Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

椭圆曲线y~2=px(x~2+2)有正整数点的判别条件

设p是适合p≡1(mod8)的奇素数.运用四次剩余和Pell方程的性质,给出了椭圆曲线y~2=px(x~2+2)有正整数点(x,y)的若干判别条件.     

椭圆曲线y~2=px(x~2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点

设p是适合p≡1(mod 8)的奇素数.运用二次和四次Diophantine方程的性质给出了椭圆曲线E:Y²=px(x2=px(x²+2)有正整数点(x,y)的判别条件,并且证明了:当p<100时,该曲线没有正整数点.     

关于指数Diophantine方程2~x+p~y=z~2的解的个数的上界估计

设P是一个固定的奇素数.得到了方程2~x+p~y=z~2的所有正整数解(x,y,z)的一个分类.此外,证明了:如果P≡1(mod 4)并且P≠17,那么Diophantine方程2~x+p~y=z~2的全部正整数解(x,y,z)的个数N(p)满足估计N(p)≤4.     

ON THE DIOPHANTINE EQUATION X4-Dy2=1(II)

For the Diophantine equation x^4 — Dy^2 = 1 (1) where D>0 and is not a perfect square, we prove the following theorems in this paper. Theorem 1. If D\[{\not \equiv }\]7 (mod 8)，D=p1p2...ps，s≥2，where pi（i = 1，…，s) are distincyt primes，p1≡1(mod 4) such that either 2p1=a^2+b^2，а≡\[ \pm \]3(mod 8)，b三\[ \pm \]3(mod 8) or there is a j(2≤j≤s), for which Legendre symbal \[\left( {\frac{{{p_j}}}{{{p_1}}}} \right) = - 1\],and pi≡7(mod8) (i=2,..., s) or pi≡3(mod 8) (i=2,..., s), then (1) has no solutions in positive integer x,y. Theorem 2. If D=p1...ps,s≥2, where pi（i = 1，…，s) are distinct primes, and pi≡3(mod 4)（i = 1，…，s), then (1) has no solutions in positive integer x, y. Theorem 3. The equation (1) with D=2p1...ps has no solutions in positive integer x, y, if (1) p1≡(mod 4), pi≡7(mod 8) (i = 2, ???, s), snch that either 2p1 = a^2+b^2 a≡\[ \pm \]3(mod 8)，b≡\[ \pm \]3(mod 8)or there is a j (2≤j≤s)，for which \[\left( {\frac{{{p_j}}}{{{p_1}}}} \right) = - 1\]; or (2) p1≡5(mod8),pi≡3(mod8) (i = 2,..., s)； or ⑶p1≡5(mod8)，pi≡7(mod 8) (i=2，…，s). Corollary of theorem 3. If D = 2pq, p≡5(mod 8), q≡3(mod 4), where p, q are distinct primes, then (1) has no solutions in positive integer x, y. Theorem 4. If D=2p1...ps, pi≡3(mod 4)(0 = 1,...,s), then (1) has no solutions In positive integer x, y.     

椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)的整数点(Ⅰ)

设p,q为奇素数,m为正奇数,且p+2~m=q,p≡3(mod4).证明了:当m=1或3时,椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)(xq)至多有1对整数点(x,y);当m≥5时,该椭圆曲线至多有2对整数点(x,y).同时具体给出了(p,q)=(71,103)时椭圆曲线的全部整数点.     

On the diophantine equation x 2 − Dy 2 = n

We propose a method to determine the solvability of the diophantine equation x2-Dy2=n for the following two cases:(1) D = pq,where p,q ≡ 1 mod 4 are distinct primes with(q/p)=1 and(p/q)4(q/p)4=-1.(2) D=2p1p2 ··· pm,where pi ≡ 1 mod 8,1≤i≤m are distinct primes and D=r2+s2 with r,s ≡±3 mod 8.     

关于丢番图方程x~p-y~p=z~2

Terjanian在1977年曾经证明不定方程 p是奇素数 (1)如果有整数解,则2p|x或2p|y。 本文证明了以下结果: 1. 设y=2(mod 4),则不定方程 x~p-y~p=z~2,(x,y)=1,p>3是素数 (2)没有整数解。 2. 设y=4(mod 8),则(2)没有整数解。 3. 如果(1)有整数解,p>3,则8p|x或8p|y。这是Terjanian的结果的改进。     

关于丢番图方程 x~4-Dy~2=1

<正> 关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0且不是平方数,(1)有过一系列工作,其主要结果如下:Nagell 证明了 D≡3(mod 8)是素数,(1)无正整数解.Ljunggren 证明了(1)最多只有两组正整数解.Cohn 证明了 D 使得 x~2-Dy~2=-4有解 x≡y≡1(mod 2),则(1)除开有限个D 的值外,仅有整数解 x=1.     

