Motion errors analysis and a contribution to numerical inverse kinematics for robot manipulators

Summary Since, for actual industrial robots, the kinematic models present certain inaccuracies due to a number of effects such as the mechanical tolerances, deformations of mechanical elements etc., the theoretic models must be modified to compensate the position and orientation errors. In this paper, methods of redeveloping the actual kinematic models and of compansating the theoretic models are presented. Besides, a simple method for calculation of the matrices of partial derivatives of the position and orienation vector with respect to link parameters vectors is also presented. Theoretically, the position and orientation errors due to the inaccuracy of link parameters can be eliminated by finding the actual joint coordinates. If the inverse kinematics of a robot has not closed-form solution, it's solved by numerical methods. We know that the selection of the initial point on iteration for a numerical iterative method is very important for the convergence and the converging velocity. In this paper, a reasonable selection for this point based on the analytic solution of a similar, but simpler robot, is proposed. According to this selection, the iterative procedure will almost always converge rapidly to a real solution within the physical joint ranges.

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Sommario Siccome per i robots industriali attuali, i modelli cinematici presentano certi errori dovuti ad una serie di effetti, come ad esempio le tolleranze meccaniche, le deformazioni degli elementi meccanici, ecc., i modelli teorici devono essere modificati allo scopo di compensare gli errori di posizionamento e di orientamento. In questo lavoro si presentano il metodo di risviluppare i modelli cinematici reali ed il metodo di compensare i modelli teorici. Inoltre, nel lavoro si presenta anche un metodo semplice per calcolare le matrici delle derivate parziali del vettore di posizionamento e di orientamento rispetto ai vettori dei parametri cinematici. In teoria, l'errore dovuto agli errori di parametri cinematici puó essere eliminato trovando le coordinate attuali dei giunti. Se la cinematica inversa di un robot non ha la soluzione in forma chiusa, essa è risolta con i metodi numerici. Si sa che la scelta del punto iniziale di iterazione per un metodo iterativo è molto importante per la convergenza e la velocità di convergenza. Per questo punto si propone una scelta ragionevole basata sulla soluzione analitica di un robot simile, ma più semplice. A seconda di questa scelta, la procedura iterativa può convergere quasi sempre rapidamente ad una soluzione reale entro i limiti dei giunti.

     

A general method for sensitivity analysis of plane mechanism

Summary The paper describes a general method for the sensitivity analysis of plane mechanisms, particularly suited for use with automatic computation facilities. The sensitivity coefficients are computed through “macros”, thus greatly reducing the effort and the background required by the designer. The problem is solved by reducing it to a subcase of kinematic analysis of the general equivalent kinematic chains of the macros. The method can be applied to tolerance analysis, and to dynamic analysis in order to determine the forces (virtual work theorem) or the law of motion (Lagrande equations).

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Sommario L'articolo illustra un metodo generale per l'analisi di sensibilità nei meccanismi piani, particolarmente adatto ad un impiego con mezzi di calcolo automatico. La determinazione dei coefficienti di sensibilità viene effettnata per “macro”, riducendo quindi al massimo lo sforzo e le conoscenze richieste al progettista. La soluzione del problema viene ottenuta riducendolo a un sottocaso di analisi cinematica delle catene cinematiche generali equivalenti degli elementi semplici. Vengono delineaté le applicazioni all'analisi delle tolleranze ed all'analisi dinamica, per la determinazione delle forze (teorema dei lavori virtuali) o della legge di moto (equazioni di Lagrange).

     

A highly redundant coordinate formulation for constrained rigid bodies

The paper presents a formulation for the dynamic analysis of rigid multibodies. An introductory part carries out the kinematic analysis and the definition of the highly redundant differential framework along with the choice of unknowns and equations. From the differential formulation the variational principles, either in Lagrangian or Hamiltonian form, are developed. The Hamiltonian formulation is then used to develop the numerical approximation by applying the finite element method in time. The application of the method in its multifield form is discussed and a solution algorithm is proposed. Some examples are finally presented in order to verify the effectiveness of the formulation.

