B(■)的生成元

设H是复数域C上的可分Hilbert空间,B(■)是■上有界线性算子的全体.本文证明B(■)可以由三个投影生成,改进了C.Davis[2]的方法,使得第三个投影E3的取法更为灵活,证明更为简洁,获得了这样{E1,E2,E3}更多的族,并且给出当■是有限维情形时的证明。     

勾股定理的一个简洁证明

文[1]、[2]和[3]分别给出了勾股定理的三个简短证明,本文再给出一个更为简短而且整洁的证明.如图,Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对应的边,∠C=90°.     

一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...     

涉及两个三角形的一个命题

命题若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形.证明由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,因此,△A1B1C1是锐角三角形.下面证明△A2B2C2     

求解矩阵方程组A1XB1+C1XD1=E1,A2XB2+C2XD2=E2的迭代算法北大核心CSCD

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程组A1XB1＋C1XD1=E1,A2XB2＋C2XD2=E2在任意线性子空间上的约束解及其最佳逼近.可以证明,当矩阵方程组A1XB1＋C1XD1=E1,A2XB2＋C2XD2=E2相容时,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程组的约束解,极小范数解和最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

一个奥数问题的拓展及面积证明

<正>题目[1]如图1,已知两平行线l1、l2,A、B、C是l1上的三点,D、E、F是l2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.文献[1]里反复利用"l1∥l2"得比例式,使证明顺利完成.     

九年级数学科第二学期自测题

A组一、填空题1 .抛物线y=-2x2 -x+1的顶点在第象限 .2 .把函数y =-12 x2 的图像向右平移 1个单位 ,再向下平移 2个单位 ,所得图像的解析式为.3 .对于反比例函数y =-2x 与二次函数y =-x2+3 .请说出它们的两个相同点① ,②;再说出它们的两个不同点① ,② .4.函数y =x2 -2x -1 ,当x =时 ,y有最小值.5 .如图 ,△ABC中 ,BC =a .若D1,E1分别是AB ,AC的中点 ,则D1E1=;若D2 ,E2 分别是D1B ,E1C的中点 ,则D2 E2 =;若D3 ,E3 分别是D2 B ,E2 C的中点 ,则D3 E3 =;……依此类推 .若Dn,En 分别是Dn -1B ,En-1C的中点 ,则DnEn= ≠= .(n为…     

3×3上三角算子矩阵的Weyl型定理

设A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H3)为给定的三个算子,用M(D,E,F)= 表示一个作用在H1(?)H2(?)H3上的3×3算子矩阵．本文首先给出存在算子D∈B(H2,H1),E∈B(H3,H1),F∈B(H3,H2),使得M(D,E,F)为上半Fredholm算子(下半Fredholm算子)的充要条件．同时研究了3×3算子矩阵 M(D,E,F)的Weyl定理,α-Weyl定理,Browder定理和α-Browder定理．     

一道数学压轴题的代数法与几何法之比较

1 题目(2011年广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC =45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.(1)证明:B,C,E三点共线;(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN＝√2OM;     

理科(18)题别解

试题如图3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.     

纯无限单的C*-代数通过某些C*-代数扩张的非稳定K-理论

设0→B(j)→E(π)→A→0是有单位元C*-代数E的一个扩张,其中A是有单位元纯无限单的C*-代数,B是E的闭理想.当B是E的本性理想并且同时是单的、可分的而且具有实秩零及性质(PC)时,证明了Ko(E)={[p]| p是E\B中的投影};当B是稳定C*-代数时,证明了对任意紧的Hausdorff空间X,有(u)(C(X,E))/(u)o(C(X,E))≌K1(C(X,E)).     

三次曲线的两个性质

定理1若三次曲线f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)与x轴有三个不同交点,依次为A,B,C,如图1所示,自点A,C分别引曲线f(x)的切线,切点分别为D,E,则点D,E在x轴上的射影分别为线段BC,AB的中点.     

