Maximization of the transmission rate of a discrete,constant channel

Summary The paper is concerned with the assignment of input probabilities to achieve the maximum rate of transmission when the transition matrix is prespecified. Unlike the standard reference [Muroga, 1953], in whichLagrange multipliers are used in conventional form, mathematical programming approach has been proposed.

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Zusammenfassung Die Zuordnung von Eingabe-Wahrscheinlichkeiten zur Erzielung einer maximalen Übertragungsrate bei vorgegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten wird untersucht. Entgegen der Behandlung unter Verwendung vonLagrangeschen Multiplikatoren [Muroga, 1953] wird hier der Zugang mit Hilfe konvexer Programmierung betrachtet.

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Vorgel. v.:J. Nitsche     

Minimax-Lösung eines einfachen Lagermodells,wenn nur Mittelwert und Streuung der Nachfrageverteilung bekannt sind

Zusammenfassung Es wird ein einperiodiges Lagerhaltungsmodell mit konstanten Fehlmengen-und proportionalen Lagerhaltungskosten bei stochastischer Nachfrage untersucht. Dabei wird angenommen, daß von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachfrage nur Mittelwert und Streuung bekannt seien. Mit Hilfe einer Modifikation derTschebyscheffschen Ungleichung wird eine vollständige Lösung des Problems der optimalen Lagermenge gemäß dem Minimax-Risiko-Kriterium angegeben.

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Summary A one-period inventory model with constant understock costs and proportional inventory holding costs is investigated. It is assumed, that of the probability distribution of demand is known its mean and its variance only. With the help of a modified version ofTschebycheff's inequality the problem of finding the optimal order quantity is completely solved with respect to the minmax-risk-criterion.

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Vorgel. v.:F. Ferschl.     

Duale Optimierungsaufgaben und Sattelpunktsätze

Zusammenfassung Es wird der formale Zusammenhang zwischen der Existenz eines Sattelpunktes und einem Paar dualer Optimierungsaufgaben angegeben. Dabei werden Voraussetzungen wie konvex oder konkav nicht benötigt. Die Theorie ist so aufgezogen, daß dieFenchelsche Theorie der konjugierten Funktionen gut in diesen Rahmen eingebaut werden kann. An vielen Beispielen wird der Zusammenhang mit bekannten Dualitätssätzen dargestellt.

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Summary We treat the formal relations between the existence of a saddle-point and a pair of dual programming problems without using assumptions like convex or concave. The theory is built in such a way, thatFenchels theory of conjugate functions fits very well in its frame. The relationship between the theory and other well known duality theorems are explained by many examples.

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Vorgel. v.:W. Krelle.     

On the differential approximation in radiative transfer

Zusammenfassung Die Anwendbarkeit des Differentialnäherungswertes bei der Berechnung der Wärmeübertragung durch Strahlung wird für verschiedene geometrische Konfigurationen geprüft. Es wird gezeigt, dass mit Ausnahme der eindimensionalen flachen Schicht der Differentialnäherungswert nur beschränkt verwendbar ist.

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This work was sponsored by the US Air Force, Office of Aerospace Research Aerospace Research Laboratories, under Contract AF 33(615)-3104. The author is indebted to Prof.L. S. Wang for several stimulating discussions.     

Anwendung derWienerschen Filtertheorie auf Probleme der Produktion und Lagerhaltung

Zusammenfassung DieWienersche Filtertheorie wird auf einfache Probleme der Produktion und Lagerhaltung angewandt. Diese Theorie gestattet, im Gegensatz zu den sonst verwendeten regelungstechnischen Verfahren, die Berechnung der kostenoptimalen Produktionspolitik eines vorgegebenen Modells. Die Einschränkungen, die dasWiener-Verfahren der Menge der regelungstechnisch unter-suchbaren Modelle auferlegt, werden diskutiert, und es wird gezeigt. daß sich mit diesem Verfahren ein Großteil der ökonomisch relevanten Modelle erfassen läßt.

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Summary TheWiener Filtering Theory is applied to simple problems of production and inventory. In contrast to approaches using servo-mechanical methods, this theory allows the calculation of the optimal production policy of a given model. The restrictions caused by theWiener-approach on the set of models being investigable by servo-mechanical methods are discussed. It is shown that this approach may be applied to many of the economically relevant models.

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Vorgel. v.:F. Ferschl.     