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Sommario Il lavoro presenta una formulazione per lo studio della dinamica dei sistemi multicorpo rigidi. Nella parte introduttiva viene svolta l'analisi cinematica e si definisce il quadro differenziale con la scelta delle incognite e delle equazioni. Dalla formulazione differenziale vengono poi sviluppati dei principi variazionali nella forma Lagrangiana ed Hamiltoniana. La formulazione Hamiltoniana é quindi utilizzata per sviluppare l'approssimazione numerica col metodo degli elementi finiti di tempo. Viene discussa l'applicazione del metodo nella forma multi-campo e viene proposto un algoritmo di soluzione. Da ultimo, vengono discussi alcuni esempi per verificare la correttezza della formulazione.

     

Dynamical equations of constrained robotic devices

Summary Different forms of the dynamical equations for constrained chain systems are investigated. First Kane's equations with Lagrange's multipliers are deduced from the standard form of d'Alembert's principle. Next it is proved that, even for constrained robotic devices, Euler's equations are equivalent to Kane's equations provided only that relative coordinates are employed. This equivalence yields an outstanding mechanical interpretation of Kane's equations. The possibility of applying the procedure to closed-loop multibody systems is also examined.

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Sommario Vengono esaminate diverse formulazioni delle equazioni del moto per catene di corpi rigidi soggette a vincoli. Vengono dedotte le equazioni di Kane con moltiplicatori di Lagrange partendo dalla formulazione usuale del principio di d'Alembert. Viene poi provato che anche per i manipolatori vincolati le equazioni di Eulero sono equivalenti a quelle di Kane, purché vengano usate coordinate relative. Tale equivalenza fornisce una significativa interpretazione meccanica delle equazioni di Kane. Infine viene discussa la possibilità di applicare la procedura a sistemi a molti corpi con catene cinematiche chiuse.

     

Kinematic analysis of multi-loop spatial mechanisms: The five-loop case

Multi-loop spatial mechanisms, or parallel mechanisms, are being used to an increasing degree in robotic applications, because they offer some advantages over the open-chain mechanisms. In fact they exhibit high stiffness and low inertia, a fair compliance to the design requirements, and the ability to hold the power actuators in the base. On the other hand, they are often so complex that they can be analyzed only by digital computers, and in general they are designed on the basis of practical solutions rather than theoretical investigations of their structure and kinematics.This paper on the kinematic analysis of multi-loop spatial mechanisms deals in particular with manipulators with five loops and lower pairs. Two approaches are outlined, according to the different backgrounds of the authors: the decomposition method [9], and a differential approach to the non-linear equation set, 19.(6) which encompasses the direct and inverse kinematic problems, as well as the synthesis of the robot.The results are then specialized for mechanisms with the end-effector supported by three spatial parallelograms, like the DELTA-4 robot. For this class of mechanisms an interesting property is also demonstrated, which dramatically reduces the need for computation in the kinematic problems.

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Sommario I meccanismi spaziali in catena chiusa, o meccanismi paralleli, trovano sempre più largo impiego in robotica, dal momento che presentano taluni vantaggi rispetto ai meccanismi in catena aperta: offrono tra l'altro elevata rigidezza e bassa inerzia, flessibilità nel soddisfare le esigenze progettuali e possibilità di collocare gli azionamenti nella base. Spesso tuttavia la loro complessità è tale che si possono analizzare solo col computer, e vengono quindi progettati a partire da soluzioni pratiche, piuttosto che da sistematiche basi teoriche. Questo lavoro illustra metodi generali per lo studio cinematico di meccanismi spaziali in catena chiusa, riferendoli al caso di meccanismi con cinque catene e coppie cinematiche elementari. Gli approcci presentati, che riflettono la diversa formazione degli autori, sono: un metodo di decomposizione [9], e un metodo basato sul calcolo differenziale per lo studio del sistema di equazioni non lineari (6) che, in forma implicita, configura i problemi cinematici diretto e inverso e la sintesi del robot.I risultati vengono quindi applicati a un meccanismo il cui elemento terminale è sostenuto da tre parallelogrammi articolati spaziali, come nel caso del robot DELTA-4. Per questa classe di meccanismi si dimostra anche un'interessante proprietà che riduce drasticamente la quantità di calcoli richiesti dal problema cinematico.