考点32 翻折与展开

1.(浙江卷,12)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于.第1题图第2题图2.(江西卷,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.3.(湖南卷,17)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形.将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2.()证明AC⊥BO1;()求二面角O-AC-O1的大小.第3题图1第3题图2考点3…     

纯无限单的C*-代数通过某些C*-代数扩张的非稳定K-理论

设0→B■E■A→0是有单位元C~*-代数E的一个扩张,其中A是有单位元纯无限单的C~*-代数,B是E的闭理想.当B是E的本性理想并且同时是单的、可分的而且具有实秩零及性质(PC)时,证明了K_0(E)={[p]| p是E\B中的投影};当B是稳定C~*-代数时,证明了对任意紧的Hausdorff空间X,有■(C(X,E))/■_0(C(X,E))≌K_1(C(X,E)).     

两个“三点共线”问题的妙证

<正>问题一^([1])如图1,已知两直线l_1与l_2不平行,A、B、C是l_1上的三点,D、E、F是l_2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.证明如图1所示,设直线KH分别交直线AE、CF于点G_1、G_2.则欲证G、H、K三点共线,     

第43届IMO美国队选拔考试

(有关本栏目稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系E -mail:xiongbin @sh16 3.net) ,或冯志刚 (2 0 0 2 31,上海市上海中学E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处 .)　　本期给出由湖南师大附中黄军华先生提供的第 4 3届IMO美国队选拔考试试题选登 .1　在△ABC中 ,证明 :sin3A2 +sin3B2 +sin3C2 ≤cos A -B2 +cosB -C2 +cosC -A2 .2　设n是大于 2的整数 ,P1,P2 ,… ,Pn 是平面上n个不同的点 ,S表示线段P1P2 ,P2 P3 ,… ,Pn -1Pn 上所有点的集合 .是否总是可以在S中找到点A ,B使得P…     

再探半角余弦和的上界

近期在阅读贵刊 2 0 0 2年第 3期时 ,看到了安徽师范大学的郭老师给出的《半角的余弦和上界的加强》一文 ,觉得证明较繁 .实际上利用柯西不等式结合恒等式 cos A cos B cos C =1 rR证明较为简便 .现证如下 :cos A2 cos B2 cos C2　≤ 3(cos2 A2 cos2 B2 cos2 C2 )　 = 32 (3 cos A cos B cos C)　 = 32 (3 1 rR) =6 3r2 R.另外我还利用均值不等式得到了关于半角余弦和的两个上界的一个隔离 .cos A2 cos B2 cos C2 =23.(32 cos A2 32 cos B2 32 cos C2 )≤ 13(94 cos2 A2 cos2 B2 cos2 C2 )=33 (174 r2 R) ,∵　 …     

第38届美国中学数学竞赛试题(AHSME)

1.(1+x~2)(1-x~8)等于(A)1-x~5;(B)1-x~6;(C)1+x~2 -x~3;(D)1+x~2-x~3-x~5;(E)1 +x~2-x~3-x~6。 2.如图所示,从边长为3的正三角形ABC中切去一角,得三角形BDE,其边长DB=EB=1,则剩余的四边形ADEC的周长是(A)6:(B)61/2;(C)7;(D)71/2;(E)8. 3.小于100且个位数是7的质数的个数是(A)4;(B)5;(C)6;(D)7;(E) 8.(A)6;(B)8:(C)31/2;(D)24;(E)512, 5.一个学生将一堆数据的数值分布的精确的百     

保持算子乘积投影的线性映射

设B(H)是复Hilbert空间H上的有界线性算子全体且dim H≥2.本文证明了B(H)上的线性满射φ保持两个算子乘积非零投影性的充分必要条件是存在B(H)中的酉算子U以及复常数λ满足λ~2=1,使得φ(X)=λU~*XU,(?)X∈B(H).同时也得到了线性映射保持两个算子Jordan三乘积非零投影的充分必要条件.     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…