平面向量 复数

5.1　向量的概念及运算内容概述1.向量是区别于数量的一种量 ,它由大小和方向两个因素确定 .向量有三种表示法 :一是用有向线段 ,二是用字母 a或 AB,三是用坐标 a =(x,y) .注意共线向量 (也称平行向量 ,方向相同或相反的向量 )与相等向量 (方向相同且模相等 )的联系与区别 .2 .向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种 .注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示 .3.向理的基本定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件 :a∥ b　 　 a =λb.设 a =(x1,y1) ,b =(x2 ,y2 ) ,则a∥ b　 　 x1y2 - x2 y1=0 .(2 )两…     

向量学习六注意

注意1 要区别向量a与实数a 向量a既有大小又有方向,它的大小就是向量a的模(长度),记作|a|,|a|是一个非负实数.两个向量不可以比较大小.它们之间的关系只能说是相等或不相等,平行或不平行,共线或不共线,a>b或a|b|表示向量a的长度大于向量b的长度.而实数a只有大小,没有方向,两个实数之间可以比较大小.     

向量王国的小天使——零向量

纵观向量王国,零向量具有其它向量所没有的特性:①长度为0的向量叫做零向量,记作0 ;②规定0与任一向量平行;③零向量与零向量相等;④对于零向量与任一向量a ,有a + 0 =0 +a =a ;⑤规定零向量的相反向量仍是零向量;⑥规定0a =0 ;⑦0 =( 0 ,0 ) ;⑧规定零向量与任一向量的数量积为0 ;⑨当A =B时,AB表示零向量,它的方向不定.这些似乎都是零向量的“荣耀”,不过许多概念和定理却大有把零向量排斥在外之举,如:①定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量;②定理:向量b与零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa ;③定理:a∥b(b…     

高考题中的向量实数化策略

向量实数化是指：结果需要用实数表示的向量问题的解法,其求解关键和策略是灵活选用下列一种或几种适合的方法消去题中向量.一、向量实数化的方法1.对应相等法在几个向量构成的两个结构相同的等式     

高考题中的向量实数化策略

向量实数化是指:结果需要用实数表示的向量问题的解法,其求解关键和策略是灵活选用下列一种或几种适合的方法消去题中向量.一、向量实数化的方法1.对应相等法在几个向量构成的两个结构相同的等式     

争鸣

问　题问题 2 5　 在高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页有“平行向量也叫共线向量” .这样 ,对向量ｂ与非零向量ａ共线 (或平行 )的充要条件有两处 :见 1 0 4页用到“有且只有一个实数λ” ,而第 1 1 1页用到“存在一个实数λ” .我们的问题是 :为什用两种逻辑意义的语句叙述 ,可否统一为“有且只有一个实数λ” ?问题 2 6　 判断命题“若ａ∥ｂ ,则ａ与ｂ的方向相同或相反”的真假 .观点一 :　当ａ∥ｂ时 ,ａ与ｂ的方向相同或相反 ,否则 ,ａ与ｂ不平行 ,故此命题为真 .观点二 :　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 …     

平面向量架桥梁

平面向量给我们提供了一种研究问题的有效方法. 一、基底法用基底法来解证问题(主要是平面几何问题),一般可分为三个步骤: 第一步:在所论平面图形中选取两条(或多条)不共线的线段分别表示向量a、b(或a、b、c等);     

平面向量及其运算

平面向量是高中数学新教材的重要内容 .它既反映了现实世界的数量关系 ,又体现了几何图形的位置关系 ,从而将数和形有机地结合起来 .因此 ,用向量工具处理数学问题 ,既有几何的直观性 ,又有代数表述的简洁性以及方法上的一般性 .1　向量既有大小又有方向的量叫做向量 ,可表示为ａ→ 或ＡＢ .向量ＡＢ的大小称为模 ,记作 |ＡＢ| .模为 0的向量叫做零向量 ,记作 0 .模为 1的向量叫单位向量 .与ａ→ 模相等且方向相反的向量称为ａ→ 的相反向量 ,记作 -ａ→ .两个向量的加法按照平行四边形 (即三角形 )法则进行 ,多个向量的加法则按照多边形法…     

对平面向量数量积"性质1"的解读

1平面向量数量积“性质1”[1]的解读设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量e=|bb|,θ是a与e的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ|bb|·a=a·|bb|=|a|cosθ|a·b|b=|a|cosθ(2)|a·b|b=|a|cosθ都表示a在b方向上的射影(课本上称投影.)(3)a在b方向上的射影(投影)的长度d=|a·b|     

利用法向量求二面角大小的一个判定方法

利有法向量解决立体几何问题是近几年高考的一个新亮点.众所周知,二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着大家,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决,总让人觉得美中不足.本文拟给出一个简单的判定方法.引理向量m是平面α的一个法向量,点O在平面α内,点P在平面α外.1)若m·OP>0,则向量m与向量OP的方向指向平面α的同侧(如图1所示);2)若m·OP<0,则向量m与向量OP的方向指向平面α的异侧(如图2所示).图1引理图图2引理图分析:1)由m·OP>0得∈[0,π2),易知向量m与向量OP的…     