     

General Analytic Solutions and Complementary Variational Principles for Large Deformation Nonsmooth Mechanics

This paper presents a nonlinear dual transformation method and general complementary energy principle for solving large deformation theory of elastoplasticity governed by nonsmooth constitutive laws. It is shown that by using this method and principle, the nonconvex and nonsmooth total potential energy is dual to a smooth complementary energy functional, and fully nonlinear equilibrium equations in finite deformation problems can be converted into certain tensor equations. The algebraic relation between the first and the second Piola–Kirchhoff stresses are revealed. A closed form solution for general three-dimensional large deformation boundary value problems is obtained. The properties of this general solution are clarified by a triality extremum principle. This triality theory reveals an important phenomenon in nonconvex variational problems. Applications are illustrated by nonlinear, nonsmooth equilibrium problems in Hencky's plasticity, 3D cylindrical structures and post buckling analysis of elastoplastic bar with jumping and hardening effects. The idea and methods presented in this paper can be used and generalized to solve many nonlinear boundary value problems in finite deformation theory.Sommario. Il lavoro presenta un metodo di trasformazione duale nonlineare ed un principio generale di energia complementare per la soluzione di problemi di teoria elastoplastica in grandi deformazioni governati da leggi costitutive con discontinuità. Si mostra come, usando il metodo ed il principio proposti, l' energia potenziale totale discontinua e nonconvessa duale di un funzionale energia complementare continuo, e le equazioni di equilibrio nonlineare in problemi di deformazione finita, possano essere convertite in equazioni tensoriali. Vengono mostrate le relazioni algebriche fra il primo ed il secondo tensore delle tensioni di Piola–Kirchhoff. Si ottiene una soluzione in forma chiusa per problemi al contorno generali tridimensionali in grandi deformazioni. Le proprietà di tale soluzione generale vengono chiarite per mezzo di un principio estremale di trialità. La eoria della trialità evidenzia un fenomeno importante in problemi variazionali nonconvessi. Vengono presentate applicazioni a problemi di equilibrio nonlineare con discontinuità in situazioni di plasticità alla Hencky, strutture cilindriche in 3D, e nell'analisi postcritica di una barra elastoplastica con effetti hardening e di jumping. L'idea ed i metodi presentati in questo lavoro possono essere usati e generalizzati per risolvere molti problemi al contorno nonlineari nella teoria delle deformazioni finite.     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Two-dimensional articulated systems developable on a single or double curvature surface

Summary The author illustrates the geometry and the kinematics of two articulated systems built up of a set of rigid, rectilinear elements, pin-jointed together. In the first case, we have a kinematic grid which, from its initial closed shape, expands along two directions on an open (or closed) cylindrical surface. In the second case, the kinematic grid expands on a double curvature surface like, for instance, a paraboloid. The characteristics of the two surfaces requires, for a single or double curvature, two different solutions. They have been patented by the National Research Council.

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Sommario L'autore presenta la geometria e la cinematica di due sistemi articolati costituiti da un insieme di membri rigidi rettilinei accoppiati rotoidalmente. Nel primo caso si ha una griglia cinematica che, dalla configurazione chiusa iniziale, si può estendere in due direzioni su una superficie cilindrica chiusa (o aperta). Nel secondo caso, la griglia cinematica si estende su una superficie a doppia curvatura, ad esempio un paraboloide. Le caratteristiche delle due superfici richiedono, per i sistemi articolati, due soluzioni diverse. Queste soluzioni sono state brevettate dal C.N.R.

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This work is part of the research activity supported by C.N.R. under contract n. PSN 83-098.     

A two-step godunov-type scheme for the euler equations

A second-order Godunov-type scheme for the Euler equations in conservation form is derived. The method is based on the ENO formulation proposed by Harten et al. The fundamental difference lies in the use of a two-step scheme to compute the time evolution. The scheme is TVD in the linear scalar case, and gives oscillation-free solutions when dealing with nonlinear hyperbolic systems. The admissible time step is twice that of classical Godunovtype schemes. This feature makes it computationally cheaper than one-step schemes, while requiring the same computer storage.

