也谈“广义吉祥数”的计数问题

文[1]将自然数a的吉祥数意义推广为:如果a的各位数字之和等于m(m∈N ),那么称a为“广义吉祥数”,进而就所有不超过n 1位的各位数字之和为m的“广义吉祥数”的个数(记作A(n 1,m))的计数问题,给出如下4个定理:定理1当1≤m≤9,m∈Z,n≥0,n∈Z时,A(n 1,m)=Cnn m.定理2当10≤n≤19,m∈Z,n≥0,n∈Z时,A(n 1,m)=Cnn m-(n 1)Cnn m-10.定理3当9|m且0≤n<9m-1或9m且0≤n<[9m](m≥1,n∈Z,n≥0,n∈Z)时,A(n 1,m)=0.定理4当9|m且n≥9m-1或9m且n≥[9m](m≥1,m∈Z,n≥0,m∈Z)时,A(n 1,m)=∑[1m0]i=0(-1)iCni 1Cnn m-10i.本文也给出并证明该问题的一…     

实验作先导理论作后盾——对新课标下的一节"信息技术实验课"的展望

2005年普通高中课程标准实验教科书(必修)中增加了关于“函数与方程”这一节内容,旨在用观察函数图象来说明方程解的个数,可以认为这是新课标下的一种新的教学模式———信息技术实验课.其江苏版的教科书“必修1”第80页中有这样一个问题:“例5分别就a=2,a=45和a=21画出函数y=a     

一个定理的类比定理

本刊2005年第11期发表了甘志国老师的“一类问题的统一解法”一文后，2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文，其观点基本正确．其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x＋f（x）=m的根，且函数f（x）存在反函数f^-1（X），则m—a为方程x＋f^-1。（x）=m的根”．它揭示了方程X＋f（x）=m与方程x＋f^-1（x）=m的根之间的对应关系＋证明如下。[编者按]     

巧用导数求系数和

例题设(2十x)”一a。 alx aZ了 … a，x”，若n=4，求a。 al Za: 3a3 4a4.解若n一4，则(2 x)”=a。 a lx aZxZ a3x3十a4x性，令x一。，则a。~16 =4(2 x)“，令x=1，则a、 Za: 3a3 4a4=108，a。 al十Za: 3a: 4a4=16 108一124.小结盲目对x赋值会使你陷入困境，而对式子求导，为我们提供了解题的灵感. (责审连四清)而[(2 x)‘二‘=a， 2a2二 3a。x， 4a4二3巧用导数求系数和@佟丽敏$河北省乐亭县汤家河高中!063606~~…     

上期课外练习参考解答

初一年级 1.学=3,习=2,雷=0,锋=1. 等式3201×3201=10246401. 2.a2-1/1-(-1/2)=2/3,a3=1/1-(2/3)=3,a4= 1/1-3=-1/2=a1,a5=a2,a6=a3,a7=a1,…故每3个 数一循环,2005=3×668+1,∴a2005=a1=-1/2.     

喜迎2006新年

在公元2006年到来之际，谨拟有关“2006” 五题，喜庆新年，以飨读者. 题1 .口2006. a，!2二，。。+1一兰(，任N+)，试求二1 口” 解由题意有内 l2 一一，a3一一一乙x， X a2 l 2一内 反4= l 一一，“.‘，a2006- j X 倪z .aZoo6一Zx· X 题2 +a3+a;+ {a。}是公差为l …+a:。。 =3962 的等差数列，al+自 ，试证:a:十a、+吼 +…十a 100 证明 =2006. 由题意有a。一a，+l，a、~a3+i …，al。。=aog+1， :’(al十1)+aZ十(a3+1)十a、十 …+(a99十1)+a，。。 =3962+50=4012. a:+a、+a6+…+al。。一2006. 题3已知a，b，。是不为。的实数，且a+ b…     

浅谈条件“abc=1”的使用

在数学解题中，常有这样一类问题：在“abc=1”的前提条件下求与a，b，c有关的某些结论．对于条件“abc=1”，应该如何使用？不少同学往往比较茫然．正确使用条件是解题成功的关键，条件“abc=1”的使用是否恰当，直接影响着这类问题的求解．因此，有必要探求总结使用条件“abc=1”的一般方法．     

指数与对数函数对称的探究实录

有关指数函数y=a^x（a〉0且a≠1）与对数函数y=loga^x（a〉O且a≠1）对称，教材仅是通过图像观察就发现两者关于直线y=x对称，对一部分学生而言会问一句“为什么”，在讲授对数函数时，笔者对教材作了一定的处理，先讲授对数函数图像，后通过观察指数函数y=2^x与对数函数y=log2^x给出对称结论．     

高考命题设计思路探析——深入研究陈题 寻找新的命题点

1 深入研究陈题 我们先看一道陈题： 问题1 已知实数a，b，c，d满足：a〈b，c〈d，（a—c）（c-d）=1，（b—c）（b—d）=1．贝4a，b，c，d的大小关系是——（用“〈”连接）．     

徐工重组绩效评价

市场绩效 股价是一个公司价值的外在直观体现。、从“徐工科技”到“徐工机械”，股价从2005年5月每股3元，截至2011年2月14日，已经上涨到56元。假设投资者在2005年5月持有该股，按照2005～2011年划分为6个年度，其股价收益率分别为R05=0．8341，     