第三章 三角函数

1 任意角的三角函数一、选择题 1.下面的集合中与集合M={0|0=nπ/2,n∈Z}相等的是( ) 2.下列命题正确的有( ) (1)终边相同的角不一定相等,但它们有相同的三角函数值 (2)小于90°的角是锐角 (3)周期函数一定有最小正周期 (4)若x为第三象限角,则sinx,cosx都是减函数。 (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 3.2弧度的圆心角所对的弧长为2,这个圆心角所夹的扇形面积的数值是( ) 4.已知a=(tgx)~(ctgx),b=(tgx)~(sinx),c=     

激发兴趣提升能力的高考剪拼题

今年高考文科数学卷的 ( 2 2 )题是一道颇有创意 ,集基础知识、空间想象力、动手能力于一身的一道好题 ,是正在开展的研究性学习的一种命题方向 .题目一出来 ,马上成为研究热点 .本文从引导研究性学习的目的出发 ,给出最一般的剪拼方法 .(1)　　　　　　　 (2 )　　　　　　　 (3)图 1　题目用图原题　 1 )给出两块相同的正三角形纸片(如图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 ) ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 …     

求二面角大小的直接计算法

利用向量求二面角,如何判断所求二面角是锐角或钝角?现行中学数学教材[1]或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定;常见的大学数学教材[2]、[3]亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量,所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等,也可能互补;而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的,点积法的缺陷是不能控制法向量的方向,所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.     

有关向量平行与共线问题的简便解法

在复数中有关向量平行与共线的问题是我们经常遇到的,例如,求平行四边形、梯形的顶点和已知复数z满足|z-z_1=r,求|f(z)|取得最值时的复数z等等,对于这类问题的常见解法是利用复数四则运算的几何意义或转化为平面解析几何问题来解答,则解法较繁,如果我们根据向量相等的规定来解答,既新颖又简捷。现行高中课本在复数的向量表示中规定,“模相等且方向相同的向量,不管它们的起点在哪里,都认为是相等的向量。”同时还     

综合向量法求解二面角

笔者在贵刊文[1]给出求解二面角的一个有效方法———法向量截面法,即求出两半平面的法向量,并判断其相对二面角的方向(判定两法向量夹角与其平面角是相等还是互补,关键就在这里),进而准确求解平面角.本文再给出一种更加快捷有效的方法———综合向量法,"综合"是指传统的几何方法,如求二面角的"一作二证三计算",     

向量射影在解题中的应用

a·b=|a|·|b|cos(a,b),称为a和b的数量积,|b|cos(a,b)叫做向量b在向量a方向上的射影(或投影).不论平面向量,还是空间向量,其射影都具有明显的几何意义.向量射影的引进,对解决几何问题提供了一个方便、实用的工具.     

例谈向量解题策略

向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介,也是近几年高考命题的一个热点问题.运用向量解题策略是:将非向量语言翻译成向量语言,然后利用向量运算得到向量特征的结论,再将其翻译回来就得到我们要求(证)的结论.解题步骤通常为“翻译———运算(推理)———翻译”三步曲,在这个过程中,正确掌握向量语言与其它数学语言的互换是必要的.1常见问题的向量表述(或求法)常见问题向量表述(或求法)共线A,B,C三点共线AB与BC(或AC与BC等)为共线向量设OA=a,OB=b,OC=c,证a=λb mc,且λ m…     

谈向量方法在有关直线问题中的应用

平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1　有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是　x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是　x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2　…     

解平面向量题的误区警示

许多同学在解平面向量题时对与向量相关的某些概念理解有误,或盲目套用实数的有关运算性质、公式,致使解题出错,现举例如下:误区一:“向量三要素:方向、位置和长度.”例1已知A(5,2),B(4,6),将AB按向量a(1,2)平移后所得向量的坐标为.错解:∵A(5,2),B(4,6),∴AB=OB-OA=(4,6)-(5,2)=(-1,4)将x=-1,y=4及h=1,k=2代入平移公式x′=x+hy′=y+k得x′=0,y′=6,∴AB按a平移所得向量的坐标为(0,6).剖析:确定向量的要素是大小和方向,与位置无关,所以向量的平移不会改变向量本身;另外,平移公式揭示的是点沿向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合于…     

空间平面法向量方向的判定

文[1]介绍了二面角的大小与法向量夹角的关系:同内同外互补,一内一外相等,但法向量方向的判定却没有指出具体方法.我们知道当平面与空间坐标系中三个坐标平面平行或重合时,平面的法向量的方向是很容易知道的,除此外又如何判定平面的法向量的方向呢?1二面角的法向量方向的判定方