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Sommario Viene data una nuova estensione al secondo ordine del metodo di Godunov per la soluzione delle equazioni di Eulero in forma conservativa. Il metodo é basato sulla formulazione ENO proposta da Harten et al. La differenza fondamentale consiste nel calcolo dell'evoluzione temporale, ottenuta mediante uno schema a due passi. Questo consente l'uso di un passo di integrazione nel tempo doppio rispetto agli altri schemi alla Godunov ad un solo passo. Il metodo proposto risulta quindi piú efficiente e puó inoltre essere implementato senza alcun aumento dell'occupazione di memoria. Viene dimostrato che lo schema é TVD nel caso lineare, e che fornisce soluzioni prive di oscillazioni spurie nel caso di sistemi non-lineari.

     

A numerical method for studying the interaction between a partially submerged body and the surrounding fluid

Summary A numerical method has been developed to compute the solution of a mathematical model of the problem known in Naval Hydrodynamics as seakeeping. The solution is written as a potential of a single layer. Unsteady boundary conditions are used both on the free boundary and on the body. The latter take into account the reciprocal interaction between the body and the fluid.The numerical solution of the fluid flow has been obtained by means of the boundary element method, and a suitable difference method has been used to compute the time evolution. A few relevant prototype problems have been solved and compared with experimental data. The method can be directly extended to the nonlinear case, and can be effectively implemented on a parallel computer.

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Sommario Viene presentato un metodo numerico per la soluzione di un modello matematico del problema noto in Idrodinamica Navale con il nome di seakeeping. Si cerca la soluzione sotto forma di potenziale di strato semplice utilizzando condizioni al contorno non stazionarie sia sulla superficie libera che sul corpo; quest'ultima condizione tiene conto dell'interazione reciproca tra il corpo ed il fluido.Il metodo é basato su un'opportuna formulazione integrale delle equazioni nel campo fluidodinamico e su una discretizzazione alle differenze finite per quanto riguarda l'evoluzione temporale. Sono stati risolti alcuni problemi significativi ed i risultati ottenuti sono confrontati con i dati sperimentali disponibili in letteratura. Il metodo proposto é direttamente estendibile al caso non lineare e puó essere efficientemente implementato su un calcolatore parallelo.

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Presented at the II Convegno Italiano di Meccanica Computazionale, Roma, June 2–5, 1987.     

Regularization and symmetry breaking for the thermistor problem with the Thomson effect

We examine a mathematical model of the thermistor taking into account the Thomson effect. We show that this system of equations is always uniquely solvable, in sharp contrast with the case where the Thomson effect is neglected. Another feature of the problem is breaking of the symmetry of the solutions in accordance with practical experiments.

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Sommario Si esamina un modello matematico per il dispositivo noto come termistore tenendo conto anche dell'effetto Thomson. Viene provato che il problema al contorno per il sistema di equazioni differenziali ordinario che regge il dispositivo ha sempre una e una sola soluzione a differenza di quanto accade quando l'effetto Thomson è transcurato. Si prova inoltre la perdita di simmetria della soluzione, fatto rilevato anche sperimentalmente.

     

Computer aided design of chains of four-bar linkages with an interactive method

Summary For some time in the Section of Applied Mechanics at Milan's Politecnico, various routines for the kinematic analysis of linkages have been prepared. These and similar routines are satisfying for that which concerns analysis, but cannot be adapted or are often insufficient when dealing with synthesis using trial and error methods. Given that the major difficulty of using these methods is the scarce possibility of communication between the designer and the machine, we thought that the best solution would be to equip these analysis routines with a new part thus facilitating communication between the designer and the machine. This paper represents a further step in this direction and contains a number of examples of the design of linkage systems for application in mechanical presses.

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Sommario Ormai da tempo si ricorre all'uso dell'elaboratore per lo studio dei meccanismi. Presso la Sezione di Meccanica delle Macchine del Politecnico di Milano sono stati messi a punto numerosi programmi per l'analisi cinematica dei meccanismi articolati. Questi programmi ed altri similari, si rivelano del tutto soddisfacenti per quanto riguarda l'analisi ma sono poco adatti e spesso insufficienti per procedere alla sintesi con metodi del tipo ?trial and error?. Constatato che la maggiore difficoltà che si incontra nel procedere con questi metodi sta nelle scarse possibilità di dialogo tra operatore e macchina, ci si è resi conto che la strada da seguire è quella di corredare questi programmi di analisi di una larga parte nuova con lo scopo appunto di rendere il più agevole possibile il colloquio tra operatore e macchina. Il presente lavoro rappresenta un ulteriore passo in questa direzione rispetto al precedente degli stessi autori.