Electromagnetic field theory solution of the infinite tapered-plane transmission line

Zusammenfassung Für den eingeschwungenen Zustand dertapered-plane transmission line wird eine neue Lösungsmethode beschrieben und gezeigt, dass die Impedanztransformation direkt vom Verhältnis der Abstände zwischen Anfang und Ende der leitenden Ebenen bestimmt wird. Die Phasendifferenz der Spannungen zwischen den Leitungsenden ist dem Öffnungswinkel der beiden Ebenen proportional. Kriterien für den Entwurf solcher Leitungen lassen sich angeben.

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This work was submitted byNoach Amitay in partial fulfillment of the Degree Doctor of Philosophy.     

Die Behandlung von Entscheidungsproblemen mit Hilfe des Dynamischen Programmierens

Zusammenfassung Das Verfahren des Dynamischen Programmierens wird auch in deutsch-sprachigen Arbeiten zur Unternehmensforschung in zunehmendem Maße diskutiert. In der vorliegenden Arbeit soll eine allgemeine Ordnung von Entscheidungsproblemen gegeben und die Stellung des Dynamischen Programmierens innerhalb dieser Ordnung bestimmt werden. Die Grundkonzeption der Methode wird erklärt und an Beispielen erläutert. Besondere Berücksichtigung findet der vonHoward entwickelte Algorithmus zur Behandlung unendlich-stufigerMarkovscher Entscheidungsprozesse.

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Summary The dynamic programming approach is now increasingly discussed in German literature on operations research. The present paper attempts to give a systematic presentation of decision problems and to define the position of dynamic programming within this order. The basic concept of dynamic programming is explained and illustrated by a number of examples. Special attention is given toHoward's algorithm on the treatment of infiniteMarkov decision processes.

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Vorgel. v.:W. Wittmann     

Sequentielle Versuchspläne

Zusammenfassung Es wird eine Einführung in einige Gebiete der sequentiellen Versuchsplanung gegeben.

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Summary An introduction to some topics in the sequential design of experiments is given.

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Vorgel. v.:W. Krelle     

Anwendung der Wiener'schen Filtertheorie auf diskontinuierliche Lagerhaltungs-Produktions-Modelle

Zusammenfassung Das Verfahren derWienerschen Filtertheorie wird auf diskontinuierliche Lagerhaltungs-Produktions-Modelle angewandt. Ökonomisch werden damit Modelle erfaßt, in denen die Produktion bzw. die Nachbestellung nur zu bestimmten Zeiten erfolgen kann. Die Berechnung der optimalen Nachbestellpolitik wird allgemein durchgeführt. Speziell wird ein Modell mit Lieferfrist und unkorrelierter bzw. korrelierter Nachfrage untersucht.

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Summary TheWiener Filtering Theory is applied to discontinuous inventory-production-models which means economically that orders (production) can only be given at distinct times. The calculation of the optimal discontinuous production policy is shown in general. Especially a model is investigated having lead times and uncorrelated or correlated demand.

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Vorgel. v.:F. Ferschl.     

Berechnung der Produktionspolitik von Produktions-Lagerhaltungs-Modellen unter Verwendung derWienerschen Filtertheorie

Zusammenfassung Das Verfahren derWienerschen Filtertheorie wird auf Lagerhaltungs-Produktions-Modelle komplizierterer Kostenstruktur angewandt. So werden neben Lagerbestands- und Lagerfehlbestandskosten auch Kosten berücksichtigt, die durch Schwankungen der Produktionsrate verursacht werden. Darüber hinaus wird auch der Fall in Betracht gezogen, daß die Geschwindigkeit dieser Schwankungen kostenabhängig ist. Außer der optimalen Produktionspolitik werden in den einfacheren Modellen noch der optimale Lagerbestand und die minimalen Kosten angegeben.

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Summary TheWiener Filtering Theory is applied to inventory-production-models possessing a more complicated cost criterion. Thus not only inventory costs are taken into account, but also costs associated with fluctuations of production rate. Further more the possibility is investigated that the speed of these fluctuations depends on costs. For the more simple models not only the optimal production rate is calculated, but also minimal costs and the optimal inventory stock.

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Vorgel. v.:F. Ferschl     

Mathematical analysis of a simple model for the stripping reaction

Zusammenfassung Die Integralgleichung (1.6), die aus einem sehr vereinfachten Modell der stripping reaction hergeleitet ist, wird diskutiert. Es ist bemerkenswert, dass die bekannte Methode vonN. Wiener undE. Hopf auf diese komplizierte Integralgleichung angewendet werden kann. Die entstehende Funktionalgleichung (1.12) wird im § 2 auf die lösbare Differenzengleichung (2.20) reduziert. § 3 behandelt die Eindeutigkeit der Lösung und § 4 die explizite Lösung in einem Spezialfall. Die explizite Lösung des allgemeinen Falls wird nicht angegeben.

