。满足条件,对任意的ε>0,复数a和b(≠0)以及正整数k,使得称射线B为f(z)的一条Hayman方向     

"三元等和代换"及其应用

对于任意的三个正数 x,y,z,总可以由另外的三个实数 a,b,c表示为 :( T)　x =- a b c,y =a - b c,z =a b - c.则易知 a >0 ,b >0 ,c>0 ,且x y z =a b c.我们称上述的代换为“三元等和代换”,以下简称 ( T)代换 .由 ( T)代换的结构形式 ,可以看出它有其明显的几何意义 :即 x,y,z是以 a,b,c为三边的三角形的任意两边之和与第三边的差 .由此 ,我们很自然地又会想到三角形的三边长 ,可由另外的三正数来表示 ,即 ( T)代换的逆代换 ( T) -1,从而有( T) -1　a =y z2 ,b =z x2 ,c =x y2 .显然　 x >0 ,y >0 ,z >0 .下面举例…     

关于亚纯函数的唯一性

设f（z）是非常数亚纯函数,n是正整数,F（z）=,其中aj（z）（j=0,1,2,…,n）均是f（z）的小函数．本文证明了：若f（z）满足N（r,f）=s（r,f）,且f（z）=b1（z）F（z）=b2（z）,这里b1（z）、b2（z）为f（z）的小函数,b1（z）0,b2（z）0,δ（0,f）＞,则或者f·Fb1·b2．     

关于Hayman方向

本文获得如下定理:设f(z)为开平面上λ(0<λ<+∞)级亚纯函数,则至少存在一条由原点引出的半直线(B):arg z=θ_?(0≤θ₀<2π),使得对于任意正数ε,任意正整数k及任意两个开平面上级小于λ的亚纯函数a(z)及b(z),只要b(z)—a^(k)(z)?0就有 lim log{n(r,θ₀,ε,f=a(z))+n(r,θ₀,ε,f^(k)=b(z))}/logr=λ。     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

关于亚纯函数的Hayman方向

定义1 设 f(z)为开平面上ρ(0≤ρ<+∞)级亚纯函数。B:argz=θ_0(0≤θ_0<2π)为原点出发的直线。若对任意正整数 l,任意正数ε,及任意两个有穷复数 a,b(b≠0)(?)(log+{n(r,θ,ε,f=a)+n(r,θ_0,ε,f~(l)=b)})/log     

W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

利用一题多解培养学生的创新意识

发散思维是培养和训练学生创新意识的较好方式之一 ,一题多解属发散思维的一种形式 ,在教学中 ,若能抓住一些典型题例 ,运用一题多解的教学方式 ,它将有益于学生创新意识的培养 .课例　已知复数 z1=3 i,| z2 | =2 ,z1z22 是虚部为正数的纯虚数 ,求复数 z2 .多数学生选用的是代数形式和三角形式 ,两种方法都是利用方程和不等式混合组求解 ,但解法均较复杂 .我首先启发他们 ,| z2 | =2 ,z1已知 ,z1z22为纯虚数 ,从模的角度入手呢 ?很快学生得出解法 3　∵　 | z1| =| z2 | =2 ,∴　 | z1z22 | =| z1| | z22 | =8,则　 z1z22 =8i,　 z22 =2 …     

2002年全国普通高等学校招生统一考试上海数学(理工农医类)试题及参考解答

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )本大题共有 12题 ,只要求直接填写结果 ,每个空格填对得 4分 ,否则一律得零分 .1.若 z∈ C,且 (3 z) i =1(i为虚数单位 ) ,则z =　　 .2 .已知向量 a和 b的夹角为 12 0°,且 | a| =2 ,| b|= 5 ,则 (2 a- b) .a=　　 .3.方程 log3 (1- 2 .3x ) =2 x 1的解 x =　　 .4 .若正四棱锥的底面边长为 2 3cm,体积为4 cm3 ,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是　　 .5 .在二项式 (1 3x) n和 (2 x 5 ) n的展开式中 ,各项系数之和分别记为 an、bn,n是正整数 ,则limn→∞an - 2 bn3an - 4bn =　　 …     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

■=z■z∈R的应用

如果复数z是实数,则z的共轭复数仍是它本身,反之也对,利用=zz∈R解决一些复数问题常常显得思路清晰,解答迅速准确。例1 名为虚数,且z 4/z为实数,求复数z的轨迹。解 z 4/z为实数:=z 4/z 4/=z 4/zz- 4/z-4/=0(z-)(1-4/)=0(z为虚数z-≠0)1-4/=0=4|z|=2。故满足条件的复数z的轨迹是以原点为圆心,以z为半径的圆(不包括与实轴的交     

涉及微分多项式的正规定则 献给杨乐教授80华诞

本文研究一类微分多项式的正规定则,得到下面的结果.设F为区域D内的一族亚纯函数,k≥4为正整数, a(z)(■0)、a1(z)和b(z)为区域D内的全纯函数.若a(z)=0时, f (z)≠∞且对于F中的每一个函数f,有f′(z)+a_1(z)f(z)-a(z)f~k(z)≠b(z),则F在D内正规.