     

Integral form of the Boltzmann equation for the forced diffusion of charged particles in anisotropically scattering media

Summary According to a recently proposed integral formulation of the Boltzmann equation for test particles in an external force field, the present paper shows how it is actually possible to reduce the original transport problem to the solution of a system of linear integral equations in one variable for a wide and physically meaningful class of interaction laws between test particles and host medium. The feasibility study deals mainly with anisotropic scattering, and provides the kernels of the final integral system to be solved. The explicit analytic form of such kernels has been explicitly worked out for some interaction models of particular interest.

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Sommario Sulla base di una recente formulazione della teoria del trasporto di particelle in presenza di una forza esterna, il presente lavoro mostra come il problema considerato sia riconducibile, per varie e significative leggi di interazione tra le particelle e il mezzo in cui diffondono, a un sistema di equazioni integrali lineari in una variabile indipendente. Viene studiato soprattutto lo scattering anisotropo, e sono ricavati in forma esplicita i kernel del sistema integrale per alcuni modelli di interazione di maggiore interesse.

     

Separation points in laminar flows

This paper presents an approximate method for determining separation points in laminar flows. The method of solution of the boundary layer equations uses two integrated equations: the main characteristic of the method is that its approximations (based on a representation of the velocity profiles by means of the Taylor formula) are only in integrals. The first-order approximation gives the solution in closed form and is accurate for accelerated flows and for decelerated flows when the non-dimensional axial derivative of the pressurep _x is less than 0.5: for stronger adverse pressure gradients accurate results are obtained by means of the third approximation.The same method was applied successfully to the energy equation.

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Sommario Questo lavoro presenta un metodo approssimato per determinare i punti di separazione in flussi laminari. Il metodo di soluzione delle equazioni dello strato limite utilizza le derivate dell'equazione della quantita' di moto e due equazioni integrate: la caratteristica fondamentale del metodo risiede nell'approssimare (mediante una rappresentazione dei profili di velocita' basata sulla formula di Taylor) solo integrali. La prima approssimazione da' la soluzione in forma chiusa ed e' accurata per flussi accelerati e per flussi decelerati quando la derivata della pressione assiale in forma adimensionalep _x e' minore di 0.5: per gradienti di pressione piu' sfavorevoli risultati accurati si hanno con la terza approssimazione. Lo stesso metodo e' stato applicato con successo all'equazione dell'energia.

     

Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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Viscous vs. inviscid interaction of a vorticity structure with a circular cylinder

The interaction of a given two-dimensional vorticity distribution with a circular cylinder is analyzed by comparing the numerical solutions provided by an inviscid and by a viscous approach. While the vorticity dynamics of high Reynolds flows in free space shows an almost inviscid behavior, at least in the starting phase, this is not the case in the presence of a solid wall where a considerable effect of viscosity is experienced since the initial stage of the evolution. In fact, the vorticity generation process at the wall may significantly influence the overall flow field even in the case of a weak interaction.A multilevel contour dynamics technique plus a vortex sheet at the body surface are introduced to study the inviscid evolution, while a viscous vortex method has been adopted for the solution of the complete Navier-Stokes equations. An energy-like relation involving forces and other global quantities of the flow is proposed together with its use as a way to control the accuracy of the numerical solution.The numerical simulation of a vorticity patch orbiting around a circular cylinder gives an interesting source of information for the study of unsteady separation providing, at the same time, a proper test to devise a simplified model within the limit of vanishing viscosity.