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Most of the content of this paper grew out of discussions, which the author had withJ. H. D. Jensen, J. M. Luttinger, andT. H. Berlin during their respective stays at the Institute for Advanced Study. The author's only merit consists in having written down the results.

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Institute for Advanced Study.     

Some duality theorems for the non-linear vector maximum problem

Summary In this paper the well-knownLegendre transform-type of non-linear duality is extended to the general vector maximum problem. Duality is studied in terms of the primal and dual objective sets rather than in terms of the underlying feasible solutions. The structure of the objective sets is fully explored. The main result in duality is that under reasonable regularity assumptions there are no duality gaps between the primal and dual objective sets.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das bekannte, derLegendre-Transformation nachgebildete Konzept der nichtlinearen Dualität auf das allgemeine Vektor-Maximum-Problem übertragen. Hierbei wird die Dualität der Zielmengen (nicht aber der zulässigen Lösungen) des primalen und dualen Programms untersucht. Die Struktur der Zielmengen wird eingehend studiert. Hauptergebnis ist, daß unter plausiblen Regularitätsbedingungen keine Lücken zwischen der primalen und der dualen Zielmenge auftreten.

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This paper was originally written when the author was at the Center for Operations Research and Econometrics, University of Louvain. I wish to thank ProfessorsG. de Ghellinck, J. Drèze, of Louvain, andW. Szwarc, of Wrocaw, for stimulating discussions of the subject. I alone am responsible for all remaining errors.

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Vorgel. v.:W. Wittmann     

Die HOWARDsche Berechnung optimalen Anschaffungs- und Betriebsalters für Kraftwagen: Ein ergänzender Befund mit deutschen Daten

Zusammenfassung Mit Hilfe des Iterationsverfahrens vonHoward wird das optimale Anschaffungs-und Betriebsalter für ein deutsches PKW-Fabrikat bestimmt. Diese Zeiten liegen unterhalb der entsprechenden Werte, dieHoward auf Grund amerikanischer Daten erhalten hat.

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Summary By aid of theHoward-Algorithm the optimal purchase- and operating age for a German automobile is determined. These time-spans are lying below the corresponding values which were received byHoward on account of American data.

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Vorgel. v.: H.P.Künzi.     

Praktische Anwendung linearer Wirtschaftsmodelle

Zusammenfassung Bei der Lösung großer linearer Gleichungssysteme muß die spezielle Struktur der Matrix berücksichtigt werden. Es wird ein Algorithmus zur Analyse der speziellen Struktur angegeben, der sich durch die Theorie der Graphen veranschaulichen läßt.

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Summary In order to solve large systems of linear equations, the special structure of the matrix must be taken into consideration. In this paper there will be indicated an algorithm for analysing the special structure; this algorithm can be illustrated by the theory of graphs.

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Unter anderem Titel in der FestschriftCarl Wurster, Ludwigshafen am Rhein, 1960.     

The laminar boundary layer on a blunted wedge

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht an einem abgestumpften Keil mit Hilfe der Görtlerschen Reihe berechnet. Man findet, von der Staupunkt-Grenzschicht ausgehend, eine asymptotische Annäherung an die Grenzschichten von Falkner und Skan; die asymptotische Lösung wird mit Hilfe der Reihe sehr befriedigend dargestellt, besonders nach Anwendung von verschiedenen Methoden zur Verbesserung der Konvergenz. Zudem wird die Annäherung an die Lösung im Unendlichen analytisch untersucht, wobei sogenannte asymptotische Eigenfunktionen auftreten.Die rechnerisch ausgewertete Lösung für einen Keil mit rechteckigem Öffnungswinkel kann als Vergleichsfall zur Beurteilung von numerischen Methoden benützt werden.

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To ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday

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The research carried out at UCSD was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) under Contract No. DA-31-124-ARO-D-257, monitored by the U.S. Army Research Office-Durham.

