一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看2003年第16届爱尔兰数学奥林匹克试题9(见文[1])：     

一道国际数学竞赛题的再推广

[原命题] 锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于三角形ABC的面积.(见图1) 这是第28届国际数学奥林匹克竞赛的一道试题。《中学生数学》89年第6期《一道国际     

一道数学竞赛题的推广

1986年全国初中数学竞赛试题第三题:“设P、 Q为线段BC上两定点,且Bp=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP =∠CAQ时,△ABC是什么图形?试证明你的结论。”此题结论是当∠BAP=∠CAQ时△ABC为等腰三角形。下面我们采用辅助圆证法,并加以推广。     

一道数学竞赛题的推广

2003年北欧数学奥林匹克有一道数论题:求所有的三元整数组(x,y,z),使得x3+y3+z3-3xyz=2003. 　　由于2003是质数,我们把它推广为如下更一般的结论:……     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

一道数学竞赛题的推广

<正>(2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第9题)设集合S={1,2,3,…,8},A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对(A,B)的个数是 __.可以将这个题目推广为:设集合S={1,2,3,…,n}     

一道大学生数学竞赛题的推广

针对2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)第五题,本文利用介值性定理或者积分中值定理,将结论推广到一般情形,并给出证明.     

一道初中数学竞赛题的推广

1998年平江初中数学竞赛中有这样一道题：“48根火柴分成三堆，从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆；又从第三堆火柴中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，三堆火柴就变成一样多问原来三堆各有多少根火柴？”我们将这道问题推广为：‘有火柴若干根，分成若干堆（至少两堆），从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆火柴中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆，如此继续，直到从最后一堆中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，各…     

一道加拿大数学竞赛题的推广

1997年加拿大数学公共竞赛有一道题是 :已知 16个正数之和为 10 0 ,平方和为 10 0 0 ,证明这 16个数中没有一个大于 2 5 .本文将推广该题的结论 .首先给出二次函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的一条性质 :对于任意ｎ个实数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,有ｘ21 +ｘ22 +… +ｘ2 ｎｎ ≥ (ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎｎ ) 2 (当且仅当ｘ1 =ｘ2 =… =ｘｎ 时取等号 )①定理　设ｎ(≥ 2 )个实变数ｘｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ)之和为定值Ａ ,平方和为定值Ｂ ,则ｘｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)的取值范围为 :(1)当Ａ2 >ｎＢ时 ,ｘｉ 不存在 ;(2 )当Ａ2 =ｎＢ时 ,ｘｉ=Ａｎ;(3 )当Ａ2 <ｎＢ时 ,Ａ …     

一道叙利亚数学竞赛题的推广

2016年叙利牙数学奥林匹克试题中,有如下一道优美的条件不等式.     

一道初中数学竞赛题的推广

一九八六年全国初中数学竞赛中最后一道题是:设a、b、c是三个互不相等的正整数,求证:在a~3b-ab~3、b~3c-bc~3、c~3a-ca~3三个数中,至少有一个数能被10整,除(证法从略)。此道题可推广为:设a、b、c是三个互不相等的正整数,n是自然数,求证:在口a~(3n)b~n-a~nb~(3n)、b~(3n)c~n-(b~nc~(3n))、(c~(3n)a~n)-(c~na~(3n))三个数中,至少有一个数能被10整除。证明∵a~(3n)b~n-a~nb~(3n)=a~nb~n(a~(2n)-b~(2n)) b~(3n)c~n-b~nc~(3n)=b~nc~n(b~(2n)-c~(2n)) c~(3n)a~n-c~na~(3n)=c~na~n(c~(2n)-a~(2n))∴在a、b、c中有偶数,或者都为奇数时,上述三个式子所表示的数总能被2整除。     

一道乌克兰数学竞赛题的推广

2007年乌克兰数学竞赛题里有这样一道三元代数不等式:原赛题:设a,b,c∈R+,且abc≥1,求证:     

一道国际数学竞赛题的探究

2009年7月10日至22日在德国的不莱梅举行的第52届国际数学奥林匹克竞赛的第2题是：设△ABC的外心为O．点P,O分别是线段CA,AB上的点．设K,L,M分别是线段BP,GQ,PQ的中点．如果直线PQ与△MKL的外接圆相切,证明：OP=OQ.     

一道美国大学生数学竞赛题的推广

利用积分形式的侯尔德不等式对美国2006年大学生数学竞赛的一道试题作出推广.     

一道全国大学生数学竞赛题的推广

对一道大学生数学竞赛题分别从导数的阶数及变量的个数两方面做出推广.     

一道数学竞赛题的推广与引申

题目(2010年河北省预赛题)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点分别为(-6~1/2,0),(6~1/2,0).O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的点A,B.(1)略;(2)证明:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.本题属于一道很常规的竞赛试题,主要考查椭圆的标准方程、直线的方程及直线与椭圆的位置关系.下面将此题推广到一般形式.     

一道数学竞赛题的引申及推广

<正>题目(第22届全苏奥林匹克数学竞赛题)如图1,BD、CE是锐角△ABC的两条高,过顶点B、C分别作ED的垂线BF、CG.求证:EF=DG.证明∵∠BDC=∠BED=90°,∴B、C、D、E四点共圆,∴∠BEF=∠BCD,易知Rt△BFE∽Rt△BDC,于是(EF)/(CD)=(BE)/(BC),     

一道数学竞赛题的另解及推广

针对第67届美国大学生数学竞赛中一道求递推数列极限的试题,运用Stolz定理、Lagrange中值定理和夹逼准则给出一种新解法,并指出原题还可做进一-推广.     

一道中国大学生数学竞赛题的推广

对2013年中国大学生数学竞赛的一道试题给出两种推广.