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Sommario In questo lavoro si studia l'interazione di una distribuzione bidimensionale di vorticità con un cilindro circolare confrontando tra loro la soluzione numerica ottenuta dalle equazioni di Navier-Stokes con quella relativa ad un modello basato sull'ipotesi di fluido non viscoso. La dinamica di strutture vorticose nello spazio libero ad alti Reynolds ha un carattere prevalentemente non viscoso, per lo meno nella fase iniziale. Invece la presenza di una parete solida introduce nel campo nuova vorticità e di conseguenza rende importanti gli effetti viscosi già dai primi istanti dell'evoluzione anche nel caso di interazione debole.Per ottenere la soluzione in assenza di viscosità è stata utilizzata una metodologia di soluzione numerica basata sullaContour Dynamics insieme ad una discontinuità della velocità tangenziale sulla parete. La soluzione delle equazioni di Navier-Stokes è invece ottenuta con un modello viscoso a vortici. Si ricava una relazione di tipo energetico tra le forze agenti sul corpo ed altre grandezze globali del campo fluidodinamico che viene utilizzata per il controllo dell'accuratezza della soluzione numerica.La simulazione numerica del moto di una distribuzione di vorticità, inizialmente uniforme, in prossimità di un cilindro circolare, mentre permette di studiare più approfonditamente i fenomeni connessi alla separazione non stazionaria dello strato limite, offre, nel contempo, uno strumento appropriato per individuare un modello semplificato per viscosità tendente a zero.

     

Stokes flow with injection in a plane duct

Summary In this paper flow at low Reynolds number is studied in a plane duct with injection along its boundaries, by determining the Green function for the Stokes equation in the strip: in this way it is possible to calculate the fluid-dynamic field for any distribution of injection. To obtain the bi-harmonic function that governs this problem we write the stream function in terms of two harmonic functions f and g, represent these functions using the relevant Green function and write the integral equations that determine f and g. The solution is obtained by means of the Fourier transform technique. An asymptotic representation of this solution is also given.

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Sommario In questo lavoro si studia il campo fluidodinamico determinato) dall'apporto di fluido in un condotto in cui scorre un fluido a piccoli numeri di Reynolds, determinando la funzione di Green per l'equazione di Stokes nella striscia: in tal modo si può calcolare il campo fluidodinamico per una qualsiasi distribuzione di iniezione. Per determinare la funzione biarmonica con derivata longitudinale infinita in alcuni punti della frontiera che governa questo problema, si scrive l'incognita in termini di funzioni armoniche, si utilizza la funzione di Green per rappresentare tali funzioni ausiliarie e si scrivono le equazioni integrali che le determinano. La soluzione di queste equazioni integrali viene ottenuta mediante la trasformata di Fourier. I risultati vengono presentati sia in forma numerica che con serie asintotiche.

     

Self-Excited Wind-Induced Vibrations and Limit Cycles in Bundled Conductors

Abstract. Wake-induced oscillations on bundled conductors of overhead transmission lines are investigated. These oscillations are due to the leeward conductor lying in the wake of the windward one. We consider a twin horizontal bundle of overhead lines. First of all, the critical wind velocity (bifurcation point) of incipient flutter is identified [3, 4]. A nonlinear analysis is adopted to investigate the post-bifurcational behaviour of the oscillations. Using, if necessary a reduction to the center manifold, and an additional normal form transformation we obtain amplitude equations which can be analyzed qualitatively with regard to the unfolding parameters.Sommario: Vengono studiate le oscillazioni indotte dal distacco di scia in fasci di conduttori di linee di trasmissione sospese. Queste oscillazioni sono presenti nel conduttore sottovento che giace nella scia del conduttore sopravvento. In particolare viene considerato il caso di una coppia di conduttori disposti orizzontalmente. Prima di tutto, viene identificata la velocità critica del vento (punto di biforcazione) dovuta al flutter incipiente [3, 4]. Viene utilizzata un'analisi non lineare al fine di valutare il comportamento post-biforcativo delle oscillazioni. Usando, se necessario, una riduzione alla varietà centrale e un'addizionale applicazione del metodo della forma normale, si ottengono equazioni nelle ampiezze che possono essere analizzate in modo qualitativo con riferimento ai parametri essenziali.     