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The research carried out at Stanford was supported by the Air Force Office of Scientific Research under Contract No. AF49(638)-1274.     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Das Problem der Diensteinteilung von Lokomotiven

Zusammenfassung Das Problem der Diensteinteilung von Lokomotiven wird mit Hilfe der Graphentheorie dargestellt. Es wird gezeigt, daß jedem Fahrplan ein Graph G zugeordnet werden kann, und daß die Symmetrie eines Fahrplans die notwendige und hinreichende Bedingung für seine periodische Realisierbarkeit ist. Ein Verfahren zur Bestimmung der optimalen Diensteinteilung wird angegeben. Mehrfach periodische Fahrpläne werden in Betracht gezogen.

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Summary The problem of engine-scheduling is presented in terms of graph-theory. It is shown that each time-table can be represented by a graph G, and that the symmetry of a time-table is the necessary and sufficient condition for its periodical realizability. A method for the determination of an optimal engine-schedule is presented. Time-tables with multiple periods are taken into consideration.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi.     

Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets

Zusammenfassung Es werden verschiedene Aspekte des Portfolio-Problems diskutiert. Zunächst werden die Ansätze vonMarkowitz undBaumol gegenübergestellt und deren Konsequenzen für den Entscheidenden abgeleitet. Dann wird der Fall diskutiert, daß die eigene Nachfrage die Preise der Anlagemöglichkeiten und damit die Ertragserwartungen des eingesetzten Kapitals beeinflußt. Dies vermag die Zielfunktion des Wertpapierauswahlproblems zu ändern. Drittens wird eine Lösung für den Fall gesucht, in dem dem Entscheidenden nur der Kauf einer ganzen Zahl von Anlagen jeder Anlagemöglichkeit erlaubt ist.

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Summary The well-known portfolio-problem is discussed here in several respects. First, theMarkowitz andBaumol solutions and their different consequences for the decision-maker are discussed. Second, it is shown that one's own demand may influence prices, and consequently earnings, which may alter the solution as given byMarkowitz. Third, we discuss the consequences of allowing to buy only an integer number of pieces of every asset.

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Vorgel. v.:H. Albach.     

Expected utility maximization and capital budgeting subgoals

Summary It will be shown that the capital budgeting subgoals which generally are used to determine the optimal investment and financing program of a corporation are not necessarily consistent with the objective of maximizing the expected utility of the terminal wealth of its shareholders. This holds true also if there is no conflict of interest between the shareholders. The analysis is based on a portfolio model and a stock market equilibrium model.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß die Zielfunktionen, mit denen in der Regel bei der Bestimmung des optimalen Investitionsprogramms einer Kapitalgesellschaft gearbeitet wird, nicht zwingend im Einklang stehen mit dem Oberziel der Maximierung des erwarteten Nutzens der Anteilseigner. Dies gilt auch dann, wenn kein Interessenkonflikt zwischen den Anteilseignern besteht. Die Analyse basiert auf einem Portfolio Modell und einem darauf aufbauenden Modell zur Bestimmung der Gleichgewichtskurse von Aktien.

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Vorgel. v.:H. Schneeweiss     

Dynamic risk programming with learning adjustment

Summary Risk allows the objective function of a linear program to be determined only up to a known probability distribution. In the case studied, however, the evolution of the distribution over time conforms to a simple learning model reflecting the increasing (decreasing) precision of executive response. If the stochastic extremand is replaced by the truncated minimax-maximax preference functional the optimal dynamic path is shown to be a geodesic in Riemann space with the standard deviation of the objective function as metric. Surprisingly, the path is independent of the risk attitude adopted.

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Zusammenfassung Risiko erlaubt es nur, die Zielfunktion eines linearen Programms bis auf eine bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen. Im hier untersuchten Fall stimmt die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Zeit mit einem einfachen Lernmodell überein, das die zunehmende, (abnehemende) Präzision der Ausführung des Betriebsplanes ausdrückt. Wenn der stochastische Extremand durch ein beschränktes minimax-maximax Präferenz-Funktional ersetzt wird, kann gezeigt werden, daß die optimale dynamische Trajektorie eine Geodätische in dem Riemannschen Raum mit der Standardabweichung der Zielfunktion als Metrik ist. Überraschenderweise wird die Trajektorie nicht durch die Risikoneigung des Unternehmers beeinflußt.

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This research has been carried out in association with, and with partial support from the National Science Foundation, Project No. 401-04-70 at Iowa State University.

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The author is indebted to ProfessorsTjalling C. Koopmans (Cowles Foundation at Yale University) andGerhard Tintner (University of Pittsburgh) for advice and criticism.

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Vorgel. v.: G.Tintner