抛物线的三个性质

本文给出抛物线的三个性质以及与它们相对应的抛物线的三种画法;性质Ⅰ　设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）,焦点为　图１Ｆ（ｐ２,０）,Ｑ是抛物线上除顶点外的任意一点,直线ＱＳ与ｘ轴平行,过点Ｆ作∠ＳＱＦ的角平分线的垂线,垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是ｙ轴（除去顶点Ｏ）;（如图１）证明　设直线ＱＳ与抛物线的准线ｌ,ｙ轴分别相交于点Ｓ和Ｖ,ＦＳ与ｙ轴交于点Ｐ′;易知ＳＶ＝ＯＦ,则Ｒｔ△ＳＶＰ′≌Ｒｔ△ＦＯＰ′;∴　ＳＰ′＝Ｐ′Ｆ．故　Ｐ′为线段ＳＦ的中点;由抛物线的定义得ＳＱ＝ＱＦ,所以△ＳＱＦ是等腰三角形;∴…     

抛物线与双曲线的光学性质及其综合应用

1　抛物线与双曲线的光学性质注意到 ,抛物线与双曲线的光学性质分别都是由两个部分组成的 ,其详细表述如下 .抛物线的光学性质 :从抛物线的焦点发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都平行于抛物线的轴 ;反之 ,沿着平行于抛物线的轴的方向向抛物线发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都聚交于抛物线的焦点上 .双曲线的光学性质 :从双曲线的一个焦点发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反射光线是散开的 ,它们就好像是从另一个焦点 (称为虚焦点 )发出的一样 ;反之 ,向双曲线的一个焦点 (也称为虚焦点 )发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反…     

抛物线的三种画法

抛物线的焦点到准线的距离为Ｐ ,用直尺圆规画出抛物线 ,画法如下 :图 1画法 1　作线段ＫＦ ,使 |ＫＦ| =Ｐ ,Ｏ为线段ＫＦ的中点 ,过Ｋ作ＫＦ的垂线Ｌ ,在ＫＦ的延长线上取点Ｍ1 ,以Ｆ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画圆⊙Ｆ ,再以Ｋ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画弧交直线ＫＦ于点Ｎ1 ,过Ｎ1 作垂直于ＫＦ的直线交圆⊙Ｆ于点Ｐ1 Ｐ1 ′ ,改变Ｍ1 的位置 ,例如Ｍ2 ,Ｍ3… ,用同样的方法画出点Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,把点Ｏ ,Ｐ1 ,Ｐ1 ′ ,Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,用平滑的曲线连结起来 ,就得到抛物线的图象 (如图 1 ) .画法二　作直线Ｌ ,在…     

有关抛物线焦点弦的十条性质——从一道高考题的八种证法谈起

本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质．     

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…     

切线性质定理的另一种证法

切线的性质定理:圆的切线垂直于经过 切点的半径． 反证法对于初中阶段学生接受起来比较 困难,不易理解．下面给出另外一种证法．     

抛物线性质探究

前言:这是一堂复习课,我认为数学教学的重要目的之一是提高学生的思维能力,促进学生的智能发展,也就是常说的:学习数学使人变得聪明起来.这方面可以做的工作甚多,也没有固定的章法可循,但复习课中精选例题,使学生的思维沿着学习进程不断深化,温故而知新,则是有意义的.我的做法是:转化、拓广,引向新的未知;探索、钻研、创造新的结论.这样步步探幽,引人入胜,既提高学生学习的兴趣,也有助于学生智能的“升级”,使复习课回味无穷,     

抛物线的一个性质

在数学中,圆锥曲线是一个万花筒,只要 你善于观察思考,你就会发现许多奇异的花 瓣,你就会闻到那沁人心脾的芳香…… 最近在学习时发现以下的结论: 在标准抛物线y2=2px中,若动直线l过 点(-m,0)且与抛物线交于P、Q两点,那么 OP·OQ=m2+2pm．     

抛物线的一些性质

近年,在研究射影几何在二次曲线上的运用中,发现有些平面几何问题用射影几何研究更自然、条理更清楚,而用平面几何方法处理则有难度.将二次曲线中的抛物线放在拓广平面上,借助射影几何中的Pascal定理、Steiner定理,给出了抛物线一些有趣的性质.     

五等份圆的三种证法

全日制十年制初中几何课本第二册61面把圆分成五份,有如下作法:作已知圆O的互相垂直的直径灭r和Az;取半径OX的中点衬;以M为圆心,万A为半径作弧姓N和半径OY相交于y方;在圆0_L连续截取等弧,使弦AB=刀C二CD二DE=ANI则A     

一个性质的面积证法

<正>贵刊2013年第3期刊登了"一条直线与四边形相交的一个性质"的文章,文献[1]用梅涅劳斯定理证明了该性质并探究了几个有趣现象.读后受益匪浅,颇受启发,本文笔者给出性质的面积证法,现写于后,供大家赏析.性质如图1,一条直线与四边形ABCD     

与数列有关的抛物线的三条优美性质

在近几年的高考题中,与圆锥曲线的性质有关的试题经常出现．本文介绍与数列有关的抛物线的三条优美性质供大家参考．     

等比数列求和公式的另三种证法

对于首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列 {an)的前n项和Sn的求和公式的证明,课本上 采用了错位相减法,下面给出另外三种证法．     

抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理

文[2]介绍了一个关于抛物线图形求积定理的证明,本文利用抛物线的一个性质来对抛物线图形求积定理的证明方法进行探究.1抛物线的一个性质     

三点共线的几种向量证法

求证三点共线的方法很多,其中向量证法简明流畅,令人耳目一新. 例题已知A(1,-1),B(3,3),C(4,5)三点,求证:A,B,C三点共线. 证法一利用非零向量共线的充要条件     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

抛物线的切线性质研究

“弦与切线”是圆锥曲线所研究的主要对象,在新教材中由于导数的引入,给“切线”问题的研究提供了方便.下面笔者针对抛物线的切线性质问题作一番探析,为了研究的需要,笔者采用“特殊→一般”的探求模式进行,供参考.一、由抛物线的一条切线引出的性质特殊问题1:已知抛物线y2=2px(p>0),AB是它的一条通径,过通径的一个端点A作抛物线的切线,交抛物线对称轴于C点,设抛物线的焦点为F.求证:|AF|=|CF|.问题分析:∵A是通径的一个端点,可设点A(2p,p)则过点A的切线方程为:py=p(x+2p),令y=0,即得点C(-2p,0),∴|CF|=p,∵|AF|=p,∴|AF|=|CF|.上面…     

抛物线切线的一个性质

<正>性质已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的动直线l与抛物线C交于不同两点M、N,过M、N做抛物线的切线,则切线交点的轨迹为一条平行于x轴的射线.(特别地:当直线斜率不存在时,轨迹为x轴的负半轴).证明设M(x1,y1),N(x2,y2),