Functional Concepts in Continuum Mechanics

This paper is an attempt to give a concise presentation of the main concepts of continuum mechanics and to show their articulation. Functional definitions have been favoured.The first section is devoted to a review of continuum mechanics.The second section deals with the mechanics of materials.Constitutive equations of the material are given first by equations of state and then by complementary equations written in order to fulfil the fundamental inequality concerning the production of entropy and the physical properties of the material (viscosity, plasticity, damage etc.).Section 3 gives the Lagrangian and the Hamiltonian formulations for a moving body. Section 4 is devoted to the motion of surfaces through which discontinuities appear, to show briefly two examples of application of the previous concepts. One can easily define the source of intrinsic inhomogeneity, of heat, of irreversible entropy on a surface of phase transition and also for a shockwave.SommarioIn questo lavoro si cerca di dare una presentazione concisa dei concetti fondamentali della meccanica dei continui e di mostrare le loro articolazioni,con particolare rilievo alle definizioni funzionali. La prima sezione è dedicata ad un esame generale introduttivo. La seconda alla meccanica dei materiali, le cui equazioni costitutive sono date come equazioni di stato e come equazioni complementari scritte al fine di soddisfare le diseguaglianze concernenti la produzionedi entropia e le proprietà fisiche dei materiali (qualiviscosità, plasticità, guasti...).La terza sezione dà le formulazioni Lagrangiana ed Hamiltoniana per il moto di un corpo.La quarta sezione è dedicata al moto di superfici di discontinuità per mostrare brevemente due esempi di applicazione dei concetti precedenti.Viene quindi definita la sorgente di disomogeneità intrinseca, di calore, di entropia irreversibile su di una superficie, di transizione di fase ed anche di un' onda d'urto.     

Propagation of periodic long waves

Summary A method is developed for the computation of the steady solution of the shallow water equations with quasi periodic boundary conditions. Because of dissipation the influence of the initial conditions becomes negligible with increasing time and the solution finally depends on the boundary conditions. The unknowns variables (velocity and surface elevation) and the boundary conditions are developed in power series of a small perturbation parameter. The problem is then transformed in a sequence of linear problems which have the same associated homogeneous problem. By separating the time and space variables in the homogeneous problem we obtain an homogeneous elliptic problem of which we compute the first eigenvalues and eigensolutions. These are related to the characteristic oscillations of the water in the basin. The solution of each linear problem is then obtained as an eigensolution expansion with time dependent coefficients. These coefficients are solutions of ordinary differential equations which can be solved directly without proceeding step by step in time. In this way we are reduced to a stationary problem i.e. the determination of the eigenvalues and eigensolutions of the elliptic problem and to the computation of several integrals needed for the determination of the time dependent coefficients. A first test of the method has been carried out for a one-dimensional problem i.e. the tidal wave in a canal of finite length and constant depth. In this case the various steps of the procedure outlined above can be performed analitically. The results have been compared with those obtained by a step by step numerical integration of the shallow water equations. The agreement between these sets of results is good for the range of values of the parameters currently used in the applications.

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Sommario Viene presentato un metodo per il calcolo della soluzione a regime delle equazioni delle onde lunghe, dipendente dalle sole condizioni al contorno quasi-periodiche, dopo aver mostrato che l'influenza delle condizioni iniziali diventa col tempo trascurabile a causa del termine di resistenza. Il metodo si basa sullo sviluppo in serie di potenze di un piccolo parametro sia delle incognite (velocità ed elevazioni del pelo libero) sia delle condizioni al contorno al fine di trasformare il problema non lineare in una serie di problemi lineari aventi lo stesso problema omogeneo associato. Con la separazione delle variabili spazio, tempo quest'ultimo problema viene ricondotto ad un problema ellittico omogeneo di cui si calcolano i primi autovalori ed autosoluzioni. Da ultimo la soluzione di ciascun problema lineare è ottenuta come sviluppo in serie di autosoluzioni a coefficienti dipendenti dal tempo: questi si ricavano risolvendo analiticamente delle equazioni differenziali ordinarie. Si elimina cosi la necessità di procedere passo passo nel tempo analogamente ai classici metodi armonici di soluzione di sistemi lineari. Riassumendo, l'applicazione del metodo riconduce alla soluzione di un problema stazionario (determinazione di autovalori ed autosoluzione del problema ellittico) e quindi al calcolo dei vari integrali necessari per la determinazione dei coefficienti temporali. Il metodo è stato provato nel caso semplice della propagazione di onde di marea in un canale di lunghezza finita e sezione costante. Per questo esempio i vari passi di calcolo possono essere svolti analiticamente. I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti dalla integrazione numerica delle equazioni col metodo delle caratteristiche, ottenendo un buon accordo.

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Work sponsored by the CNR (National Research Council) in the framework of Project ?Conservazione del suolo? Subproject ?Dinamica dei Litorali? Publ. n° 46.