一类分式型最值问题的统一求法——代“1”法

均值不等式应用问题中有一类“条件为a1^m＋a2^m＋…an^m=1的分式型”的最值问题，本文给出这类问题的统一解法——代“1”法。     

2005年全国各地高考数学试题分类汇编 考点2 简易逻辑与充要条件

1.(湖北卷,2)对任意实数a,b,c,给出下列命题:1“a=b”是“ac=bc”的充要条件;2“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;3“a>b”是“a2>b2”的充分条件;4“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)42.(天津卷,3)给出下列三个命题:1若a≥b>-1,则1+a a≥1+b b;2若正整数m和n满足m≤n,则m(n-m)≤2n;3设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点,圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1.当(a-x1)2+(b-y1)2=1时,圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)33.(江西卷,3)“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的(…     

巧用常数特征解题五法

在解题过程中,同学们常习惯于从变量的关系去探求解题思路和方法,很少留心常数的作用.其实常数也是由已知向未知转化的催化剂,若能充分挖掘数学问题中常数的多维特征,展开联想,往往会产生顿悟,从而获得简洁、独到的解法.1将常数换成字母例1(2005年江苏竞赛题)已知x=12(2005n1 2005-1n)(n∈N ),则(x-1 x2)n的值是()(A)2005-1.(B)-2005-1.(C)(-1)n2005.(D)(-1)n2005-1.分析若将x直接代入计算,过程比较繁;若将较大的常数换成字母a,可使问题得到简便解决.解令2005=a,则x=12(a1n a-1n),有(a1n)2-2xa1n-1=0,解得a1n=x 1 x2(负根舍去),而x-1 x2=-…     

等价代换在极限计算中的应用

在计算极限时，如能正确使用等价代换，会使问题大为简化，但是学生在使用这种方法时经常出现这样或那样的错误，针对这种情况，本文重点介绍等价代换在极限计算中的应用。先介绍几个有关概念。若lima=0（∞），limβ=0（∞），且（C为任何实数或无穷大），则称α与β是该过程下可以比较的无穷小（大）。特别地，若limα=0（∞），limβ=0（∞），且（α为常数，且a／0，1），则称α与β是该过程下的同阶无穷小（大）。若lima—0（co），limP二0（co），且tim舌21，则称a与卢是该过程下的等价无穷小—“““““－””一”’“““““””…     

让探索成为数学课堂教学的主线

有一天 ,王萍、傅丽丽两位同学来到我的办公室 ,请我给她们做一次“裁判”.事情的起因源于一道习题 :在等比数列 {an}中 ,已知 a2 =2 ,a6=8,求 a4.王萍同学解法是 :设公比为 q,∵　 a6=a2 q4,　∴　 q4=4 ,得 q2 =2 ,∴　 a4=a2 q2 =4 .而傅丽丽同学则是这样解的 :由等比数列性质可知 a2 ,a4,a6成等比 ,故 a24=a2 a6=1 6 ,　∴　 a4=± 4 .两位同学都确信自己的解法没错 ,而结果却不一致 ,但又不能指出对方的解法错在何处 ,于是想到请我这个老师帮忙“指点迷津”.我对两位同学善于探索、敢于提问的精神表示赞许之后 ,并不急于向她们亮出“谜…     

用均值不等式等号成立条件解题

在高中《代数》下册(必修本)P.8介绍了不等式的定理1及其推论: 定理1 如果a,6∈R,那么a~2 b~2≥2ab,(当且仅当a=6时取“=”号)。 推论 如果a,6∈R~ ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”     

问题

问题166在《数列》一章对“等比数列”的教学时，笔者遇到过这样一道题： 设1，a1，a2，…，an，4是正项等比数列，令bn=a1a2…an。求证：数列{bn}是等比数列．     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

浅议数列“周期”的应用

众所周知,数列是一种特殊的函数,函数的性质在数列中的应用是一个很普通的问题,函数中有周期问题,所以数列中也必然有“周期”问题,有些数列问题,表面上看与“周期”无关,但实际上隐藏着周期性,一旦揭示了其周期性,该问题便迎刃而解,下面举数例说明数列周期的应用.例1在数列{an}中,已知a1=2,a2=5,对所有的非零自然数n,都有an 2=|an 1|-an,求a2006.分析由已知条件可求出a3=3,a4=-2,a5=-1,a6=3,a7=4,a8=1,a9=-3,a10=2,a11=5,…,由此不难发现并严格证明该数列是以9为周期的一个数列,a2006=a222×9 8=a8=1.例2在数列{an}中,已知a1=832,a2=657,a3…     

关于等比定理

《数学通报》1981年第7期发表的“使用等比定理应注意条件”一文,强调了等比定理成立的条件,指出:若a/b=c/d=……=m/n,则当a+c+…+m(?)0且b+d+…+n(?)0时,有(a+c+…+m)/(b+d+…+n)等=a/b。这在实践上的确是十分重要的。但是,原文对“a+c+…+m=0”或“b+d+…+n=0”时的情况,没有作深入阐述。考虑到达种情况在实际应用中的作用,本文给出了当“a+c+…+m=0”或“b+d+…+n=0”时的一般结论,并举例说明了它们的应用,最后还利用n元齐次函数对等比定理作了简要说明。我们先看下面的定理。