关于丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2

设D_1=multiply from i=1 to s q_i(s=1或2),q_i≡-1(mod6)(i=1,2,…,s)是彼此不同的奇素数,p≡1(mod6)为奇素数.运用初等方法讨论了丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2(α=0或1)的正整数解的情况.     

ON IDEAL CLASS GROUPS AND UNITS IN TERMS OF THE QUADRATIC FORM x^2＋32y^2

§1. IntroductionIt is a classical topic to study, for quadratic number ?elds F = Q(√2p) with a prime p,the exact 2-power dividing the narrow class number h (F) and the norm of the fundamentalunit ε of F.The 2-primary subgroup of the narrow class group …     

一类超椭圆方程的整数解

设ｍ，ｎ∈Ｎ；ｍ≥２，ｎ≥２，ｍｎ≥６，ｆ（ｘ）＝ｘｍ＋ａ１ｘｍ－１＋…＋ａｍ∈Ｚ［ｘ］，Ｈ＝ｍａｘ（｜ａ１｜，…，｜ａｍ｜）．本文运用组合分析方法证明了：当ｍ≡０（ｍｏｄｎ），ａ１，…，ａｍ不全为零，而且其中第一个非零系数ａｓ与ｎ互素时，方程ｆ（ｘ）＝ｙｎ，ｘ，ｙ∈Ｚ，仅有有限多组解（ｘ，ｙ），而且这些解都满足｜ｘ｜＜（４ｍＨ）２ｍ／ｎ＋１以及｜ｙ｜＜（４ｍＨ）４ｍ２／ｎ２＋ｍ／ｎ＋１     

2-(v,6,1)设计的可解区传递自同构群

设G是一个2-（v,6,1）设计的可解区传递自同构群,且G非旗传递,则：（1）v＝91,G=Z91×Zd,这里3|d|12;（2）v=pm,G≤AL（1,pm）,之一成立．其中p≠2．当p＝3时,4|m见且m＞4;当p＞5时,pm≡1（mod30）。     

圈的多重联图的邻点可区别E-全染色的一些结果

记χ_(at)~e(C_n_i)为n_i阶的圈C_n_i的邻点可区别E-全色数.若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,t),则χ_(at)~e(C_n_1+C_n_2+…+C_n_t)=2t;若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,r,l相似文献   

一类椭圆曲线有正整数点的判别条件

设p是适合p≡1（mod81的奇素数．本文主要利用初等方法证明了椭圆曲线y2=px（x2＋1）在P≡9（rood16）时没有正整数点（x,y）;并且对于p≡1（mod16）的情况,给出了该椭圆曲线有整数点的两个判别条件．     

Diophantine方程（a^m-1）（6^n-1）=x^2的一点注记

设a,b是适合min（a,b）〉1,2｜a,2＋b以及v（6—1）是正奇数,其中v（b-1）表示整除b-1的2的最高次数．本文运用初等方法以及同余性质,研究了方程（a^m-1）（b^n-1）=x^2的可解性．对某些特殊素数P,证明了该方程无解．证明了如果存在适合P≡±E3（mod8）的奇素数P,可使a≡-1（modP）...     

Universal sums of three quadratic polynomials

Let a,b,c,d,e and f be integers with a≥ c≥ e> 0,b>-a and b≡a(mod 2),d>-c and d≡c(mod 2),f>-e and f≡e(mod 2).Suppose that b≥d if a=c,and d≥f if c=e.When b(a-b),d(c-d) and f(e-f) are not all zero,we prove that if each n∈N={0,1,2,...} can be written as x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2 with x,y,z∈N then the tuple(a,b,c,d,e,f) must be on our list of 473 candidates,and show that 56 of them meet our purpose.When b∈[0,a),d∈[0,c) and f∈[0,e),we investigate the universal tuples(a,b,c,d,e,f) over Z for which any n∈N can be written as x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2 with x,y,z∈Z,and show that there are totally 12,082 such candidates some of which are proved to be universal tuples over Z.For example,we show that any n∈N can be written as x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2 with x,y,z∈Z,and conjecture that each n∈N can be written as x(x+1)/2+y(3y+1)/2+z(5z+1)/2 with x,y,z∈N.     

关于虚二次域类数的可除性

设α＞１，ｂ＞１，（α，ｂ）＝１，ｈ（－αｂ）表虚二次域的类数。如果有正整数ｘ，ｙ，ｎ，ｋ满足（１）αｘ￣２＋ｂｙ￣２＝４ｋ￣ｎ，ｂ且；或（２）αｘ￣２＋ｂｙ￣２＝ｋ￣ｎ，ｘ｜α，ｙ｜ｂ且αｂ≡２（ｍｏｄ４），则本文证明了关于ｈ（－αｂ）的可除性的两个定理（见定理１，２），其中符号ｘ｜α表示ｘ的每一个素因子整除α。     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和x~2+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,a,b,c是满足a~2+b~2=c~r的互素正整数.证明了:当r(?)5(mod8),c>10~(12)r~4且b是奇素数的方幂时,方程x~2+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(a,2,r).